ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PESPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO

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1 APÊNDICE 106

2 107 APÊNDICE A (ATIVIDADES REFORMULADAS) - CADERNO DE ATIVIDADES INVESTIGATIVAS ABORDAGEM DAS FUNÇÕES EXPONENCIAL E LOGARÍTMICA NUMA PESPECTIVA CONCEITUAL E GRÁFICA NO ENSINO MÉDIO Mestrando: José Geraldo de Araújo Pereira Orientador: Prof. Dr. João Bosco Laudares 2010

3 109 1ª ATIVIDADE Nessa atividade, será explorado o conceito da Função Exponencial, dando ênfase à Ciência Biológica (crescimento vegetativo), envolvendo o crescimento de uma planta. O Quadro a seguir apresenta a primeira atividade. Se a altura de uma planta dobra a cada mês, durante um certo período de sua vida, supondo que sua altura inicial é de 1 cm, então: a) Qual o valor da altura para o instante inicial? b) Qual é a altura da planta ao final do 1º mês e, sucessivamente, no final do 2º até o 10º mês? c) Identifique a variável dependente e independente em estudo e dê nome para elas? d) Construa uma tabela que represente essa situação. e) Plote, no sistema de eixos, os dados da tabela construída, indicando a variável dependente na vertical e a independente na horizontal. f) Una os pontos. g) Interpretando o gráfico, dê um valor aproximado para: a) 2,5 meses. b) 4 meses e 10 dias. c) 5 meses e 20 dias. h) A curva obtida no item f corresponde a uma função a) do Iº grau (cujo gráfico é uma reta). b) do IIº grau (uma parábola). c) uma curva desconhecida. i) As grandezas envolvidas são proporcionais? Justifique? j) O gráfico é uma função crescente ou decrescente? Justifique? k) Repita o gráfico construído no item f e trace uma reta crescente que tangencia a curva a partir do ponto inicial. O que você conclui a respeito do crescimento da reta e da curva? l) Existe um valor extremo num determinado ponto do gráfico (mínimo ou máximo)? m) Formalize, usando as variáveis nomeadas, uma lei de formação que melhor se ajuste ao gráfico. A relação encontrada é denominada Função Exponencial. (cujo gráfico é uma curva exponencial).

4 110 2ª ATIVIDADE Nessa atividade, será explorado como as Funções Exponencial e Logarítmica são aplicadas em problemas de Economia e de Finanças, nomeadamente no cálculo dos "juros compostos". O Quadro a seguir apresenta a segunda atividade. Uma pessoa deposita em um banco a quantia de R$10.000,00 durante 10 anos, a uma taxa de 12% ao ano e podendo sacar a qualquer momento, isto é, o capital mais juros: denominado de Montante. Mediante informações prestadas pela instituição Financeira, o valor a ser resgatado em qualquer instante obedece a seguinte lei de formação:, onde as variáveis correspondem ao montante, o capital empregado, a taxa unitária e o tempo da aplicação. Analisando os dados da situação financeira, responda: a) Verifique se a lei de formação tem 04(quatro) grandezas representadas por quatro letras, duas variáveis e dois parâmetros. b) Identifique a variável independente? c) Identifique a variável dependente? d) Qual é o valor do capital inicial? e) Qual o capital aproximado a receber (capital acumulado) no final do 1º, 2º, 3º, 4º, 5º, 10º ano? f) E ao fim de t anos? g) No item f, ao escrever a fórmula, encontra-se uma relação envolvendo quantas grandezas? Quais letras as representam? h) Que condição devemos impor a? Justifique? As outras grandezas são constantes? i) Construa uma tabela, que represente a situação de item e. j) Plote no sistema de eixos os dados da tabela construída, indicando a variável independente na horizontal e dependente na vertical, unindo os pontos. k) A curva obtida no item j corresponde a que tipo de uma função? l) Construa uma nova tabela, invertendo os pares ordenados do item i. m) Plote no sistema de eixos os pares obtidos, com as novas coordenadas, una os Pontos e trace o gráfico. n) Repita os dois gráficos obtidos, num mesmo sistema de eixos. o) Trace a bissetriz do Iº quadrante. p) Tome 05(cinco) pontos dessa bissetriz, e trace retas perpendiculares à bissetriz, até

5 111 interceptar as curvas. q) O que você pode conclui em relação às duas curvas? r) Formalize usando as variáveis nomeadas uma lei de formação que melhor se ajusta ao gráfico. A relação encontrada é a função Exponencial, e o gráfico cujas coordenadas foram mudadas de posição define uma nova função, a função Logarítmica, denominada curva logarítmica. s) As curvas obtidas são proporcionais? Justifique? t) O gráfico da função exponencial é crescente ou decrescente, e o da logarítmica? Justifique? u) Como se comportam as duas curvas quanto ao crescimento ou ao decrescimento? v) Qual curva cresce mais rapidamente com o tempo aumentando? w) Se a sua dívida cresce exponencialmente e os seus rendimentos com o Logaritmo. O que você pode concluir? x) Se a sua dívida cresce como o logaritmo e os seus rendimentos como a Exponencial. O que você pode concluir?

6 112 3ª ATIVIDADE Nessa atividade, serão exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (. O quadro a seguir apresenta a terceira atividade. 1) Dada a função, complete a tabela seguinte: X Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela. X A tabela formada define uma nova função, y é igual ao logaritmo de x na base 2, isto é, 1.1. Considere a função, complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base. a = 2 a = 3 a = 4 X Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos Interpretando o gráfico, responda Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e. g) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função, obtendo a tabela da função. a = 2 X

7 113 a = 3 a = 4 X X 1.6. Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para, e a partir deles trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um máximo? g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o crescimento de seus valores de modo que a função seja crescente.

8 114 4ª ATIVIDADE Nessa atividade, serão exploradas a definição e a interpretação dos coeficientes das Funções Exponencial e Logarítmica, com base (. O quadro a seguir apresenta a quarta atividade. 1) Dada a função, complete a tabela seguinte: X Inverta os pares ordenados e complete a nova tabela. X A tabela formada define uma nova função, y é igual ao logaritmo de x na base 1/2, isto é. 1.1) Considere a função, complete a tabela seguinte de acordo com os valores da base. X a = 1/2 a = 1/3 a = 1/ Plote os valores da tabela acima num sistema de eixos Interpretando o gráfico, responda. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Examine o comportamento do gráfico para e. g) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente Preencha a tabela seguinte, invertendo os pares ordenados da função, obtendo a tabela da função. X a = 1/2 X a = 1/3 a = 1/4 X

9 Plote, num mesmo sistema de eixos, os valores da tabela construída e responda às questões a seguir, interpretando o gráfico. a) Dê o domínio e a imagem das funções, usando a notação de intervalos. b) Verifique se há intersecção com os eixos. Em caso afirmativo, determine os pares ordenados. c) As funções são crescentes ou decrescentes? d) Tome alguns valores fixos para e, a partir deles, trace segmentos paralelos ao eixo e una estes segmentos. e) O que podemos afirmar em relação à inclinação das curvas? f) Observando os valores de para crescendo, tendendo a (+) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um máximo? g) Observando os valores de para decrescendo, tendendo a (-) infinito, o que se pode concluir para? A função possui um mínimo? h) Generalize uma condição para a base, verificando o decrescimento de seus valores de modo que a função seja decrescente.

10 116 5ª ATIVIDADE Nessa atividade, serão explorados a interpretação gráfica e o comportamento das Funções Exponencial e Logarítmica como funções inversas. O quadro a seguir apresenta a quinta atividade. 1) Dados os gráficos das funções:,,,,. y A B C D E F x Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções: ( ),,,,,. 2) Dado os gráficos das funções:,,,, e.

11 117 M y P N x T S R Relacione as curvas indicadas pelas letras no gráfico às suas funções:,, e. 3) Analisando os gráficos das seguintes funções e, responda: y x

12 n) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas. o) Inverta os pares ordenados do item a, e verificando se eles pertencem a outra curva. p) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos inversos. q) Marque, usando uma régua, os pontos médios desses segmentos. r) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). s) A reta passa pela origem? t) Determine a equação que melhor representa a curva (reta). u) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado de bissetor par. v) Existe simetria entre as curvas? w) Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico. x) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? y) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio, lei de formação) ) Analisando os gráficos das seguintes funções e, responda: y x a) Determine 2 (dois) pares ordenados de uma das curvas.

13 b) Inverta os pares ordenados do item a, verificando se eles pertencem a outra curva. c) Trace segmentos de reta, unindo os pontos dos pares ordenados aos seus respectivos inversos. d) Marque, usando uma régua os pontos médios desses segmentos. e) Una os pontos médios, e obtenha uma curva (reta). f) A reta passa pela origem? g) Determine a equação que melhor representa a curva (reta). h) A reta obtida pertence a qual bissetor? : chamado de bissetor ímpar ou : chamado de bissetor par. i) Existe simetria entre as curvas? j) Determine o domínio e o contra - domínio das funções representadas no gráfico. k) Sabendo que a troca do domínio de uma função pelo contradomínio da outra é exigência de obtenção da inversa. Isso acontece? l) Formalize uma expressão para a função analisada e sua inversa (domínio, contradomínio, lei de formação). 119 Associe as Funções Exponenciais e suas respectivas inversas (Funções Logarítmicas) as respectivas bases 2, 3, 4, 1/2, 1/3 e 1/4 às letras no gráfico seguinte. A B C D E F y M N P x R S T

14 120 6ª ATIVIDADE Nessa atividade, será explorada a construção gráfica (translações: horizontais e verticais) das Funções Exponencial e Logarítmica, utilizando um Software Matemático Winplot. O quadro a seguir apresenta a sexta atividade. A) Considere a Função Exponencial, definida por. Com o auxílio do Winplot, análise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir. Seja a função:. Considere a) Trace os gráficos das funções, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? Seja a função:. Considere a) Trace os gráficos das funções, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? Seja a função.. Considere a) Trace os gráficos das funções:, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas?

15 121 e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? Seja a função:. Considere a) Trace os gráficos das funções, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Usando a notação de intervalo, determine a imagem. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? B) Considere a função logarítmica, definida por. Com o auxílio do Winplot, analise as translações horizontais e verticais nas funções a seguir. 1) Seja a função. Considere: a) Trace os gráficos das funções, e, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Determine o domínio, usando a notação de intervalo. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima há uma translação horizontal ou vertical, em relação a? 2) Seja a função.considere: a) Trace os gráficos das funções, e, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Determine o domínio, usando a notação de intervalo. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas?

16 122 f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? 3) Seja a função. Considere: a) Trace os gráficos das funções, e, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Determine o domínio, usando a notação de intervalo. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a? 4) Seja função. Considere: a) Trace os gráficos das funções, e, utilizando um mesmo sistema de eixos. b) Determine o domínio, usando a notação de intervalo. c) Determine os pontos em que as curvas cortam os eixos coordenados. d) Quando diminui, o que acontece com as curvas? e) Quando aumenta, o que acontece com as curvas? f) Existe um valor de, para o qual o gráfico das funções se aproxima? g) O que você pode afirmar para a expressão? h) Nas funções acima, há uma translação horizontal ou vertical em relação a?