Função Definida Por Várias Sentenças

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1 Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi SUMÁRIO Função Definida Por Várias Sentenças Lembrando... Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma relação f de A em B recebe a denominação de função se, e somente se cada x A associa um único y B. Assim, uma função liga um elemento do domínio (conjunto A de valores de entrada) com um segundo conjunto, o contradomínio (conjunto B de valores de saída) de tal forma que a cada elemento do domínio está associado exatamente a um, e somente um, elemento do contradomínio. O conjunto dos elementos do contradomínio que são relacionados pela f a algum x do domínio é o conjunto imagem, denotado por Im(f). Considere as seguintes funções: 1. g R R, definida por g(x) = x ; 2. h: R R, definida por h(x) = 1 x Gráfico da função g Gráfico da função h

2 Agora, se pensarmos em uma função f definida por f(x) = g(x) = x para x < 1 e f(x) = h(x) = x + 1, quando x 1, isto é: f(x) = x, se x > 1 1 x, se x 1 o gráfico da função f será o gráfico da função g quando os valores de x são tomados menores que 1, e quando os valores de x são tomados maiores que 1, o gráfico da f será igual ao gráfico de h: Gráfico da função f A função f é dita função definida por mais de uma sentença (a saber, definida por duas sentenças). Uma função é definida por mais de uma sentença quando cada uma das sentenças está associada à um subdomínio D1, D2, D3,... Dn e a união destes n-subconjuntos forma o domínio D da função original, ou seja, cada domínio Di é um subconjunto de D. Vamos ver algumas funções definidas por mais de uma sentença e seus respectivos gráficos. EXEMPLO 1: Seja f: R R definida por x + 1, se x < 2 f(x) = x 1, se 2 x < 1 x + 1, se x 1 é uma função definida por várias sentenças. Note que cada sentença está associada a um subdomínio cuja união é o domínio de f. O gráfico de f: :

3 x, se x < 1 EXEMPLO 2: Seja f: R R definida por f(x) = x 1, se 1 x é uma função definida por várias sentenças. Novamente, cada sentença está associada a um subdomínio cuja união é o domínio de f. O gráfico de f: Situações do cotidiano podem ser descritas por funções de várias sentenças, vejamos: Toda manhã, David tem o habito de fazer cooper. Em certa manhã, David parte de sua casa caminhando em direção ao calçadão da praia das Margaridas, com a sua velocidade constante. Ao chegar a praia, começa a correr durante um tempo, mantendo a variação de sua velocidade constante. Inicia seu cooper em ritmo constante durante um tempo até perceber que começou a ficar sem fôlego, diminuindo seu ritmo gradativamente até parar em uma barraca para beber agua de coco e recuperar suas energias. Como você esboçaria o gráfico da velocidade de David em função do tempo no trajeto desta manhã?

4 Agora vamos analisar cada etapa do projeto de David. A 1 o etapa do projeto e representada graficamente por um segmento de reta paralelo ao eixo x. A lei que de ne este tipo de função e y = k em que k e uma constante real. A representação gráfica da 2 o etapa e um segmento de reta obliqua aos eixos x e y. A lei que de ne este tipo de função e y = a x. Na 3 o etapa, o comportamento gráfico do trajeto e o mesmo que na 1 o etapa. A 4 o etapa também e representada por um segmento de reta obliquo aos eixos x e y, como na 2 o etapa. Então, podemos afirmar que não existe uma única equação para representar a função que indica o trajeto de David. Esta função apresenta comportamentos variados ao longo de diferentes trechos do seu domínio ou, portanto há necessidade de mais uma equação. A função que descreve o trajeto de David e a função definida por várias sentenças. Atividade 1. Considere a função real g R R definida por: 9, se 2 x g(x) = x, se 2 < x < 1 x + 7, se x 1 a) construa o gráfico da g. b) calcule as imagens a baixo: i. g( 6) = ii. g( 4) = iii. g(0) = iv. g(1) = v. g( 3) =

5 c) determine o domínio, imagem e contradomínio de g. Atividade 2. Considere a função real f R R definida por: 1, se 0 x f(x) = x + 1, se 0 < x < 1 x + 7, se x 1 a) construa o gráfico da f. b) determine o valor da razão ( ) ( ). ( ) ( ) c) determine o domínio e o conjunto imagem de f.

6 x, se x 0 Atividade 3: Construa o gráfico da função f: R R, definida por f(x) = x, se x < 0 FUNÇÃO MODULAR MÓDULO. Dado um número real a, o modulo ou valor absoluto desse número, denotado por a, é uma operação que torna este número positivo (exceto o zero). Por exemplo, 5 = 5 e 5 = 5. Sendo assim, dado x R, o módulo de x é dado pela expressão x, se x 0 x = x, se x < 0 Da expressão acima, podemos tirar duas conclusões: 1. Se x é zero ou um número positivo, então o módulo de x é o próprio x. 2. Se x é um número negativo, então o módulo de x é o oposto aditivo de x. É interessante associar a ideia de valor absoluto a distância, assim, o módulo de um número x é a distância do afixo de x até a origem do sistema. Este conceito voltará a ser usado quando estudarmos Números Complexos.

7 Propriedade do modulo: 1. x = x 2. x 0 3. x = 0 x = 0 4. xy = x y 5. x = x 6. x + y x + y 7. x y x y 8. x a a x a 9. x a a x OU x a FUNÇÃO MODULAR Uma funçãof: R R recebe o nome de função modular quando cada x R é associado ao número x R, ou seja, f(x) = x.utilizando o conceito de modulo de um número real, a função modular pode ser definida também como segue: f(x) = x, se x x x, se x < 0 Note que a função modular é uma função definida por mais de uma sentença, e seu gráficoé Em cada exemplo a seguir vamos aprender um tipo de gráfico e, a seguir, construiremos um semelhante.

8 1. Considere a função g: R R definida por g(x) = 2x. O gráfico de g é Agora, considere a função h: R R definida por h(x) = 2x. Note que a função h é, na verdade, uma função composta da função módulo f(x) = x com a função g, isto é, h(x) = 2x = h(x). Portanto, sobre todos valores assumidos por g(x), aplicamos a 2x, se 2x 0 2x, se x 0 operação módulo. Assim,h(x) = 2x = = 2x, se 2x < 0 2x, se x < 0 Assim, o gráfico de h é:

9 2. Agora, considere a função g: R R definida por g(x) = x + 2. O gráfico de g é: Agora, considere a função h: R R definida por h(x) = x + 2. Note que a função g é uma função composta da função módulo f(x) = x com a função f, isto é, h(x) = x + 2 = g(x). Portanto, sobre todos valores assumidos por g(x), aplicamos a operação módulo, ou seja: Assim, o gráfico de h é: x + 2, se x h(x) = x + 2 = (x + 2), se x + 2 < 0 = x + 2, se x 2 x 2, se x < 2 4. Considere a função h: R R definida por h(x) = x + 2x. Note que a função g é uma função composta da função módulo f(x) = x com a função f, isto é, h(x) = x + 2x = g(x). Portanto, sobre todos valores assumidos por g(x), aplicamos a operação módulo, ou seja: h(x) = x x + 2x = + 2x, se x + 2x 0 (x + 2x), se x + 2x < 0

10 Para construir o gráfico de h, precisamos analisar o sinal de x + 2x, cujas raízes são x=0 e x=-2. Como o gráfico de x + 2x tem concavidade voltada para cima, x + 2x é positivo em (, 2) (0, + ), negativo em ( 2,0) e nulo em -2 e 0. Assim, o gráfico de h: EXERCÍCIOS: Construa o gráfico da função f e determine o seu domínio e Imagem. a) f(x) = 2x + 5 b) f(x) = 3x c) f(x) = x x + 6 d) f(x) = 2x e) f(x) = x 2x f) f(x) = 3x 6 + x 1 g) f(x) = 2x + 3x 2 + 3x + 2 h) f(x) = 4x + 4 3x 4 i) f(x) = x 9 x 3 j) f(x) = x 2x x 4 k) f(x) = 3x l) f(x) = x 4 6

11 EQUAÇÕES MODULARES Uma equação modular quando a incógnita aparece no modulo. Assim, para a R, temos que: Resolva as seguintes equações modulares: 1. 2x + 3 = 1 2. = 3 3. x + 4 = 2x x + 3 x + 4 = 0 a y = a y = OU a x y = x y = OU x INEQUAÇÕES MODULARES Lembre-se das propriedades de modulo dos números reais. A ideia de módulo está ligada ao conceito de distância, com o foi dito no início. Assim, temos que, para k > 0: x < k k < x < k x > k x > k OU x < k Utilizando estas propriedades podemos resolver algumas inequações modulares. Resolva as seguintes equações modulares: 1. 2x + 1 < x x + 1 < x 7 > 0 5. x + 2x x x + 2 < 0 7. x < 7x 8. 2x x < 4x

12 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 08 Ministrante Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi Material elaborado pela Profª. Drª. Patrícia Aparecida Manholi FUNÇÃO EXPONENCIAL Dado um número real a > 0 com a 1, chamamos de função exponencial de base a a função f R R que associa cada x R ao número real a. Em símbolos: Note que Dom f = R e Im f = R. f R R x a Exemplo de funções exponenciais: a. f(x) = 2 b. f(x) = 1 2 c. f(x) = 2 Propriedades: 1. x = 0 f(0) = a = 1. Isto significa que o gráfico de toda função exponencial corta o eixo das ordenada y no ponto de ordenada Quando a > 1, temos que x < x f(x ) < f(x ) Isto significa que a função exponencial é crescente quando base a for maior que Quando 1 > a > 0, temos que x < x f(x ) > f(x ) Isto significa que a função exponencial e decrescente quando base a for um número entre 1 e 0.

13 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula A função exponencial f(x) = a e injetora, isto é: Gráfico. x x f(x ) f(x ) Com relação ao gráfico da função exponencial f(x) = a, podemos dizer que: 1. A curva representativa está toda acima do eixo x, pois y = a > 0 para todo x R. 2. Corta o eixo y no ponto de ordenada Se a > 1, o gráfico de f é uma curva crescente e, se 0 < a < 1, o gráfico de f é uma curva decrescente. Exemplos: 1. Construir o gráfico da função exponencial com base 2: f(x) = 2 x

14 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Construir o gráfico da função exponencial com base : f(x) = x

15 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Construir o gráfico da função exponencial com base 2: f(x) = 2 x Construir o gráfico da função exponencial com base 2: f(x) = 2 x

16 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula Construir o gráfico da função exponencial com base 2: f(x) = 2 1 x Equações Exponenciais Equações exponenciais são equações com incógnitas no expoente. Exemplos: 1) 2 = 32 2) = ) = 0 Método de redução a uma base comum

17 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 08 Este método, como o próprio nome já diz, será aplicado quando ambos membros da equação, com as transformações convenientes baseadas nas propriedades de potencias, forem redutíveis a potência de mesma base a (0 < a 1). Pelo fato de uma função exponencial f(x) = a ser injetora, podemos concluir que potencias iguais e de mesma base têm os expoentes iguais, ou seja: a = a x = y Exercícios: 1) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 2 = 128 b) 4 = 1 8 c) 100 = d) = 32 e) = 1 f) 27 = 9 5 g) 2 = 128 h) 27 = 9 i) (2 ) = 32 j) 9 = 3 k) = 306 l) = 20 m) = 0 n) = 90

18 o) 2 2 = Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 08 p) 3 = q) 3 = 4 3 r) x = 1 s) x = 1 t) x = x u) x = x v) x = x w) = 3 49 x) = 0 2) Resolva os sistemas de equações: a) 4 = 16y 2 = 4y b) x = y x = y, onde x, y > 0 e m n > 0

19 Inequações Exponenciais Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula 08 Inequações exponenciais são inequações com incógnitas no expoente. Exemplos: 4) 2 > 32 5) > ) Método de redução a uma base comum Este método será aplicado quando ambos membros da inequação puderem ser representados como potência de mesma base a (0 < a 1). Lembre-se que a função exponencial (x) = a é crescente se a > 1, e decrescente se 0 < a < 1, portanto: Se b e c são numeros reais então: para a > 1; a > a b > c para 0 < a < 1; a > a b < c E Se b e c são numeros reais então: para a > 1; a a b c para 0 < a < 1; a a b c Exercícios: 1. 2 > < > > 2 > 8

20 Curso de Pré Cálculo Dif. Int. I Aula > < (2 ) < > < < e e e + e < x > x > x < x x > x < x 22. x < x