Equação, inequação e função exponencial

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1 Equação, inequação e função exponencial 07 abr 01. Resumo 02. Exercícios de Aula 03. Exercícios de Casa 04. Questão Contexto

2 RESUMO A função definida pela lei f(x) = a x, sendo 0<a 1, recebe o nome de função exponencial de base a, o número real a, se chama base da função exponencial a>0 Ex: f(x) = 2 x Observe que a condição de existência dada à base a é devida aos seguinte casos. Se a<0 nem sempre o número é real, como por exemplo: não pertence aos Reais. Podemos observar algumas coisas : Se a=0 temos 3 casos : 1. Quando x>0,, função constante. 2. Quando x<0, não se define, (Ex: 1/0 3 ), denominador zero é uma indeterminação. 3. Quando x=0, não se define 0 0, também é uma indeterminação matemática. Se a=1, para todo x real a função dada por é constante. A função é crescente. A curva nunca corta o eixo x A curva corta o eixo y em y=1 0<a<1 Ex: f(x) = (1/2) x 102 Gráfico de uma função exponencial Sendo respeitadas todas as restrições construiremos o gráfico da função exponencial, considerando: Podemos observar que : A função é decrescente. A curva nunca corta o eixo x. A função corta a curva em y=1 EXERCÍCIOS DE AULA 1. A população mundial está ficando mais velha, os i ndices de natalidade diminui ram e a expectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 60 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faixas percentuais. Por exemplo, em 1950 havia 95 milhões de pessoas com 60 anos ou mais nos pai ses desenvolvidos, número entre 10% e 15% da população total nos pai ses desenvolvidos.

3 Suponha que o modelo exponencial, em que x = 0 corresponde ao ano 2000, x = 1 corresponde ao ano 2001, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano x, seja usado para estimar essa população com 60 anos ou mais de idade nos pai ses em desenvolvimento entre 2010 e Desse modo, considerando e 0,3 = 1,35, estima-se que a população com 60 anos ou mais estará, em 2030, entre a)490 e 510 milhões b)550 e 620 milhões c)780 e 800 milhões d)810 e 860 milhões e)870 e 910 milhões Na função exponencial y= 2 2x-4, determine os valores de x para os quais 1<y< Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei em que K é uma constate, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a uantidade de substância (em gramas no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrado no gráfico, determine os valores de K e a.

4 4. Em relação à função de R em R definida por f(x) = 3 x + 2, asssinale as alternativas corretas. a) f(f(0))=29 b) Sua imagem é o conjunto ]2,+ [. c) f(a+b)=f(a)+f(b) d) A função é decrescente. e) f(x+1)-f(x)=2.3 x 5. Na elaboração de poli ticas públicas que estejam em conformidade com a legislação urbani stica de uso e ocupação do solo em regiões metropolitanas, é fundamental o conhecimento de leis descritivas do crescimento populacional urbano. Suponha que a lei dada pela função p(t) = 0,5.(2 kt ) expresse um modelo representativo da população de uma cidade (em milhões de habitantes) ao longo do tempo t (em anos), contados a partir de 1970, isto é, t = 0 corresponde ao ano de 1970, sendo k uma constante real. Sabendo que a população desta cidade em 2000 era de 1 milhão de habitantes: EXERCÍCIOS PARA CASA 1. a) Extraia do texto dado uma relação de forma a obter o valor de K. b) Segundo o modelo de evolução populacional dado, descreva e execute um plano de resolução que possibilite estimar em qual ano a população desta cidade atingirá 16 milhões de habitantes. A pedido do seu orientador, um bolsista de um laboratório de biologia construiu o gráfico a seguir a partir dos dados obtidos no monitoramento do crescimento de uma cultura de micro-organismos. 104 Analisando o gráfico, o bolsista informou ao orientador que a cultura crescia segundo o modelo matemático N = k. 2 at com t em horas e N em milhares de micro-organismos.

5 Para constatar que o modelo matemático apresentado pelo bolsista estava correto, o orientador coletou novos dados com t = 4 horas e t = 8 horas. Para que o modelo construi do pelo bolsista esteja correto, nesse peri odo, o orientador deve ter obtido um aumento na quantidade de micro-organismos de a) b) c) d) O número de bactérias em um meio duplica de hora em hora. Se, inicialmente, existem 8 bactérias no meio, ao fim de 10 horas o número de bactérias será: 3. a) 2 4 b) 2 7 c) 2 10 d) 2 15 e) 2 13 Suponha que, em 2003, o PIB (Produto Interno Bruto) de um pai s seja de 500 bilhões de dólares. Se o PIB crescer 3% ao ano, de forma cumulativa, qual será o PIB do pai s em 2023, dado em bilhões de dólares? Use 1,03 20 = 1, Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, por. Determine a população referente ao terceiro ano. 5. Uma determinada máquina industrial se deprecia de tal forma que seu valor, t anos após a sua compra, é dado por, em que k é uma constante real. Se, após 10 anos, a máquina estiver valendo R$ ,00, determine o valor que ela foi comprada. a) maior que b) igual a c) entre e d) entre e e) menor que 42000

6 6. Considere o texto: Thomas Malthus ( ) assegurava que, se a população não fosse de algum modo contida, dobraria de 25 em 25 anos, crescendo em progressão geométrica, ao passo que, dadas as condições médias da terra disponíveis em seu tempo, os meios de subsistência só poderiam aumentar, no máximo, em progressão aritmética. Analise os gráficos e assinale a alternativa em que a lei de Malthus está representada. a) b) c) 106 d) e)

7 7. A produção de uma indústria vem diminuindo ano a ano. Num certo ano, ela produziu mil unidades de seu principal produto. A partir dai, a produção anual passou a seguir a lei y = (0,9) x. O número de unidades produzidas no segundo ano desse peri odo recessivo foi de: a) 900 b) 1000 c) 180 d) 810 e) A torre de Hanoy é um quebra-cabeça constitui do por três pinos fixados numa base de madeira e um certo número de discos de tamanhos diferentes. Uma torre é uma configuração de discos, como ilustra a figura a seguir. O desafio consiste em transportar uma torre do primeiro pino para qualquer um dos dois pinos livres observando a regra: os discos são transportados um a um, não sendo permitido colocar um disco maior sobre um menor, em nenhum dos pinos. Sabe-se que, se n é o número de discos encaixados num pino, o número mi nimo N de jogadas para se transportar essa torre para outro pino é N = 2 n Se um jogador faz uma jogada a cada 10 segundos e transporta a torre de um pino a outro em 10 min e 30 seg, utilizando o menor número de jogadas possi veis, podemos afirmar que a quantidade de discos na torre era a) 6. b) 5. c) 7. d) 8.

8 QUESTÃO CONTEXTO Como o Brasil entrou, sozinho, na pior crise da história Desde os anos 1930 não havia recuo do PIB em dois anos seguidos. As consequências vão nos acompanhar por muito tempo Queima de café em Santos nos anos 30. Com a queda no preço da commoditie o governo brasileiro tomou uma medida drástica para salvar a economia. Na crise atual, a solução não é tão fácil. (Foto: Acervo Laire José Giraud) Estima-se que tenhamos torrado em fogueiras como a de Santos mais de 71 milhões de sacas de café, ou mais de 4 bilhões de quilos, o suficiente para garantir o consumo mundial de café por três anos. No pior triênio daquela crise, que virou referência de desastre no Brasil e no mundo, a economia nacional encolheu a um ritmo médio de 1,4% ao ano. Na crise atual, será pior. No triênio de 2014 a 2016, a economia deverá encolher a um ritmo médio de 2,4% ao ano. 108 É a maior crise do período pós-industrialização. Teremos dois anos seguidos de queda do PIB e existe, sim, a possibilidade de mais um ano de queda, diz Antonio Corrêa de Lacerda, coordenador do Programa de Estudos Pós-Graduados em Economia Política da PUC-SP. ideias/noticia/2016/04/ como-o-brasil-entrousozinho-na-pior-crise-dahistoria.html O Produto Interno Bruto no ano de 2015 totalizou R$ 5.904,3 bilhões, sendo R$ 5.055,4 bilhões referentes ao Valor Adicionado a preços básicos e R$ 849,0 bilhões aos Impostos sobre Produtos líquidos de Subsídios. economia/noticia/fmi-reduzprevisao-de-alta-para-o-pibdo-brasil-em-2017.ghtml FMI reduz previsão de alta para o PIB do Brasil em 2017 para 0,2% Diante das informações acima dado o pib total de 2015 e suponha que a cada ano se o pib crescer de foma acumulativa de 0,2%, calcule aproximadamente o valor do pib esperado para 2017.

9 GABARITO 01. Exercícios para aula 1. e 2. 2<y<9/2 3. K=2048; a=4 4. a,b,e. 5. a)k=1/30; b) Questão contexto Aproximadamente 5906,66 bilhões de reais. 02. Exercícios para casa 1. a 2. e 3. No ano de 2023 será de R$900 bilhões 4. No 3 ano é de habitantes 5. a 6. c 7. d 8. a 109