Exponencial: Equação e Função (Operações Básicas)

Transcrição

1 Exponencial: Equação e Função (Operações Básicas) Profª: Helen Savi Mondo de Oliveira Setembro 2014

2 Um pouco sobre a história O primeiro indício do uso de equações está relacionado, aproximadamente, ao ano de 1650 a.c., no documento denominado Papiro de Rhind, adquirido por Alexander Henry Rhind, na cidade de Luxor - Egito, em O papiro de Rhind também recebe o nome de Ahmes, um escriba que relata no papiro a solução de problemas relacionados à Matemática. (Noé, 2014) A ideia de se escrever x. x = x² ou x. x. x = x³ nos parece óbvia, mas a utilização de numerais indo-arábicos como expoentes de uma determinada base, na forma utilizada hoje, ocorreu somente por volta de 1637, sendo atribuída ao grande matemático francês René Descartes. Silva (2003)

3 Papiro de Rhind ou papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.c., onde um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 85 problemas de aritmética, frações, cálculo de áreas, volumes, progressões, repartições proporcionais, regra de três simples, equações lineares, trigonometria básica e geometria.

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5 Situação 1: A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por a) Qual era o número de indivíduos de cada população no instante zero?

6 Situação 1: A partir de um determinado instante t, que denominou instante zero (t = 0), um biólogo começou a estudar o crescimento das populações de duas culturas bacteriológicas A e B. Após o estudo, o cientista concluiu que em cada instante t, em minutos, o número f(t) e g(t) de indivíduos de A e B, respectivamente, eram dados por b) Em que instante o número de bactérias se igualam em cada cultura?

7 Situação 2 Represente a sua árvore genealógica e escreva o modelo matemático desta representação:

8 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: 1ª Propriedade Multiplicação de potências de mesma base, conserva-se a base e soma-se os expoentes: 2ª Propriedade Divisão de potências de mesma base: conserva-se a base e subtrai-se os expoentes:

9 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: 3ª Propriedade Potência de um produto: 4ª Propriedade Potência de uma divisão:

10 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS: 5ª Propriedade Potência de potência, conserva-se a base e multiplicasse os expoentes: 6ª Propriedade Potência de expoente racional: Sendo a um número real positivo e K e n números inteiros, com n 1, define-se:

11 EQUAÇÃO EXPONENCIAL As equações exponenciais, são expressões algébricas matemáticas, cuja incógnita se apresenta no expoente de uma ou mais potências de base positiva e diferente de 1. Paiva (2005)

12 EQUAÇÃO EXPONENCIAL A forma de resolução de uma equação exponencial permite que as funções exponenciais sejam também resolvidas de forma prática. Esse tipo de função apresenta características individuais na análise de fenômenos que crescem ou decrescem rapidamente. Elas desempenham papéis fundamentais na Matemática e nas ciências envolvidas com ela, como: Física, Química, Engenharia, Astronomia, Economia, Biologia, Psicologia entre outras. Para resolvermos uma equação exponencial precisamos aplicar técnicas para igualar as bases, assim podemos dizer que os expoentes são iguais.

13 FUNÇÃO EXPONENCIAL Toda relação de dependência, em que uma incógnita depende do valor da outra, é denominada função. A função denominada como exponencial possui essa relação de dependência e sua principal característica é que a parte variável representada por x se encontra no expoente.

14 FUNÇÃO EXPONENCIAL A lei de formação de uma função exponencial indica que a base elevada ao expoente x precisa ser maior que zero e diferente de um, conforme a seguinte notação: f: R R tal que y = a x, sendo que a > 0 e a 1.

15 FUNÇÃO EXPONENCIAL Uma função exponencial é utilizada na representação de situações em que a taxa de variação é considerada grande, por exemplo, em rendimento financeiros capitalizados por juros, no decaimento radioativo de substâncias químicas, desenvolvimento de bactérias e micro-organismos, crescimento populacional entre outras situações. As funções exponenciais devem ser resolvidas utilizando, se necessário, as regras envolvendo potenciação.

16 Exemplo Após o início de um experimento o número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão: N(t) = ,4t Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá bactérias?

17 Exemplo Sob certas condições, o número de bactérias B de uma cultura, em função do temo t, medido em horas, é dado por B(t) = 2t/12. Qual será o número de bactérias 6 dias após a hora zero?

18 Exemplo A partir de um mesmo instante, um cientista começou a estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e outra de formigas. As populações de cupins e de formigas cresceram de acordo com as funções e respectivamente, sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após o inicio do estudo. a) Qual era o número de indivíduos de cada população, um mês após o início do estudo?

19 Exemplo A partir de um mesmo instante, um cientista começou a estudar o crescimento de duas populações: uma de cupins e outra de formigas. As populações de cupins e de formigas cresceram de acordo com as funções e respectivamente, sendo f(t) e g(t) os milhares de indivíduos em t meses após o inicio do estudo. b) Depois de quanto tempo, a partir do início do estudo, as duas populações tiveram o mesmo número de indivíduos?

20 Questionamentos

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