Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica

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1 Fundamentos de Matemática Curso: Informática Biomédica Profa. Vanessa Rolnik Artioli Assunto: Funções 10/04/14 e 11/04/14

2 Definição de função Dados dois conjuntos A e B não vazios, uma relação f de A em B recebe o nome de aplicação de A em B ou função definida em A com imagens em B se, e somente se, para todo x A existe um só y B tal que (x, y) f. f : A B ( x A,! y B) Toda função é uma relação binária de A em B; portanto, toda função é um conjunto de pares ordenados. Geralmente, existe uma sentença aberta y = f (x) que representa a lei mediante a qual, dado x A, determina-se y B tal que (x, y) f, então f = {(x, y) x A, y Bey = f (x)}. Se (a, b) f, o elemento b é chamado imagem de a pela aplicação f ou valor de f no elemento a, indicada por: f (a) = b.

3 Exemplos Ex. 1) Voltando ao exemplo da aula passada, A = {0, 1, 2, 3} e B = { 1, 0, 1, 2, 3} R = {(x, y) A B y = x + 1} S = {(x, y) A B y 2 = x 2 } T = {(x, y) A B y = x} V = {(x, y) A B y = (x 1) 2 1} W = {(x, y) A B y = 2} Quais dessas relações reprensentam uma função de A em B?

4 Exemplos Ex. 2) f : R R x 2x + 1 a) qual a imagem de 0 pela função f? b) qual a imagem de 2 pela função f? Ex. 3) Escreva em notação matemática as seguintes funções: a) f associa a cada x de A um y de B tal que y = 2x. b) g leva a cada x de R um y de R tal que y = x 2. c) h faz corresponder a cada x R, um x R tal que y = x.

5 Domínio e Imagem Domínio de uma relação: conjunto D dos elementos x A para os quais existe y B tal que (x, y) f. Como pela definição de função, todo elemento de A tem essa propriedade, D = A. Imagem de uma relação; conjunto Im dos elementos y B para os quais existe x A tal que (x, y) f. Portanto, Im B. Ex. 4) Dadas as funções reais, determine seu domínio: a) y = 2x b) y = x 2 c) y = x d) y = 1 x Ex. 5) Sendo x 4, determine o conjunto imagem da função y = x + x 4.

6 Igualdade de funções Duas funções f : A B e g : C D são iguais se, e somente se, apresentarem: domínios iguais, A = B contradomínios iguais, C = D leis iguais, f (x) = g(x), para todo x do domínio. Isso equivale a dizer que duas funções são iguais se, e somente se, forem conjuntos iguais de pares ordenados. Ex. 6) Analise se as funções são iguais ou não: a) A = {1, 2, 3} e B = { 2, 1, 0, 1, 2}, f, g : A B, f (x) = x 1 e g(x) = x 2 1 x+1. b) f, g : R R, f (x) = x 2 e g(x) = x. c) f, g : R R, f (x) = x e g(x) = x.

7 Função constante f : R R x c, c R ou seja, f associa a cada elemento x R sempre um mesmo elemento c R. O gráfico da função constante é uma reta paralela ao eixo dos x, passando pelo ponto (0, c). Im = {c}. Ex. 7) Construa os gráficos das aplicações de R em R definidas por y = 3 e y = 1.

8 Função identidade f : R R x x ou seja, a função identidade associa a cada elemento x R o próprio x. O gráfico da função identidade é uma reta que contém as bissetrizes do 1o. e do 3o. quadrantes. Im = R. Ex. 8) Construa o gráfico da função identidade de R em R.

9 Função afim f : R R x ax + b, a 0 ou seja, a função afim associa a cada elemento x R, o elemento (ax + b) R, em que a 0 e b são números reais dados. O gráfico da função afim é uma reta. Im = R. a: coeficiente angular b: coeficiente linear Ex.8) Construa os gráficos das funções reais y = 2x + 1 e y = x + 3.

10 Zero de uma função é todo número x cuja imagem é nula, isto é, f (x) = 0. O zero da função afim é a abscissa do ponto onde o gráfico corta o eixo dos x.para encontrá-lo, basta resolver a equação de 1o. grau ax + b = 0. Ex. 9) Encontre o zero da função f (x) = 2x 1.

11 Funções crescentes ou decrescentes A função f : A B definida por y = f (x) é crescente no conjunto A 1 A se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a A 1, com x 1 < x 2, tivermos f (x 1 ) < f (x 2 ). De forma análoga, é decrescente no conjunto A 1 A se, para dois valores quaisquer x 1 e x 2 pertencentes a A 1, com x 1 < x 2, tivermos f (x 1 ) > f (x 2 ). Ex. 10) Analisar o crescimento das funções reais f (x) = 2x e f (x) = 2x. A função afim é crescente se, e somente se, o coeficiente angular a for positivo e decrescente se, e somente se, o coeficiente angular a for negativo. Demonstração:

12 Inequações Sejam as funções f (x) e g(x) cujos domínios são respectivamente D 1 R e D 2 R. Chamamos inequação na incógnita x qualquer uma das sentenças abertas: f (x) > g(x), f (x) < g(x), f (x) g(x) e f (x) g(x). Exemplos: 2x 4 > x, x x, x 2 1 x 3 Domínio de validade: D = D 1 D 2. Ex. 11) Voltando ao exemplo anterior, determinar o domínio de validade das inequações: 2x 4 > x, x x, x 2 1 x 3

13 Inequações Solução: O número real x 0 é solução de uma inequação se, e somente se, a sentença aberta é verdadeira. Resolver uma inequação significa determinar o conjunto de todas as soluções da inequação. Ex. 12) Qual a solução de 2x + 1 > x + 3 e de x + 1 > 1. Duas inequações são equivalentes em D R se o conjunto solução da primeira for igual ao conjunto solução da segunda. Ex. 13) Analisar a equivalência das inequações a) 3x + 6 > 0 e x + 2 > 0, b) x < 1 e x 2 < 1.

14 Princípios de equivalência Sejam as funções f (x) e g(x) definidas em D 1 e D 2, respectivamente. P1) Se a função h(x) for definida em D 1 D 2, as inequações f (x) < g(x) e f (x) + h(x) < g(x) + h(x) são equivalentes em D 1 D 2. P2) Se a função h(x) for definida em D 1 D 2 e tiver sinal constante, então a) se h(x) > 0, as inequações f (x) < g(x) e f (x).h(x) < g(x).h(x) são equivalentes em D 1 D 2. b) se h(x) < 0, as inequações f (x) < g(x) e f (x).h(x) > g(x).h(x) são equivalentes em D 1 D 2. Ex. 14) Analisar a equivalência das inequações: a) x e 6x 9 > 4, b) 2x 2 + 3x > 1 e 2x 2 3x < 1, c) 4x 3 x 2 +1 > 0 e 4x 3 > 0.

15 Exercícios Resolva as inequações em R: a) 3x + 2 < x + 3 < x + 4 b) (x + 2)(2x 1) > 0 c) (3x 2)(x + 1)(3 x) < 0 d) (3x + 1)(2x 5) 0 e) (3x 2) 3 > 0 f) (4x 3) 6 > 0 g) (2x + 1) 5 < 0 h) (3 5x) 7 0 i) (4x 5) 2 0 j) (8 2x) 4 0 k) 3x+4 1 x 2