Potenciação Equação Exponencial Função Exponencial. Prof.: Joni Fusinato 1

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1 Potenciação Equação Exponencial Função Exponencial Prof.: Joni Fusinato 1

2 Potenciação ou Exponenciação Operação usada para simplificar a multiplicação de números iguais. Exemplos: 2 x 2 x 2 x 2 = 2 4 = 16 5 x 5 x 5 = 5 3 = 125

3 Definições Todo número elevado à zero é igual a 1, exceto se a base for zero 0 0 a 1com a 0 Exemplo : 2 1 Todo número elevado a 1 será igual a ele mesmo a a Exemplo : 2 2, 0 0 A base 1 elevada a qualquer expoente é igual ao próprio 1 n Exemplo : 1 1

4 Definições Potência com expoente negativo: inverte-se a base e o sinal do expoente n a com a 0 2 n 3 a 2 8 Potência com expoente fracionário: pode ser transformada em um radical, ou seja, em uma raiz, onde o numerador e o denominador do expoente serão respectivamente o índice e o expoente do radicando. m n n m 2 a a com n 0. Exemplo : 3 3 1

5 Propriedades da Potenciação Multiplicação de potências de mesma base: permanece a base e soma-se os expoentes. m n mn a.a a Exemplo : Divisão de potências de mesma base: permanece a base e subtrai-se os expoentes. a a m n 5 mn 53 2 a a 0. Exemplo :

6 Propriedades da Potenciação Potência de uma potência: multiplica-se os expoentes. (a m ) n a m. n Exemplo : (2 2 ) Potência de uma divisão: é igual a divisão desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente. m 2 2 m a a b 0. Exemplo : m 2 b b Potência de uma multiplicação: é igual a multiplicação desses fatores, cada um elevado ao mesmo expoente m m 3 (a. b) a.b m Exemplo : (2. 5) x

7 Atividades 7

8 Use as propriedades para resolver as potências a) h) b) c) d) a.a.a e) f) 7 g) 4 3 i) j) 5 2 l) 3 2 k) (4 )

9 Radiciação 9

10 10

11 11

12 12

13 Atividades Ler a teoria nas páginas 204 a 213 Fazer os exercícios da página 208: 2, 3 e 4 e página 211: 8 13

14 Chama-se função exponencial a função ƒ:r R +* tal que ƒ(x) = a x em que a R e a > 0 e a 1 Exemplos: f (x) 2 x y 3.4 x y 1 2 x f (x) 2 5 x Se liga! Funções exponenciais crescem ou decrescem muito rapidamente.

15 Algumas aplicações... Crescimento populacional Matemática financeira. Fissão Nuclear Resfriamento dos materiais.

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17 DbWXw

18 Fissão Nuclear

19 Gráficos da Função Exponencial A função exponencial ƒ(x) = a x é crescente se a >1 A função exponencial ƒ(x) = a x é decrescente se 0 < a < 1;

20 Construímos uma tabela atribuindo alguns valores para x e calculamos as imagens (valor de y) correspondentes. y 2 x Função Crescente pois a < 1

21 Função Decrescente pois 0 < a < 1 y 1 2 x

22 Propriedade da Equação Exponencial Sendo a > 0 e a 1, tem-se que a x = a t x = t. Exemplos: 2 x = 32 2 x = 2 5 x = 5 3 x - 2 = 81 3 x - 2 = 3 4 x 2 = 4 x = 6 x x x x x 2 3

23 Exemplos

24 No dia 5 de agosto de 2010, um desmoronamento bloqueou a saída da mina San José, no norte do Chile. Desde então, 33 homens ficaram presos sob a terra, a 622 m de profundidade, recebendo água e comida por meio de sondas. Os operários bateram recorde de sobrevivência debaixo da terra, foram 69 dias de angústia para as famílias. O resgate, realizado em 14 de outubro de 2010, foi emocionante e comoveu o mundo. Foi aberto um túnel, pelo qual os mineiros foram içados um a um, dentro de uma cápsula metálica.

25 Considere que, após atingir 110 metros de escavação, encontrou-se uma camada diferente de rochas e a perfuradora precisou ser trocada por uma nova máquina, mais adequada ao tipo de trabalho a ser feito. Considere também que a profundidade da escavação do túnel, após a troca da perfuradora, em metros, seja dada pela função P(t) = t, em que t representa o número de semanas de escavação com a nova perfuradora. Calcule a profundidade do túnel na 5ª semana de escavação com a nova perfuradora. R: 142 metros Calcule o número de semanas que a nova perfuradora precisou para atingir a profundidade em que estavam os mineiros. R: 9 semanas

26 Aplicações das Funções Exponenciais A função exponencial expressa um crescimento ou um decrescimento característico de alguns fenômenos da natureza. Vamos explorar algumas dessas aplicações. Na Matemática Financeira: Cálculo dos Juros Compostos. Na Biologia: crescimento de determinados seres vivos microscópicos como as bactérias e vírus. Na Química: decaimento radioativo de alguns elementos químicos.

27 Aplicações das Funções Exponenciais Mercado Financeiro: Juros Compostos A quantia de R$ 6.000,00 foi aplicada durante 6 anos em Títulos do Tesouro Direto Selic a uma taxa anual de 14,25% ao ano. a) Qual será o saldo no final de 12 meses? b) Qual será o montante final? M = C.(1+ i) t (Fórmula dos juros compostos) Onde: C = capital M = montante final i = taxa de juros (em decimais) t = tempo de aplicação

28 Aplicações das Funções Exponenciais a) Após 12 meses = 1 ano Resolução M =? C = i = 14,25% a.a = 0,1425 (taxa em decimais) t = 12 meses = 1 ano M = C.(1+ i) t M = (1 + 0,1425) 1 M = (1,1425) 1 M = (1,1425) M = Após 12 meses ele terá um saldo de R$ 6.855,00. b) Montante final Resolução M =? C = i = 14,25% a.a = 0,1425 t = 6 anos M = C.(1+ i) t M = (1+ 0,1425) 6 M = (1,1425) 6 M = (2,2240) M = ,00 Após 6 anos ele terá um saldo de R$ ,00

29 O número de bactérias de uma cultura é dado pela expressão: N(t) = ,4t (tempo em horas). Quanto tempo após o início do experimento a cultura terá bactérias? N(t) = ,4t N(t) = ,4t = ,4t = / ,4t = ,4t = 2 4 0,4t = 4 t = 4/0,4 t = 10 h A cultura terá bactérias após 10 h.

30 O acidente do reator nuclear de Chernobyl, em 1986, lançou na atmosfera grande quantidade de estrôncio ( 90 Sr) radioativo, cuja meia-vida é de 28 anos. Supondo que esse isótopo fosse a única contaminação radioativa e que o local poderá ser considerado seguro quando a quantidade de 90 Sr se reduzir, por desintegração, a 1/16 da quantidade inicialmente presente, o local poderá ser habitado novamente a partir do ano de: a) 2014 b) 2096 c) 2266 d) 2986 A função que relaciona a quantidade de 90 Sr presente em função do tempo é dado por: N(t) N t 28

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32 Conceitos e Propriedades. Equações Exponenciais 32