SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS
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- Isaque Manoel Escobar Pereira
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1 PET FÍSICA SISTEMA DE EIXOS COORDENADOS Aula 6 TATIANA MIRANDA DE SOUZA VICTOR ABATH DA SILVA FREDERICO ALAN DE OLIVEIRA CRUZ
2 AGRADECIMENTOS Esse material foi produzido com apoio do Fundo Nacional de Desenvolvimento da Educação e do Programa de Educação Tutorial PET, do MEC - Ministério da Educação Brasil. 2
3 DOS AUTORES Essa apostila foi construída para ser um material de apoio às atividades de tutoria, realizadas pelos bolsistas do Programa de Educação Tutorial Física/UFRRJ, e não tem como pretensão a substituição de materiais tradicionais e mais completos. O conteúdo aqui poderá ser compartilhado e reproduzido, desde que sejam dados os devidos créditos as pessoas responsáveis por compilar os temas aqui presentes. Uma boa leitura! 3
4 SUMÁRIO 1. Plano Cartesiano Representação gráfica de funções no plano cartesiano Função Constante Função polinomial de 1º grau Função polinomial de 2º grau Função exponencial Função logarítmica Função modular Representação gráfica das cônicas Exercícios de fixação Referências
5 1. Plano Cartesiano A forma mais usada para mostrar a relação entre duas varáveis de interesse, sejam elas quais forem, é utilizar o chamado sistema de sistema de coordenadas cartesianas. A sua representação é dada por duas retas perpendiculares e orientadas, uma na horizontal, denominada eixo das abscissas ou eixo x, e a outra na vertical, denominada eixo das ordenadas ou eixo y (BARROSO, 2010). Essas duas retas, dividem o espaço onde está localizado em quatro regiões, que são denominadas quadrantes, e que permite visualizar as características de uma função do tipo f(x). Figura 1: Representação dos quadrantes no plano cartesiano. Em cada um desses quadrantes as variáveis x e y assumem valores positivos e negativos, que são os seguintes (PEREIRA & SODRÉ, 2012): 1º quadrante: x > 0 e y > 0; 2º quadrante: x < 0 e y > 0; 3º quadrante: x < 0 e y < 0; 4º quadrante: x > 0 e y > 0. além dos valores de x e y é importante que o leitor saiba que o ponto de encontro entre os dois eixos forma a origem do plano cartesiano, isto é, o ponto de coordenadas. 2. Representação Gráfica de Funções no plano cartesiano A seguir serão apresentadas algumas funções que são comumente usadas nas disciplinas de física e que é de suma importância entender suas características (PEREIRA & SODRE, 2005) Função Constante Definida pela equação, onde todos os pontos da abscissa possuem a mesma ordenada. O gráfico de qualquer função constante definida sempre será uma reta paralela ao eixo, passando pelo ponto, que poderá (SANTOS et al, 2012): estar acima do eixo x se n > 0; 5
6 abaixo do eixo x se n < 0; sobre o eixo x se n = 0. Exemplo 1 - Considere a função: f(x) = 3 Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2]. x y = f(x) (x,y) -2 3 = 3 (-2, 3) -1 3 = 3 (-1, 3) 0 3 = 3 (0, 3) 1 3 = 3 (1, 3) 2 3 = 3 (2, 3) Figura 2: Representação da função f(x) = 3 no plano cartesiano Função Polinomial de 1º Grau Definida pela equação, sendo é coeficiente angular que determina a inclinação da reta e o coeficiente linear que indica em qual posição a reta irá cortar o eixo. Todas as representações gráficas das funções desse tipo serão uma reta e o zero da função indicará o ponto em que a reta interceptará o eixo. Esse tipo de função tem as seguintes características (SILVA & BARRETO FILHO, 2005): Se a > 0 a reta será ascendente (/); Se a < 0 a reta será descendente (\). - As funções de primeiro grau estão presentes em muitos problemas, os mais comuns sãos as que descrevem as funções horárias do movimento retilíneo uniforme e da velocidade para o movimento uniformemente variado. 6
7 Exemplo 2 Considere a função: f(x) = 2x + 1 onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y. Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2]. Resposta: Como, vamos determinar os possíveis valores do domínio: x y = f(x) (x,y) -2 2 (-2) 1 = -5 (-2, -5) -1 2 (-1) 1 = -3 (-1, -3) = -1 (0, -1) = 1 (1, 1) = 3 (2, 3) Após marcarmos os pares no plano cartesiano, encontramos a seguinte figura: Figura 3: Representação da função f(x) = 2x + 1 no plano cartesiano Função Polinomial de 2º Grau Definida pela equação, que tem como forma geométrica a figura denominada de parábola. Para esse tipo de função, temos que a representa a concavidade da parábola formada, tal que: Se a > 0 a concavidade é voltada para cima ( ); Se a < 0 a concavidade é voltada para baixo ( ). Enquanto que o parâmetro c representa o ponto de interseção com o eixo ordenado. - A função horária do movimento uniformemente variado é uma função do segundo grau, tal que. 7
8 Exemplo 3 Considere a função: f(x) = 7x 2 + 1x - 9 onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y. Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2]. Resposta: Como, vamos determinar os possíveis valores do domínio: x y = f(x) (x,y) -2 7 (-2) 2 +1(-2) 9 = 17 (-2, 17) -1 7 (-1) 2 +1(-1) 9 = -3 (-1, -3) 0 7 (0) 2 +1(0) 9 = -9 (0, -9) 1 7 (1) 2 +1(1) 9 = -1 (1, -1) 2 7 (2) 2 +1(2) 9 = 21 (2, 21) Figura 4: Representação da função f(x) = 7x 2 +1x-9 no plano cartesiano Função exponencial Dizemos que uma função é exponencial quando a variável se encontra no expoente de um número, real, tal que f(x) = ka nx sendo real teremos: k 0; a > 1 ou 0 < a < 1; n IR 1. Uma informação importante sobre as funções exponenciais é que elas sempre possuem um par ordenado (0,1), visto que qualquer número elevado à zero (0) é igual a um (1). 1 Em algumas funções o n admite valores imaginários, mas esse não é o caso da nossa discussão no momento. 8
9 - As funções exponenciais com base neper (e) são muitos comuns na física, como por exemplo, a expressão do decaimento radioativa escrita como N = N 0 e - t. Exemplo 4 Considere a função: f(x) = 2 2x onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y. Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2]. x y = f(x) (x,y) (-2) = 0,0625 (-2, 0,0625) (-1) = 0,25 (-1, 0,25) (0) = -9 (0, 1) (1) = 4 (1, 4) (2) = 21 (2, 16) Figura 5: Representação da função f(x) = 2 2x no plano cartesiano Função Logarítmica Uma função é denominada logarítmica quando ela é escrita como f(x) =, onde: k 0 a > 1 ou 0 < a < 1; x > 0 Esse tipo de função tem como característica sempre possuir um par ordenado (1,0), ser crescente quando a > 1 e decrescente quando 0 < a < 1. - A escala Richter é utilizada para quantificar a magnitude de um terremoto, sendo escrita como M = 0,67-7,9, onde E representa a energia liberada durante o evento sísmico. 9
10 Exemplo 5 Considere a função: f(x) = onde para cada valor de x fornecerá um de f(x), que será o valor atribuído ao eixo y. Para essa função, determine o gráfico para valores de x no intervalo [1, 5]. x y = f(x) (x,y) 1 log 10 (1) = 0 (1, 0) 2 log 10 (2,0) = 0,30 (2, 0,30) 3 log 10 (3,0) = 0,47 (3, 0,47) 4 log 10 (4,0) = 0,60 (4, 0,60) 5 log 10 (5,0) = 21 (5, 0,70) Figura 6: Representação da função f(x) = no plano cartesiano Função Modular Consideramos uma função modular, quando está é escrita, por exemplo, da forma f(x) = x, terá sempre valor igual ou maior que zero independente dos valores atribuídos a x (PEREIRA & SODRÉ, 2012). - Uma aplicação da função modular é realizada em problemas formação de imagem em espelhos planos, onde as posições do objeto e da imagem são sempre positivas. Exemplo 6 Considere a função: f(x) = x Determine o gráfico para valores de x no intervalo [-2, 2]. x y = f(x) (x,y) -2-2 = 2 (-2, 2) -1-1 = 1 (-1, 1) 10
11 0 0 = 0 (0, 0) 1 1 = 1 (1, 1) 2 2 = 2 (2, 2) Figura 7: Representação da função f(x) = x no plano cartesiano. 3. Representação Gráfica das Cônicas As cônicas 2 são as curvas formadas pela intersecção de um plano que atravessa um cone, que podem ser (STEINBRUCH & WINTERLE, 1987): Círculo São funções descritas pela equação, onde a representa o raio da circunferência. Figura 8: Representação de um círculo no plano cartesiano, com raio 1. 2 Um parâmetro importante sobre as cônicas é denominado de excentricidade (e), onde em cada situação temos um valor associado a cada uma delas. Nessa classificação temos: Se e = 0 temos uma circunferência; Se 0 < e < 1 temos uma elipse; Se e = 1 temos uma parábola; Se e > 1 temos uma hipérbole. 11
12 Elipse São funções descritas por elipse., sendo que a e b são os semieixos da Figura 9: Representação de uma elipse no plano cartesiano, com a = 2 e b = 1. - Um exemplo de trajetórias elípticas está relacionado aos movimentos dos planetas do nosso sistema solar, estes possuem órbitas elípticas em torno do Sol. Entre eles, o que possui um movimento quase circular é Vênus, que possui excentricidade de 0,0068. Hipérbole São funções descritas por semi-eixo menor., sendo a é o semi-eixo maior e b é o Figura 10: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = 1 e b = 1. Parábola São funções descritas por, sendo a > 0. 12
13 Figura 11: Representação de uma hipérbole no plano cartesiano, com a = Exercícios de fixação Faça os gráficos das seguintes funções, para o intervalo [-3,3]. a) y = 1 + 9x; b) y =3-3x; c) y = 1-9x+4x 2 ; d) y = 0,25x 3 ; e) y = 3 f) y = 6-7x 5. Referências BARROSO, J. M. Conexões com a matemática. 1ª ed. v.1, São Paulo: Moderna, SANTOS, A. R. et al. Gráficos de Funções: Definição e Exemplos Disponível em: Acesso em: 28 jul PEREIRA, R. M. M.; SODRÉ, U. Ensino Médio: Relações e Funções. Disponível em: Acesso em: 27 jul SILVA, C. X.; BARRETO FILHO, B. Matemática Aula por aula. 2 ed. São Paulo: FTD, STEINBRUCH, A.; WINTERLE, P. Geometria Analítica. 2 ed. Rio de Janeiro: Pearson,
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