a n = a.a.a...a Aula 01 _ Revisão de Potência FUNÇÃO EXPONENCIAL a n+1 = (a.a.a...a).a a n+1 = a n.a (a.a.a.a...a).(a.a...

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1 Aula 01 _ Revisão de Potência FUNÇÃO EXPONENCIAL 1 1) Revisão de Potência Assim: a 1 = a e a n = a.a.a.....a a n+1 = (a.a.a.....a).a 2) Propriedades das Potências P1) a m.a n = a m+n Demonstração: a m.a n = n + 1 fatores (a.a.a.a.....a).(a.a.....a) m fatores P2) (a m ) n = a m.n Dem.: n fatores (a m ) n = a m. a m. a m..... a m n fatores P1 = a n fatores = a m+n n parcelas m+m+m+... +m a n+1 = a n.a = a m.n

2 Aula 01 _ Revisão de Potência FUNÇÃO EXPONENCIAL 2 P3) a 0 = 1 Dem.: a 1 = a 0+1 P1 = a 0.a 1 P4) a n = _1_ a n Dem.: Da P3, sabemos que: 1 = a 0 a 1 = a 0.a 1 a 1 = a 0.a 1 a 1 a 1 1 = a 0 P1 = a n n = a n. a n P5) _a m _ = a m n a n Dem.: _a m _ = a m P4. _1_ = a m. a n a n a n P1 1 = a n. a n _1_ = a n a n _a m _ = a m n a n

3 Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação) FUNÇÃO EXPONENCIAL 3 P6) (a.b) n = a n.b n Dem.: n fatores (a.b) n = (a.b).(a.b).....(a.b) = (a.a.....a).(b.b.....b) = a n.b n P7) ( a / b ) n = a n /b n Dem.: n fatores ( a / b ) n = ( a / b ).( a / b ).....( a / b ) P8) Dem.: a = a 1 = a n/n P2 = (a 1/n ) n P9) Dem.: a m = (a m ) n/n P2 = (a m/n ) n = a.a.....a b.b.....b a = (a 1/n ) n a m = (a m/n ) n = a n b n

4 Aula 02 _ Propriedades das Potências (continuação) FUNÇÃO EXPONENCIAL 4 Q1) Calcule: a) ( 3) 2 b) 3 2 c) ( 3) 0 d) 3 0 e) 1 7 f) 1 7 g) ( 1) 7 h) ( 1) 7 i) ( 3 / 4 ) 2 j) ( 3 / 4 ) 1 k) ( 3 / 4 ) 0 l) ( 3 / 4 ) 2 Q2) Se n ϵ N, calcule o valor de: L = ( 1) 2n ( 1) 2n+3 + ( 1) 3n ( 1) n Q3) Sendo a.b 0, simplifique as expressões: a) (a 2.b 3 ) 2. (a 3.b 2 ) 3 b) [(a 3.b 2 ) 4 ] 3 c) (a 4.b 2 ) 3 d) a 4.b 3 5 (a.b 3 ) 2 a 2.b Q4) Determine o algarismo das unidades de (DICA: Considere 14 n quando n for par ou quando n for ímpar.)

5 Aula 03 _ Função Exponencial FUNÇÃO EXPONENCIAL 5 3) Definição de Função Exponencial Seja f : R R + tal que f(x) = a x, sendo a ϵ R + e a 1, então f é denominada Função Exponencial. Observação 1 f(x+y) = a x+y P1 = a x.a y = f(x).f(y) Ou seja, a função exponencial tem a característica de transformar a imagem de uma soma em um produto de imagens. Observação 2 f(x) = f( x / 2 + x / 2 ) = f( x / 2 ).f( x / 2 ) = [f( x / 2 )] 2 > 0 Ou seja, para todo valor de x, temos f(x) > 0. Q5) GRÁFICO DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Construa o gráfico de: a) f(x) = 2 x b) f(x) = ( 1 / 2 ) x c) f(x) = 3 x b) f(x) = ( 1 / 3 ) x Q6) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas.

6 Aula 04 _ Equações Exponenciais FUNÇÃO EXPONENCIAL 6 4) Equações Exponenciais São equações nas quais a incógnita aparece no expoente. Q7) Resolva SOMENTE as equações exponenciais. a) 2x = 32 b) 2 x = 32 c) ( 1 / 3 ) x = 81 d) ( 1 / 3 )x = 81 e) 2 x = 64 f) 4 x = 32 g) 8 x = 1 / 32 h) [(2) 1/2 ] x = 64 Q8) Resolva as equações exponenciais. a) 2 3x 1 = 32 b) 7 4x + 3 = 49 c) 11 2x + 5 = 1 d) ( 1 / 25 ) 2x+3 = 5 3x 1 e) f) g) Q9) Resolva as seguintes equações. a) 2 3x. 4 y = 32 b) 4 x 2 x = 12 c) 3 x+1 3 x 3 x 1 = 45 4 = 1 2 x + y

7 Aula 05 _ Inequações Exponenciais FUNÇÃO EXPONENCIAL 7 5) Inequações Exponenciais São inequações nas quais a incógnita aparece no expoente. IMPORTANTE: Se a > 1, então: a x > a y x > y (repete o sinal) Se a < 1, então: a x > a y x < y (inverte o sinal) Q10) Resolva as inequações exponenciais. a) 2 x < 8 b) 6 x.x + x > 36 c) ( 1 / 3 ) 3x 1 1 d) ( 1 / 9 ) 3x 1 ( 1 / 9 ) 2x e) [(2) 1/2 ] 3x 1 8 1/4 f) 3 x x 1 11 g) (0,3) 4x 5 < ( 3 / 10 ) 2x Q11) (UFBA) A expressão P(t) = k.2 0,05.t fornece o número P de milhares de habitantes de uma certa cidade em função do tempo t, em anos. Se em 1990 essa cidade tinha habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000? A) B) C) D) (considere 2 1,41)

8 Aula 06 _ Logaritmo FUNÇÃO LOGARÍTMICA 8 Os Logaritmos surgiram para facilitar os cálculos. Q1) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos. a) 16 x 32 n b) 512 : 64 2 n c) ) Definição de Logaritmo Com a 1 e x > 0, b > 0 e a > 0 Denomina-se: a base da potência base do logaritmo x expoente logaritmo b potência logaritmando Q2) Sabendo que 2 10 = 1024, logo com um pequeno erro de 2,4%. Segue que ,3. Calcule log2 Q3) Analogamente a questão anterior, considerando que Calcule log3 Q4) Resolva as equações exponenciais: a) 10 x = 2 b) 10 x = 3

9 Aula 07 _ Consequências da Definição FUNÇÃO LOGARÍTMICA 9 Q5) Observe a tabela abaixo e utilize-a para efetuar os cálculos a) 3125 x 125 b) : 25 Q6) Utilizando a definição de logaritmo, converta de potência para logaritmo e vice versa. a) log 8 = 3 b) log 1 = 0 c) log 10 = d) 2 7 = 128 e) 32 = 9 f) 10 3 = 1000 g) log 100 = 2 Q7) Calcule o valor dos logaritmos: a) log 64 b) log 5 c) log 0, d) log Q8) CONSEQUÊNCIAS DA DEFINIÇÃO Demonstre que: a) log 1 = 0 b) log a = 1 c) log a n = n d) a a a e) 9 3 3

10 Aula 08 _ Propriedades dos Logaritmos FUNÇÃO LOGARÍTMICA 10 2) Propriedades dos Logaritmos P1) P2) P3) P4) P5) Q9) Demonstre as Propriedades dos Logaritmos. Q10) Dados log2 = 0,3, log3 = 0,48 e log5 = 0,7, calcule: a) log 20 b) log 0,0002 c) log d) log 0,3 e) Log 500 f) log 14,4 g) log 12 h) log Q11) Em uma calculadora científica, partindo de 40 bilhões, quantas vezes devemos apertar a tecla log para que apareça erro?

11 Aula 09 _ Função Logarítmica FUNÇÃO LOGARÍTMICA 11 3) Função Logarítmica Seja a função f : R + R tal que f(x) = log é denominada Função Logarítmica. Q12) Dadas as funções f(x) = log 3 x e g(x) = log 4 x. Determine: a) f(9) b) g(1) c) f(27) + g(16) d) x tal que g(x) = 4 e) x tal que f(x) = 2 Q13) GRÁFICO DA FUNÇÃO LOGARÍTMICA Construa o gráfico de: a) f(x) = log 2 x b) f(x) = log 1/2 x a x, com a > 0 e a 1, então f Q14) Com base nos gráficos da questão anterior, escreva 3 conjecturas. Q15) Demonstre que as funções exponenciais e logarítmicas são inversas uma da outra. Para isso, basta mostrar que f(g(x)) = g(f(x)).

12 Aula 10 _ Equações Logarítmicas FUNÇÃO LOGARÍTMICA 12 4) Equações Logarítmica São três tipos. Vejamos: 1º) log a f(x) = log a g(x) Precisa verificar a Condição de Existência. Q16) Resolva as equações: a) log 4 (3x + 2) = log 4 (2x + 5) b) log 3 (2x 3) = log 3 (4x 5) c) log 5 (x 2 3x 10) = log 5 (2 2x) d) log 4 (4x x + 2) = log 4 (2x + 5) 2º) log a f(x) = k (com k > 0 e k 1) Basta aplicar a definição. Q17) Resolva as equações: a) log 2 (3x + 1) = 4 b) log 3 (x 2 + 3x 1) = 2 c) log 2 [1 + log 3 (1 2x)] = 2 3º) Trocando a variável Q18) Resolva as equações: a) (log 2 x) 2 log 2 x 2 = 0 b) log 2 4x 2.log 4 x 3 = 0

13 Aula 11 _ Inequações Logarítmicas FUNÇÃO LOGARÍTMICA 13 5) Inequações Logarítmica Inicialmente, devemos lembrar que: IMPORTANTE: Se a > 1, então: log a x > log a y x > y (repete o sinal) Se a < 1, então: log a x > log a y x < y (inverte o sinal) Também são três tipos. Vejamos: 1º) log a f(x) = log a g(x) Precisa verificar a Condição de Existência. Q19) Resolva as inequações: a) log(x 2 x 2) < log(x 4) b) log 1/2 (3x 1) log 1/2 (2x + 3) 2º) log a f(x) >< k Precisamos reduzi-las ao 1º tipo. Q20) Resolva as equações: a) log 3 (3x + 2) < 2 b) log 1/2 (2x 2 3x) > 1 3º) Trocando a variável Q21) Resolva as equações: a) log 2 3x 3.log 3 x + 2 > 0 b) log 2 x > 1

14 Aula 12 _ Exercícios FUNÇÃO LOGARÍTMICA 14 Q22) Em Química, define-se o ph de uma solução como o logaritmo decimal (de base 10) do inverso da respectiva concentração de H 3 O + (íon hidroxônio). O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de H 3 O + é de 4, mol / l (em média). Qual o ph desse líquido? Dado: log 4,8 0,7 Q23) Considerando que Q = Q o.e r.t, onde Q é a massa de uma substância, r é a taxa em que ela se desintegra e t é o tempo em anos. Em quantos anos 500 g de uma certa substância radioativa, que se desintegra a uma taxa de 3% ao ano, se reduzirão à 100 g? Dado: ln e = 1 e ln 5 1,59 Q24) (UFRN) Se log 5 x + log 5 y = 3, com x e y inteiros e maiores que 1, então: a) x.y = 15 b) x.y = 25 c) x + y = 20 d) x = y = 30 Q25) (UFCE MODIFICADA) Qual o valor de [5.log (5.log 100)] 2