FUNÇÕES EXPONENCIAIS Leia e descubra que eu não vim do além

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1 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Leia e descubra que eu não vim do além Coordenação da Matemática 1

2 De potência em potência Os primeiros registros de cálculos utilizando potências são encontrados em tabelas babilônicas, que remontam a, aproximadamente, 1000 a.c. Tais tabelas eram utilizadas para a resolução de problemas específicos e continham, em geral, 10 potências sucessivas de um mesmo número. Coordenação da Matemática 2

3 O vocábulo potência vem de uma palavra grega que os pitagóricos empregaram para designar um número elevado ao quadrado. No século III da era cristã, Diofante de Alexandria, em sua obra Arithmética, apresentou a utilização de abreviações específicas para potências, bem como a aplicação de algumas regras de operações e nomes especiais para potências com expoentes negativos. Coordenação da Matemática 3

4 A generalização do conceito de potência deve-se, no entanto, ao bispo francês Nicole Oresme que, no século XIV, incluiu em seus trabalhos potências com expoentes racionais e irracionais, além de uma sistematização das regras de operações com potências. Coordenação da Matemática 4

5 Devem-se a Nicolas Chuquet, no século XV, as primeiras utilizações de potências com expoente zero e a representação de expressões algébricas que envolviam potências. Finalmente, no século XVII, René Descartes passou a empregar a notação de potência na forma hoje utilizada. Coordenação da Matemática 5

6 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 6

7 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 7

8 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 8

9 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 9

10 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 10

11 Gráfico da função exponencial f ( x) 2 x Coordenação da Matemática 11

12 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 12

13 Gráfico da função exponencial f ( x) 1 2 x 1 Coordenação da Matemática 13

14 FUNÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 14

15 EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Coordenação da Matemática 15

16 Resolva as equações exponenciais Coordenação da Matemática 16

17 Resolva as equações exponenciais Coordenação da Matemática 17

18 Inequações exponenciais Para resolver as inequações, utiliza-se a seguinte propriedade de funções exponenciais. Coordenação da Matemática 18

19 Resolva as inequações exponenciais Coordenação da Matemática 19

20 Aplicação de Inequação Algumas colônias de bactérias proliferam, inicialmente, numa escala exponencial. Supondo que a quantidade de bactérias de uma colônia em função do tempo, em horas, seja dada pela função f(x)=2 x, a partir de qual hora a população será maior ou igual a de bactérias? Se necessário, use:. Coordenação da Matemática 20

21 Aplicações 1) Juros compostos capitalizados continuamente ou certos tipos de crescimento exponencial (populações de cidades, população de uma cultura de bactérias, etc.). C=C 0.e r.t Coordenação da Matemática 21

22 Aplicações 2) Certos tipos de decréscimo exponencial como ocorre na Desintegração Radioativa, Perdas Contínuas, etc. Q=Q 0.e - r.t Coordenação da Matemática 22

23 Coordenação da Matemática 23

24 Vejamos, agora, após 60 minutos: P(60)= 1000.e 60k = 1000.e (10k).6 = = = Após 1 hora, existirão bactérias. Coordenação da Matemática 24

25 APLICAÇÕES 1. Suponhamos que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a x anos, em habitantes. Estima-se que, durante o 3º ano, essa população: a)se manterá constantes; b)aumentará em até 125 habitantes; * c)aumentará em até 250 habitantes; d)diminuirá de até 125 habitantes; e)diminuirá de até 250 habitantes. Coordenação da Matemática 25

26 APLICAÇÕES 2. Um recenseamento realizado em 2000 indicou que a população de um determinado país era de 120 milhões de habitantes. Considerando, a partir de 2000, um crescimento anual de 2,0 %, pode-se estabelecer a relação P(t)=p(1+2/100) t ou P(t)=p.1,02 t, que expressa a população P em função do tempo t em anos, sendo p o valor de a) Construa o gráfico de P(t) para b) Estime a população desse país em 2010 e no ano c) Depois de quantos anos a população desse país atingiu habitantes? Coordenação da Matemática 26

27 APLICAÇÕES 3. Uma indústria de peças reorganizou sua produção de tal forma que esta tenha uma crescimento anual de 50%. Em 2004, ano da implantação do novo plano de produção, a indústria fabricou peças. a) Determine a lei que expressa a produção P em função do tempo t em anos, a partir de 2004 b) Esboce o gráfico de P(t) c) Em que ano a indústria atingirá a produção de peças? Coordenação da Matemática 27

28 APLICAÇÕES 4. Uma substância química radioativa apresenta meia vida de 20 anos (meia-vida é o tempo que o elemento radioativo leva para desintegrar metade de sua massa radioativa). Sabendo que a massa inicial da substância é de 200 g, determina a função f que relaciona o tempo t com a massa desintegrada [f(t)]. Faça o gráfico de f e determine a massa restante após 1 século (supõe-se que a desintegração é uniforme no decorrer do tempo t). Coordenação da Matemática 28

29 Considerações para resolução A lei de desintegração de material radioativo, temos que onde f(t) é a quantidade de rádio no instante t e m o é a massa inicial e k é a meia-vida, sendo ambas constantes positivas. Coordenação da Matemática 29

30 Resolução Coordenação da Matemática 30

31 m (g) Resolução DESINTEGRAÇÃO DE UMA SUBSTÂNCIA RADIOATIVA m = 200e -0,0347t t (anos) Coordenação da Matemática 31

32 APLICAÇÕES 5. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função x(t)=c.e kt, onde x(t) é o número de bactérias no tempo e c e k são constantes positivas. Verificando-se que o número inicial de bactérias x(0) duplica em 4 horas, quantas se pode esperar no fim de 6 horas?se a metade da quantidade inicial M(0) desaparece em anos, qual será a quantidade que se perde em 100 anos? Coordenação da Matemática 32

33 APLICAÇÕES 6. Uma substância radioativa está em processo de desintegração de tal modo que, no instante t, a quantidade não desintegrada é A(t) A(0).e -3t, onde A(0) indica a quantidade de substância no instante t=0. Qual será o tempo necessário para que a metade da quantidade inicial se desintegre? Coordenação da Matemática 33

34 APLICAÇÕES 7. Colocando numa panela 200g de água, inicialmente a 50 O C, sua temperatura vai caindo até atingir a temperatura ambiente de 20 O C. Suponha que esse resfriamento ocorra segundo a lei T= t (onde T é a temperatura da água, em O C, t horas após o início da experiência, faça um esboço do gráfico da temperatura da água em função do tempo. Coordenação da Matemática 34

35 APLICAÇÕES 8. Em contraposição ao crescimento exponencial, existe, também, o decréscimo ou abatimento exponencial, que é dado por D(t) = D 0.e k. t (k>0), onde o sinal negativo significa a diminuição com o tempo. Nessas condições, quanto valerá daqui a 10 anos um automóvel cuja linha deixou de ser fabricada, sabendo que se desvaloriza na base de 7% ao ano e que hoje, ele vale R$ ,00? Coordenação da Matemática 35

36 APLICAÇÕES 9. O crescimento de uma certa cultura de bactérias obedece à função N(t)=200.3 kt. N representa o número de bactérias no instante t, t é o tempo em horas e k é uma constante a ser obtida. A produção tem início para t=0. Decorridas 12 horas, há um total de 600 bactérias. Calcule a constante k. Qual o número de bactérias, 36 horas depois que se iniciou a produção? Coordenação da Matemática 36

37 APLICAÇÕES 10. A temperatura interna de uma geladeira (se ela não for aberta) segue a lei T(t)=25.(0,8) t, onde t é o tempo (em minutos) que permanece ligada e T é a temperatura (em graus Celsius). a) Qual é a temperatura interna da geladeira no instante em que ela foi ligada? b) Quantos graus Celsius essa temperatura alcança dois minutos depois que a geladeira começou a funcionar? Coordenação da Matemática 37

38 APLICAÇÕES 11. O preço de um automóvel novo é P o (em reais). Ele sofre uma desvalorização de 10% ao ano. a) Expresse a lei que dá o preço P n desse automóvel após n anos de uso. b) Um carro zero custa Após 5 anos anos de uso, qual será o seu valor? Coordenação da Matemática 38

39 APLICAÇÕES 12. A lei de decaimento radioativo do rádio no tempo é dado por M(t)=M o.e -kt, onde M(t) é a quantidade de rádio no instante t e M o e k são constantes positivas. Se a metade da quantidade inicial M(0) desaparece em anos, qual será a quantidade que se perde em 100 anos? Coordenação da Matemática 39

40 APLICAÇÕES Coordenação da Matemática 40