Lista 2 Funções: Definição e exemplos

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1 Lista Funções: Definição e exemplos. Seja f : R R definida por f(x) = x 3. Qual é o elemento do dominio que 5 tem 3 como imagem? 4. É dada uma função real tal que: (a) f(x) f(y) = f(x + y) (b) f() = (c) f( ) = 4 Calcule f(3 + ). 3. Resolva analítica e graficamente os sistemas de equações: { x + y = 5 (a) x y = { x + 5y = 0 (b) 3x y = 0 4. Resolva o sistema de equações: 5. Resolva, em R, as inequações: (a) (3x + 3)(5x 3) > 0 (b) (3x + )( 3x + 4)(x 6) < 0 6. Encontre os valores x, y R tais que x + = 7 y x y = x y + x + y x y x + y = 3 4 = 4 7. Determine os valores de m para que a função quadrática f(x) = (m )x + (m + 3)x + m tenha dois zeros reais e distintos. 8. Se A = {x R x 3x + 0} e B = {x 4x + 3 > 0}, determine A B.

2 9. Ache o domínio da função f(x) = x + 5, em R. x + x Com Relação ao gráfico de uma função y = f(x), representado abaixo, pode-se afirmar que: (a) o domínio da função é o conjunto dos números reais. (b) a imagem da função é o conjunto dos números reais. (c) a função é crescente no intervalo ( 0]. (d) a função é injetora em todo domínio. (e) f() = 0 e f(5) < 0. (f) f(/) < e f( /) <.. Considere a função definida por y = f(x) = x, x R. Julgue e justifique cada item a seguir. (a) f é sobrejetiva. (b) f não é injetiva. (c) a função pode ser representada pelo gráfico:

3 . Determine, se possível, os valores de A,B e C tais que x + x x (x + ) = A x + + Bx + C x Se não for possível, justifique. 3. Considere as seguintes funções f(x) = ln(x 3), g(x) = x e h(x) = Determine uma expressão para a função p(x) = f(h(x)) + h(g(x)). x Sejam x, y R. Verifique as identidades: (a) sen(a) cos(b) = [sen(a + b) + sen(a b)] (b) cos(a) cos(b) = [cos(a + b) + cos(a b)] (c) sen(x)cossec(x) = (d) ( tg (x))( sen (x)) =. 5. Dado que sen(x) = a e cos(x) = a, determine a. 6. Lício pegou um empréstimo bancário de R$ 500,00, a uma taxa de 5% ao mês. (a) Escreva a função que fornece o quanto Lício deve em um determinado mês t, contado a partir da data do empréstimo, supondo que ele não tenha condições de saldar nem mesmo parte da dívida. (b) Determine a dívida acumulada após meses da data do empréstimo. 7. O decaimento radioativo do estrôncio 90 (Sr-90) é descrito pela função P (t) = P 0 bt, em que t é um instante de tempo, medido em anos, b é uma constante real e P 0 é a concentração inicial de Sr-90, ou seja, a concentração no instante t = 0. (a) Determine o valor da constante b sabendo que a meia-vida do Sr-90 é de 9 anos (ou seja, a concentração de Sr-90 cai pela metade em 9 anos). (b) Foram detectados 570 becquerels de Sr-90 por kg de solo na região da usina de Fukushima, no Japão, em abril de 0 (valor que corresponde a cerca de 30 vezes a concentração normal do solo daquela região). Determine qual será a concentração de Sr- 90 daqui a 00 anos. 8. Ache uma solução para equação e x + e x 8 = Resolva a equação log(x ) + log(x) = 0. 3

4 0. Os vegetais e a maioria dos animais vivos contêm uma concentração de carbono 4( 4 C) semelhante àquela encontrada na atmosfera. Os vegetais os absorvem quando consomem dióxido de carbono durante a fotossíntese. Já a distribuição entre os animais é feita através da cadeia alimentar. Quando um ser vivo morre, ele para de repor o carbono 4, de modo que as quantidades desse elemento começam a decair. Em um determinado instante, a taxa de desintegração do 4 C é proporcional à quantidade do elemento que ainda não se desintegrou. Neste caso, o decrescimento (ou decaimento) da quantidade do isótopo é fornecido por uma função exponencial (com expoente negativo) que tem a forma C(t) = C 0 a bt Nessa expressão, C(t) representa a quantidade da substância no instante t, C 0 é a quantidade inicial (ou seja, no instante t = 0) e b é uma constante que depende do isótopo. A meia-vida de um elemento radioativo é o intervalo de tempo necessário para que a concentração do elemento decaia para a metade do valor encontrado em um dado instante inicial. Sabendo que a meia-vida do carbono 4 é de 5730 anos (a) Encontre uma função na forma C(t) = C 0 bt que forneça a concentração de 4 C em um ser morto, com relação ao tempo t, em anos, contado desde a sua morte. (b) Determine a idade de uma múmia egípcia que tem 70% da concentração de 4 C encontrada nos seres vivos atualmente.. Represente no plano Cartesiano o conjunto de pontos dados por: (a) {(x, y) R y x = 0} (b) {(x, y) R y x > 0} (c) {(x, y) R x + y = 0} (d) {(x, y) R x + y = }. Considere a seguinte tabela de valores que relaciona duas variáveis reais x e y : x y Determine duas funções f(x) definidas no intervelo [0, 6] que atenda a condição acima. 4

5 3. Verifique que se as funções f(x) = x e g(x) = x são iguais. x + 4. Existe alguma função que é par e ímpar simultaneamente? 5. Considerando f(x) = x + 5 e g(x) =, encontre f f, f g, g f, g g e seus x 4 repectivos domínios. 6. Encontre a inversa da função f(x) = x. 7. Determine os zeros das funções abaixo. (a) p(x) = x 4 x 3 4x + 4x (b) h(x) = x 3 3x + 8. Quanto medem as áreas A e A na figura abaixo, sabendo que o quadrado tem lado e as curvas são arcos de círculos com centros nos vértices V e V do quadrado, respectivamente. 9. Se cos(x) = 3 0 e π < x < π, qual o valor de cotg(x) + cossec (x)? 30. Determine o conjunto solução das equações abaixo. ( (a) sen x + π ) = 3 (b) sen(πx) = 0 (c) sen(x) + cos(x) = 3. Se tg(x) = 5, qual o valor de sen (x)? 3. Determine o conjunto solução de log 3 (x ) =. 33. Revise o conteúdo com algum livro do ensino médio. A persistência é o caminho do êxito. Charles Chaplin 5