MATEMÁTICA MÓDULO 7 FUNÇÃO EXPONENCIAL 1. DEFINIÇÃO 2. GRÁFICO. como sendo. Sendo a 0, a. a. Tal função é dita

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1 FUNÇÃO EXPONENCIAL. DEFINIÇÃO Sendo a 0, a, um número real, definimos a função função eponencial de base a. * f: f como sendo a. Tal função é dita. GRÁFICO (BASE > )

2 (BASE < ) 3. EQUAÇÕES EXPONENCIAIS Quando chegarmos a situações como a y, onde a 0 a e a, podemos retirar a base e obter y. Em geral, o mais difícil em um problema de equação eponencial é fazer os artifícios algébricos até que y cheguemos em uma situação como a a. 4. INEQUAÇÕES EXPONENCIAIS Aqui devemos atentar para a diferença eistente entre os casos de BASE > e BASE <. Vejamos: CASO : a : Se a y a, então y ( retiramos a base mantendo o sinal da desigualdade) CASO : 0 a : Agora, se a y a, então y ( retiramos a base invertendo o sinal da desigualdade) Vejamos dois eercícios resolvidos antes de partimos para os eercícios de combate: EXERCÍCIO RESOLVIDO : 34 Resolva a equação 4.

3 SOLUÇÃO: 3 4 A ideia nesse tipo de problema é igualar as bases: 6.. Daí, temos 3 4, logo EXERCÍCIO RESOLVIDO : Resolva a inequação SOLUÇÃO: Fazendo 5 t ( t 0), temos t 3t As raízes da epressão quadrática são 5 e - e, como a concavidade é voltada para cima, tem-se que t 5. No entanto, repare que t é positivo (pois é potência de positivo), logo, 0 t 5. Voltando à variável original, temos , o que nos dá. 3

4 EXERCÍCIOS DE COMBATE. (AFA 00) Se é real e a) /3 b) /9 c) /7 d) / , então 3 7 é igual a. (EFOMM 04) O valor de para resolver a equação a) 0 b) c) d) 3 e) é 3. (EN 006) No universo U, o conjunto solução da inequação a) 0,,4 b), 4, c), 0 d),4 0 0,,4 e) 9 4 é (EN 004) Dadas as funções reais f e g, pode-se afirmar que g f 90 a) 0 b) 3 c) é igual a d) 3 e) 3 0 4

5 3 5. A diferença entre a maior e a menor raiz da equação 5 0,00 0 a) 4 b) 5 c ) 6 d) 7 e) 8 é : y y 6. Os inteiros e y satisfazem a 3 3. Então yé igual a : a) b) c) 3 d) 4 e) A soma de todos os números reais tais que é igual a : a) 3 b) c) 5 d) 3 e) 7 8. O produto das raízes da equação a) 0 b) 4 c) 6 d) 7 e) é igual a : 9. A soma das raízes da equação a) é igual a : 5

6 b) c) 0 d) e) 0. O número de raízes reais da equação a) b) c) 3 d) 4 e) = 6 é igual a :. O conjunto solução da inequação a) b) (0, ) c) (, 0) d) r e) (, ) (0, + ) 5, é igual a :. Supondo real tal que > 0 e, a inequação a) 0 < < 3 b) < c) > d) > 3 e) < < tem como solução : 3 3. O conjunto solução da inequação a) 0< < b) < < c) 0< < d) < 0 e) > 0,75. é 6

7 4. Um acidente de carro foi presenciado por /65 da população de Votuporanga (SP). O número de pessoas que souberam do acontecimento t horas após é dado por: f t B Ce onde B é a população da cidade. Sabendo-se que /9 da população soube do acidente 3 horas após, então o tempo que passou até que /5 da população soubesse da notícia foi de: a) 4 horas b) 5 horas c) 6 horas d) 5 horas e 4 min e) 5 horas e 30 min kt 5. Considere a equação t 4 0. Qual das opções representa o conjunto de todos os valores de t para os quais a equação admite raízes reais distintas? a) t> 4 b) t< -4 c) t> 4 ou t< -4 d) t = 5 e) t = 6 6. (UNESP 003) Num período prolongado de seca, a variação da quantidade de água de certo reservatório é ( 0,) t dada pela função q(t) q 0 sendo q 0 a quantidade inicial de água no reservatório e q(t) a quantidade de água no reservatório após t meses. Em quantos meses a quantidade de água no reservatório se reduzirá à metade do que era no início? a) 5 b) 7 c) 8 d) 9 e) 0 t 7. (UNICAMP 003) O processo de resfriamento de um determinado corpo é descrito por: T(t) T A 3, onde T(t) é a temperatura do corpo, em graus Celsius, no instante t, dado em minutos, T A é a temperatura ambiente, suposta constante, e e são constantes. O referido corpo foi colocado em um congelador com temperatura de 8ºC. Um termômetro no corpo indicou que ele atingiu 0ºC após 90 minutos e chegou a 6ºC após 70 minutos. a) Encontre os valores numéricos das constantes e. 7

8 b) Determine o valor de t para o qual a temperatura do corpo no congelador é apenas temperatura ambiente. o 3 C superior à 8. (ITA 000) A soma das raízes positivas da equação a) b) vale c) d) e) 3 9. (EN 005) O conjunto-solução da inequação 4 ( ) 3, onde é uma variável real é: () 3 a) ], 3 [ ], [ b) ], 3 [ ], [ c) ], [ ], 3 [ d) ],[ ] 3, [ e) ] 3,[ ], [ 0. (IME 997) Resolva o sistema y y y a onde a e a > 0. 8

9 GABARITO RESPOSTA: C. Dividindo a equação toda por 4, obtemos: Finalmente, fazendo t, segue que: e então t ou t t 0 t Como t deve ser positivo, obtemos que Se e > 4 Se e 0 0 S ]0, [ ],4[ 4. Inicialmente, veja que = 0 satisfaz a inequação e = não satisfaz! Dividiremos em dois casos agora: CASO : 0 < < : Neste caso, reescrevemos 94 0 e como a base está entre 0 e, retiramos a base, invertendo o sinal: 9

10 9 4 0, o que nos dá ou 4. 0 Intersectando com 0, ficamos com. CASO : : Neste caso, reescrevemos 9 4 0, o que nos dá 94 0 e como a base é maior do que, retiramos a base, mantendo o sinal: 4. Intersectando com, obtemos 4. Desta forma, o conjunto solução será 0,, , nulada 6. y y 3 3 y e y RESPOSTA: D Fazendo 4 a e 4 b, temos que a b a b 3. Utilizando produtos notáveis, segue que a b 3 a 3 b 3 3aba b Com isso, cancelando 3 a e 3 b, temos que aba b

11 Assim, temos três casos a considerar: CASO : a CASO : b CASO 3: ab Fazendo y, chegamos a y y 6 e como y é positivo, temos que y. Assim,. Portanto, a soma das soluções reais é RESPOSTA: E ou 6 0 ou = y e 6y 3 0 6y 3y y y 3 y ou y ou - 3

12 Veja que. 4 5 y Fazendo então Assim, devemos ter 4 5 y., segue que y y y y y Com isso, Desta forma, Temos portanto raízes reais. RESPOSTA: B. y ou ou , 0 Como <0 S={}. 3 Se - 3 Se 0-3 não há solução no intervalo Portanto. RESPOSTA: E 3. 0, RESPOSTA: D

13 4. Como /65 da população presenciou o acidente, temos que B B C 64 C 65 B f 0 : 65 Como /9 da população soube do acidente 3 horas após, temos que B B 64 8 e k e 3 k 3k 64e 9 B f 3 : 9 Queremos agora determinar t tal que B B kt e kt 64e 5 6 B f t : 5 k Como e, temos que t t t 4 0 t e t t q(t) q0 q0 t = 0 meses RESPOSTA: E ( 0,) t ( 0,) t 0,t = 7. a) = 54 e = /90 b) 360 minutos 3

14 RESPOSTA: C y y y a º) = 0 y = 0 Como 0 0 não é definido, essa solução não convém. º) = y = a a = a a =. Como a, essa solução também não convém. 3º) y = = a a a = a =. Novamente como a, a solução não convém. a 4º), y > 0 e, y a a (a) a a ( ) (a) a a a a e y a a a 4