Observe o gráfico da função f(x) = Bx+2. O valor da ordenada do ponto de abscissa igual a B é igual a:

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1 Observe o gráfico da função f(x) = Bx+2. O valor da ordenada do ponto de A abscissa igual a B é igual a: 2A (a) 2 (b) (c) 2 (d) 4

2 Pelo gráfico, temos 2 pontos conhecidos da função f. Esses pontos são (-4,32) e (,). Ao aplicarmos esses pontos na função, obteremos duas equações com duas incógnitas, que são A e B. Ao encontrar os valores de A e B, tem-se o valor da abscissa B = 2. Agora 2A basta jogar esse valor na função. Esboce no gráfico e perceberá que só há um alternativa possível. Resposta: A

3 O sistema de equações 3 x+y = 8 e 8 x y = 3 (a) tem uma solução tal que x = y. (b) tem uma solução com x e y inteiros. (c) tem uma solução com x e y racionais não inteiros. (d) tem duas soluções diferentes.

4 Tranforme o problema com equações exponenciais em um problema com equações lineares. Basta colocar os dois lados das duas equações na base 3 e depois eliminar as bases. Agora basta substituir uma função na outra para resolver o sistema linear. Outro método que pode ser adotado para resolver o sistema e pelo metódo da adição: somando as equações para sumir com uma variável. Resposta: C

5 Se f(x) = a x, pode-se afirmar que f(x+) f(x ) f(2) é: (a) f(x ) (b) f(x) (c) f(x + ) (d) f( x)

6 Se f(x) = a x, então: f(x + ) = a (x+). f(x ) = a (x ). f(2) = a 2. Depois é só substituir na expressão. Após as substituições, coloque a exponencial em evidência: ax ( a 2 a ). a 2 Resposta: A

7 Se log 3 7 = a e log 5 3 = b, então log 5 7 é igual a: (a) a + b (b) a b (c) a b (d) a.b

8 Como as duas equações que temos como hipótese possuem o algarismo 3, então utilizaremos como estratégia fazer uma mudança de base para a base 3 da expressão log 5 7. Lembre-se da propriedade logaritma: log a b = log b a. Assim teremos: log 5 7 = log 3 7 = log 3 7 log 3 5 log 5 3 Basta substituir por a e b. Resposta: D

9 O domínio da função y = log x (2x ) é: (a) x R; x > 2 (b) x R; x > 0 (c) x R; x < e x 2 (d) x R; x > e x 2

10 Para determinar o domínio da função, basta usar as condições de existência do logarítmo. Ou seja, a base tem que ser positiva e diferente de e o logaritmando tem que ser positivo. Logo, x > 0 e x, pela condição de existência da base e 2x > 0 pela condição de existência do logaritmando Para encontrar o domínio da função, tome a interceáo das soluções das condições de existência. Resposta: D

11 Em um certo país com população A (em milhões de habitantes) é noticiada pela TV a implantação de um novo plano econômico pelo governo. O número de pessoas que já sabiam da notícia após t 0 horas é dado por f(t) = A + 4.e At 2 () em que e é a base dos logarítmos naturais. sabe-se também que, decorrida hora da divulgação do plano, 50% da população já estava ciente da notícia. Após quanto tempo 80% da população estava ciente do plano? Use ln2 = 0, 69. (a) 3h (b) 2h (c) 30min (d) 2he30min

12 Sabendo que em hora, metade da população já sabe da notícia (t = e f(t) = A ), substituindo esses valores na função obtemos o valor de A, ou 2 seja, a população total. Ao chegar na exponencial e A 2 logarítmo é log e = A 4 2 Lembrando que 80% da população equivale a 4A 5. Resposta: B =, lembre que essa equação na forma de 4

13 A equação 4 x + 6 x = 2.9 x tem como solução: (a) (b) 2 (c) 3 (d) 0

14 Deixe a base das esponênciais com algarismos primos e coloque todas as exponenciais de um lado da igualdade. Do outro lado, deixe o resto. 4 x + 6 x = 2.9 x 2 2x + 2 x.3 x = 2.3 2x Faça as exponencias 2 x e 3 x virarem uma só: ( 2 3 )x. Para isso basta passar 9 x = 3 2x dividindo. Utiliza uma variável auxiliar no lugar da exponencial. lembre-se que uma exponencial é sempre positiva. Resposta: D

15 Uma cultura de bactérias cresce segundo a lei N(t) = c.0 kt, em que N(t) é o número de bactérias em t horas, t 0, e c e k são constantes estritamente positivas. Se após duas horas, o número inicial de bactérias, N(0), é duplicado e, após 6 horas, o número de bactérias é x, então k e x são respectivamente, iguais a: (a) log 2 e 8c (b) log 2 e 6c (c) log 2 e 8c (d) log 2 e 6c

16 Substituindo 0 na função temos que N(0) = c. Use o dado da questão que diz que após 2 horas o número inicial de bactérias é duplicado (t = 2 e N(t) = 2c) e substitua na função. Lembre das propriedades logarítmicas. 2c = c.0 2k 2 = 0 2k k = log 00 2 k = log 02 log 0 00 k = log 02 2 k = log = log 2. Use o dado da questão que diz que após 6 horas o número inicial de bactérias é x (t = 6 e N(t) = x) e substitua na função. x = c.0 6k x = [0 2k ] 3 Como 0 2k = 2, então x = c.2 3 x = 8c Resposta: A

17 Na figura estão representados os gráficos da função f(x) = 2 ax e g(x) = 2 bx. A afirmativa certa é? (a) b < a < 0 (b) a < b < 0 (c) a < 0 < b (d) b < 0 < a

18 As exponenciais tocam o eixo y na ordenada. Logo, como do lado direito do eixo y, as funções assumem valores menores que e x é positivo, então a e b só podem ser negativos. Pelo gráfico, temos que as duas exponenciais são decrescentes. Logo os expoentes tem que ser negativos, pois a base é maior que. Fixe valores para a e b e jogue valores para x para descobrir qual função é maior que a outra. Resposta: A

19 Um acidente de carro foi presenciado por da população de Montes Claros 65 (MG). O número de pessoas que soube do acontecimento t horas após é dado pela função: B f(t) = () + C.e kt onde B é a população da cidade e e o número neperiano. Sabendo-se que 9 da população soube do acidente 3 horas após, determine então o tempo que passou até que da população soubesse da notícia. 5 (a) 4h (b) 5h (c) 4h e 30 min (d) 6h

20 Encontre os valores de c e k respectivamente com as informações de que inicialmente da população sabia do acidente de carro(t = 0 e f(t) = B) e de que depois de 3 horas da população sabia do acidente de carro (t = 3 9 e f(t) = B). Encontre o k como um logaritmo. O valor de B não é 9 necessário. Após obter os valores de c e k, substitua-os na função com o dado f(t) = B para encontrar o valor de t. 5 Resposta: A

21 Um empresário comprou um apartamento com intenção de investir seu dinheiro. Sabendo-se que esse imóvel valorizou 2% ao ano, é correto afirmar que seu valor duplicou em, aproximadamente: Dados: log 2 = 0, 3 e log 7 = 0, 84 (a) 4 anos e 3 meses (b) 5 anos (c) 6 anos e 7 meses (d) 7 anos e 6 meses

22 Utilize a fórmula de juros compostos: M = C.( + i) t, onde M é o valor após a valorização, C é o valor inicial, i é a taxa de valorização e t é o tempo em anos. Assim teremos: 2C = C( + 0, 2) t 2 = (, 2) t Lembre de quando chegar na exponencial aparentemente impossível de se resolver, converta para logarítmo. Transfome números decimais para fração. Converta o logaritmo para base 0, pois é a base das hipotéses do problema. Aplique as propriedades logarítmicas quando chegar em t = log 2 2. Mude 00 a base e fatore se necessário. Lembre-se que o objetivo e deixar só log 0 2 e log 0 7 para usar as hípoteses. Resposta: D

23 A figura é um esboço fo gráfico da função y = 2 x. A ordenada do ponto P de abscissa a+b 2 é: (a) cd (b) c + d (c) c+d 2 (d) cd

24 Repare que (a,c) e (b,d) são pontos de y = 2 x. Aplique-os na função. Quarde estes resultados para usar ao aplicar a abscissa a+b 2 na função. A ordenada no ponto P é o valor de y quando o x = a+b. Lembre que 2 há dois pontos com coordenadas conhecidas (parágrafo anterior). Utilize-os como hípoteses. Resposta: D

25 Determine o conjunto solução da equação log x (x + ) log x+ (x) = 0 (a) { 5 2, 5+ 2 } (b) { 5 2 } (c) {0, 2 } (d) { 5+ 2 }

26 Comece pelas condições de existência de logaritmos para as bases e os logaritmandos. Transforne os logaritmos para base 0. Perceberá que um dos logaritmos é o inverso do outro. Chame de um de k e o outro como é o inverso, k. log x (x + ) = k e log x+ (x) = k Logo, k k = 0 Tente fazer a equação logarítmica virar uma equação quadrática. Resolva e volte para a equação logarítmica respeitando as condições de existência para os dois valores de k encontrado. Resposta: B

27 Sabendo que 5 n = 2, podemos concluir que log 2 00 é igual a: (a) 2n (b) 2 + n 2 (c) 2 + 2n (d) 2+2n n

28 Se 5 n = 2, então n = log 5 2. Utilize mudança de base para a base 5, pois dessa forma poderá usar o dado da questão. Lembre-se que o resultado é em função de n. Resposta: D

29 A equação 2 x = 3x + 2, com x R, (a) não tem solução. (b) tem uma única solução entre 0 e 2. 3 (c) tem uma única solução entre - 2 e 0. 3 (d) tem duas soluções, uma positiva e outra negativa.

30 Do lado esquerdo da igualdade temos uma exponencial, que é positiva para qualquer x R. Assim o lado direito também tem que ser positivo. Perceba que se x < 0 na equação, o lado esquerdo assumirá um valor <. Já o lado direito será no mínimo igual a 2. ABSURDO. Perceba que a exponencial 2 x é uma função crescente e que a reta 3x + 2 é decrescente. Esboce os gráficos e a resposta sairá fácil. Resposta: B