f x a , com a e a 1 em que a é denominada de base da função. h x 3 3

Transcrição

1 FUNÇÃO EXPONENCIAL Definição: É toda função definida por Eemplo: f: tal que f a. Para as funções eponenciais f f 4. f f 4 5 h., g 5 Função eponencial, com a e a em que a é denominada de base da função. e h, note que: Observações: O motivo que leva a definição de função eponencial não admitir bases negativas está pautado nos seguintes fatos: Admita, por eemplo, que eista uma função eponencial f: dada por f, observe que f resultado que não pertence aos reais ( ) o que mostra um inconveniente de tomar bases negativas. Assim como nesse caso, pode-se mostrar uma infinidade de outros similares que mostraria que essa função, e de f a com a, não estão definidas para todos os reais. forma geral para as funções Outro caso que não interessa para o estudo dessa seção são as funções da forma f a ambos os casos as funções seriam constantes, ou seja, f para e. GRÁFICO com a ou a, pois em f para todo. Pode-se construir o gráfico da função eponencial eaminando alguns pontos pertencentes à função no plano cartesiano, e em seguida observar o comportamento quanto ao seu crescimento. Note os eemplos a seguir.. Construa o gráfico das funções dadas abaio: a) f: tal que f. A partir da função observe que: y f f,5 f f f 4 f 8 No Plano Cartesiano tem-se:

2 Função eponencial b) f: com f y f f f Com isso:. f 9 f Atente-se para o fato de que o gráfico dessa função não intersecta o eio, ou seja, por mais que se tome valores grandes para ainda assim o valor da função, mesmo que seja próimo de zero, não será igual a zero. Diz-se assim que o gráfico da função eponencial é assintótico ao eio.

3 Função eponencial Contudo, pode-se demonstrar que quando se toma valores para tendendo ao infinito, o valor da função f a zero, isto é: lim. De forma análoga, pode-se dizer que lim. Em geral, eistem duas situações a se destacar quanto à construção de gráficos de funções eponenciais: caso a base seja maior que ( a ) ou quando a base esteja entre e ( a ). I. a. Aqui a função é estritamente crescente como pode ser visto no eemplo a acima ou, de forma generalizada, na figura abaio: tende Note pelo gráfico que: f f a a. Esta propriedade é geralmente usada na solução de inequações. Em decorrência da função ser estritamente crescente ela é injetiva, isto é, no caso de f f. Essa propriedade é relevante na solução de equações, pois: a a. II. a. Como pode ser visto no eemplo b acima, a fim de que torne a análise mais acessível, a função eponencial com base qualquer no intervalo a é estritamente decrescente. Observe:, então

4 Função eponencial Assim como no primeiro caso, é imediato pelo gráfico acima que: f f a a. Também podemos destacar que Eemplos: a. Resolva a equação 4. Solução: Note que: Fazendo a substituição.t 9.t 4 t' t 4 t'' t obtém-se: Para t'. Para t''. Com isso, o conjunto solução da equação é dado por S,. Resolva as inequações: a) b) 9. c) Soluções: a, então, conseqüência da injetividade da função eponencial.. a) Da inequação tem-se 5 5. Como a base da eponencial é maior que um e conseqüentemente a função eponencial associada a essa desigualdade é crescente, mantém-se o sentido da desigualdade para os epoentes, ou seja: 5 5. Logo, o conjunto solução dessa inequação é dado por S /. 4 b) Fazendo 9. Como a função eponencial associada a essa inequação é decrescente, sua base está entre zero e um, deve-se inverter o sentido da desigualdade para os epoentes, portanto:

5 Função eponencial. Com isso, o conjunto solução é S / , pode-se fazer a troca de variável c) Como t 9t 8. t' Notando que t 9t 8, tem-se: t'' 8. t, de forma que Logo, t 8. E o conjunto solução é S /.. CASO GERAL DA FUNÇÃO EXPONENCIAL Seja Pt a porcentagem do conteúdo de uma determinada disciplina que um estudante típico consegue recordar, Pt era dada por bt em que a, b e c são constantes positivas e a,b. (observação: e,78, conhecido por decorridas t semanas, após tê-la estudado arduamente. Comprovou-se que a função P t a e c número de Euler),5t Admita, por eemplo, que para um estudante obteve-se que ele consegue recordar P t 6e 4 por cento do conteúdo de matemática, t semanas após tê-lo estudado. Fazendo uma interpretação dessa função, note que inicialmente, para t =, o aluno em questão consegue recordar % do conteúdo estudado, P 6e 4. Contudo, qual será o comportamento da memória desse indivíduo? Ao transcorrer um longo período de tempo ele consegue recordar quanto daquilo que estudou? Essas e outras indagações podem ser elucidadas simplesmente observando o gráfico da função P(t).,5t Para a construção do gráfico da função,5t Pt 6 4 e. Como e e, então o gráfico da função P t 6e 4, comecemos reescrevendo-a como a seguir: Pt pode ser obtido através das transformações mostradas a seguir: Restringindo o domínio da função para t, tem-se:

6 Função eponencial Pode-se inferir, ao analisar o gráfico acima, que esse aluno, ao passar de tempo, recordará gradativamente menos daquilo que estudou e, transcorrido um longo período de tempo, ainda assim conseguirá se lembrar mais de 4% do conteúdo estudado. De forma geral, seja a função f: dada por A,, a e a. O gráfico dessa função é dado nos seguintes casos: I. a : f Aa B, em que a, A, B, e são constantes reais tais que II. a : Eemplo: P. Suponha que a população de uma certa cidade seja estimada, para daqui a anos, por habitantes. Com base nessas informações, julgue os itens a seguir. () Avalia-se que durante o terceiro ano, essa população aumentará de até 5 habitantes. () É possível encontrar dois instantes, e, tais que então P P. () Está população sempre será inferior a habitantes. Solução:

7 () (Falso) O aumento durante o terceiro ano é dado por: P P 4 8 P P 5 habitantes. 8 Função eponencial () (Falso) Para que encontremos dois instantes e, tais que P P é necessário que essa função, para algum subconjunto de seu domínio, seja decrescente. Contudo, pela figura abaio, gráfico da função então P, pode-se ver claramente que essa função é crescente em todo seu domínio. () (verdadeiro) Das informações oferecidas no gráfico do item, pode-se inferir que o gráfico da função P é assintótico em relação a reta y =., logo a população dessa cidade será sempre inferior a. habitantes. Outra forma, não gráfica, de chegarmos a essa conclusão é supondo, por absurdo, que eista um instante para o qual P., com isso:... Como a desigualdade é absurda, conclui-se que essa população sempre será inferior a habitantes, ou seja, para todo tem-se P..

8 EXERCÍCIOS Função eponencial ) A população mundial está ficando mais velha, os índices de natalidade diminuíram e a epectativa de vida aumentou. No gráfico seguinte, são apresentados dados obtidos por pesquisa realizada pela Organização das Nações Unidas (ONU), a respeito da quantidade de pessoas com 6 anos ou mais em todo o mundo. Os números da coluna da direita representam as faias percentuais. Por eemplo, em 95 havia 95 milhões de pessoas com 6 anos ou mais nos países desenvolvidos, número entre % e 5% da população total nos países desenvolvidos. Suponha que o modelo eponencial y = 6 e,, em que = corresponde ao ano, = corresponde ao ano, e assim sucessivamente, e que y é a população em milhões de habitantes no ano, seja usado para estimar essa população com 6 anos ou mais de idade nos países em desenvolvimento entre e 5. Desse modo, considerando e, =,5, estima-se que a população com 6 anos ou mais estará, em, entre a) 49 e 5 milhões. b) 55 e 6 milhões. c) 78 e 8 milhões. d) 8 e 86 milhões. e) 87 e 9 milhões. ) Um grupo de animais de certa espécie está sendo estudado por veterinários. A cada seis meses, esses animais são submetidos a procedimentos de morfometria e, para tanto, são sedados com certa droga. A quantidade mínima da droga que deve permanecer na corrente sanguínea de cada um desses animais, para mantê-los sedados, é de mg por quilograma de peso corporal. Além disso, a meia-vida da droga usada é de hora isto é, a cada 6 minutos, a quantidade da droga presente na corrente sanguínea de um animal reduz-se à metade. Sabe-se que a quantidade q(t) da droga presente na corrente sanguínea de cada animal, t minutos após um dado instante inicial, é dada por kt em que: q(t) q, q é a quantidade de droga presente na corrente sanguínea de cada animal no instante inicial; e k é uma constante característica da droga e da espécie. Considere que um dos animais em estudo, que pesa quilogramas, recebe uma dose inicial de mg da droga e que, após minutos, deve receber uma segunda dose. Suponha que, antes dessa dose inicial, não havia qualquer quantidade da droga no organismo do mesmo animal. Com base nessas informações, a) calcule a quantidade da droga presente no organismo desse animal imediatamente antes de se aplicar a segunda dose; b) calcule a quantidade mínima da droga que esse animal deve receber, como segunda dose, a fim de ele permanecer sedado por, pelo menos, mais minutos.

9 Função eponencial ) No programa de rádio HORA NACIONAL, o locutor informa: "Atenção, senhores ouvintes. Acabamos de receber uma notificação da defesa civil do País alertando para a chegada de um furacão de grandes proporções nas próimas 4 horas. Pede-se que mantenham a calma, uma vez que os órgãos do governo já estão tomando todas as providências cabíveis". Para atender às solicitações que seguem, suponha que o número de pessoas que tenha acesso a essa informação, quando transcorridas t horas após a divulgação da notícia, seja dado pela epressão P f(t) Pt 9. sendo t > e P a população do País. a) Calcule o percentual da população que tomou conhecimento da notícia no instante de sua divulgação. b) Calcule em quantas horas 9% da população tem acesso à notícia, considerando que, em hora após a notícia, 5% da população do país já conhecia a informação. 4) Os gráficos das funções eponenciais g e h são simétricos em relação à reta y =, como mostra a figura: Sendo g() = a + b c e h() = d + e f, a soma a + b + c + d + e + f é igual a: 7 a). b). c). d) 8. e) 9. 5) A teoria da cronologia do carbono, utilizada para determinar a idade de fósseis, baseia-se no fato de que o isótopo do carbono 4 (C-4) é produzido na atmosfera pela ação de radiações cósmicas no nitrogênio e que a quantidade de C-4 na atmosfera é a mesma que está presente nos organismos vivos. Quando um organismo morre, absorção de C-4, através de respiração ou alimentação, cessa, e a quantidade de C-4 presente no fóssil é dada pela função Ct C kt, onde t é dado em anos a partir da morte do organismo, C é a quantidade de C- 4 para t e k é uma constante. Sabe-se que 56 anos após a morte, a quantidade de C-4 presente no organismo é a metade da quantidade inicial (quando t ). C No momento em que um fóssil foi descoberto, a quantidade de C-4 medida foi de. Tendo em vista estas informações, calcule a idade do fóssil no momento em que ele foi descoberto. 6) Considere que num recipiente, no instante t=, um número N o de bactérias estão se reproduzindo normalmente. É t aceito cientificamente que o número de bactérias num certo instante t > é dado pela equação N(t) N K, sendo N(t) o número de bactérias no instante t e K uma constante que depende do tipo de bactéria. Suponhamos que, num certo instante, observou-se que havia bactérias no recipiente reproduzindo-se normalmente. Passadas horas havia 6 bactérias. Após 48 horas do início da observação, quantas bactérias eistirão?

10 Função eponencial 7) O Estado de Alagoas situa-se a leste da região Nordeste. É o seto estado mais populoso da região, com um total de quase.. de habitantes. Apresenta a quinta maior média de crescimento anual da região: cerca de,%. Em quatro anos, a população cresceu em torno de 4. habitantes nos municípios. O mais populoso deles é Maceió, com cerca de 885. habitantes, ocupando uma área de aproimadamente 5 km. Dentre as Unidades de Conservação Federais, a maior é a Área de Proteção Ambiental Costa dos Corais, com 4.56 hectares ( ha = 4 m ). Suponha que a população alagoana de um conjunto de municípios cresce eponencialmente pela função definida por p(t) = p.,5.t e a demanda por bens de consumo cresce linearmente pela função d(t) =,5. p. t, em que t é o tempo medido em anos. Nessas condições, no instante em que essa população passasse a ser p, a demanda por bens de consumo seria a) 4 p b) p c) p d) 8 p e) 6 p 8) A meia-vida de um núcleo atômico radioativo é, por definição, o tempo necessário para que a metade dos núcleos inicialmente presentes em uma amostra se desintegre. Esse tempo não depende da massa da amostra. Por eemplo, uma amostra de,g de iodo, isótopo do Iodo, usado no tratamento de câncer da tireóide, diminui para,5 g em 8 dias.a meia-vida do iodo é, então, igual a 8 dias. O gráfico ao lado ilustra o decaimento radioativo para essa amostra, em um período de até 4 dias. Em relação à amostra analisada, julgue os itens que se seguem., massa do iodo (em g),5 8 4 tempo (em dias) () O período transcorrido até que a massa dessa amostra fique reduzida a,5 g é superior a 7 dias () Após 5 dias, a massa de iodo dessa amostra é inferior a, g () Se M e M são as massas dessa amostra medidas, nessa ordem, em um intervalo de 8 dias, então o quociente M /M é igual a (4) Se M é a massa inicial dessa amostra e M(t) é a massa após t dias, então o quociente M /M(t) é constante 9) As substâncias radiativas têm uma tendência natural a se desintegrarem, emitindo partículas e transformando-se em uma nova substância. Conseqüentemente, com o passar do tempo, a quantidade da substância radiativa diminui. A velocidade de decaimento pode ser medida contando-se o número de partículas liberadas por unidade de tempo. Instrumentos para medir a radiatividade, como, por eemplo, o contador de Geiger, fazem isso automaticamente. O plutônio 4 ( 4 Pu), produzido em reatores nucleares, é um material radiativo de longa vida, o que torna o lio atômico desses reatores de difícil armazenamento. A partir de uma massa inicial M dessa substância, a sua massa M, após t séculos, será, aproimadamente, determinada pela equação. M = M (,) -t Com base nessas informações, determine, em porcentagem, a quantidade de massa de 4 Pu restante, após séculos de desintegração. Gabarito Eercícios

11 ) E Função eponencial ) a) q() 6 5 mg. b) 5 5 mg. ) a) % b) horas 4) D 5) 8 6) 6 7) B 8) E C C E 9) 97