Cálculo Diferencial e Integral I

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Washington Campos
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1 Cálculo Diferencial e Integral I Prof. Lino Marcos da Silva Atividade 1 - Números Reais Objetivos De um modo geral, o objetivo dessa atividade é fomentar o estudo de conceitos relacionados aos números reais, suas operações, propriedades e representações comumente utilizadas pela comunidade científica. Do ponto de vista específico, espera-se desenvolver as seguintes habilidades: 1. Usar a reta real para representar o conjunto dos números reais. 2. Usar diferentes notações para representar subconjuntos formados por números reais. 3. Realizar operações numéricas e algébricas envolvendo números reais. 4. Calcular distância entre números reais quaisquer. 5. Resolver equações e inequações algébricas simples em R. Atividades Propostas 1. A reta real. Uma das associações mais importantes da matemática é aquela que associa a cada ponto P de uma reta dada um número real x. Nesse caso, diremos que o número real x é a abscissa do ponto P. Desenhe uma reta, indicando um ponto da mesma para representar o número real 0. A partir daí, represente usando pontos dessa reta, os seguintes números reais: (a) os números inteiros -3, -2, -1, 1, 2 e 3. (b) os números racionais 0,5; 3 2 ; 5 ; 2/3; e 5/2. 4 (c) os irracionais 2, 3, π e o número de Euler e. 2. Operações e propriedades dos números reais. Em geral, não há grandes dificuldades em efetuar as quatros operações aritméticas básicas (adição, subtração, multiplicação e divisão) manualmente com números inteiros pequenos. Já os cálculos envolvendo inteiros maiores podem ser realizados com o auxílio de calculadoras ou programas de computador. No caso dos números reais, apesar das 1

2 operações serem as mesmas, os cálculos ficam mais complexos devido a presença dos números racionais (decimais exatos ou dízimas periódicas) e dos números irracionais. Na maioria das vezes, para realizarmos um cálculo envolvendo números reais devemos realizar algumas aproximações numéricas. Veja os seguintes exemplos de representações de números reais, cada um escrito com 12 dígitos após a vírgula: (a) 2 3 = 0, (b) 2 = 1, (c) π = 3, (d) e = 2, Dessa forma para a realização dos cálculos numéricos envolvendo esse tipo de números, os mesmos devem ser aproximados para, por exemplo, três casas decimais após a vírgula. A quantidade de dígitos a serem considerados após a vírgula depende de cada situação. No entanto, quanto menor a quantidade de dígito utilizada na aproximação mais distante essa representação fica do verdadeiro valor do número aproximado. 3. Usando um critério de aproximação científico, escreva os números apresentados no item anterior com apenas três dígitos após a vírgula. 4. Cálculo envolvendo frações. Ao longo do curso de Cálculo Diferencial e Integral serão muitas as situações teóricas e práticas nas quais será necessário o uso de operações envolvendo frações. Supondo que a b e c são duas frações quaisquer, d definimos: a b + c ad + bc =, d bd e a b c d = ac bd a b c d = a b d c = ad bc. 5. Cada uma das expressões algébricas seguintes contém frações. Efetue os cálculo envolvendo frações e simplifique as expressões. (a) 1 x 1 2 x 2 2

3 (b) 1 x 1 y x y 6. Desigualdades. Sobre as relações de igualdade e desigualdade entre números reais. Qual das seguintes afirmações não é verdadeira? Corrija tal afirmação. (a) Se x e y são dois números reais quaisquer uma e somente uma das condições abaixos pode ocorrer x < y ou x = y ou x > y. (b) Sejam x e y dois números reais positivos. Se x < y, então 1 x > 1 y. (c) Sejam x e y dois números reais tais que x y. Se k é uma constante positiva, então kx ky. Por outro lado, se k é uma constante negativa, então kx ky. (d) Sejam x e y dois números reais quaisquer. x y = 0 se e, somente se, x = 0 ou y = 0. (e) Se x y e y z, então x z. (f) Se x y e y x, então x = y. 7. A matemática é de certo modo uma linguagem. Nesse sentido, assim como a língua portuguesa possui várias palavras com o mesmo significado, na matemática podemos encontrar notações diferentes representando o mesmo objeto. No caso específico dos números reais, um mesmo subconjunto desses números pode ser representados por diferentes notações. Por exemplo, o conjunto formado por todos os números reais que são maiores ou iguais a 5, podem ser representado, entre outras maneiras, por {x R x 5} ou [5, + ). Subconjuntos de R desse tipo são chamados de intervalos. Para cada um dos intervalos de números reais a seguir, escreva-os com outra notação diferente (ou outras notações diferentes). (a) {x R x 1} (b) {x R x > 1} (c) {x R x 2} (d) {x R x < 2} (e) {x R 1 x 3} (f) [2, + ) (g) [2, 3) (h) [2, 3] (i) (2, 5) (j) ( 1, 3] (k) (, 2) 3

4 8. Módulo de um número real (Valor absoluto). Uma questão relevante no estudo do Cálculo Diferencial e Integral é a seguinte: Dado um número real x qualquer, a que distância este número está do número zero? Por exemplo, a que distância os números 17 e 17 estão do zero? Esta questão está relacionada ao conceito de módulo de um número real. De um modo geral, podemos perguntar qual a distância entre dois números reais quaisquer x e y. Estes questionamentos estão relacionados com o conceito de módulo de um número real. Escreva a definição do módulo de um número real x. 9. Sobre o conceito de módulo de número real, responda as seguintes questões: (a) Se x é um número real tal que x < 0, qual é o valor de x? (b) Se x é um número real tal que x > 0, qual é o valor de x? (c) Qual o valor de 7 + 3? (d) Qual o valor de ? (e) Qual os possíveis valores de x tal que x = 3? (f) Quais os valores de x tal que x 2 = 1? (g) Quais os valores de x tal que x 1 = 2? (h) Qual o intervalo de números reais que satisfazem a condição x < 1? (i) Qual o intervalo de números reais que satisfazem a condição x 1? (j) Se x > 0, qual o valor de x 2? (k) Se x < 0, qual o valor de x 2? Exercícios Gerais Os exercícios seguintes exploram diversos conceitos relacionados aos números reais. É importante que você faça todos eles afim de adquirir mais habilidades na realização de operações e análises conceituais em problemas que envolvam os mesmos. 10. Mostre que simplificando a expressão 2ax by + 2ay bx ax + 2bx + 2by + ay obtemos 2a b a + 2b. 11. Mostre que simplificando a expressão x3 + 6x 2 4x 24 x 2 obtemos x x Verifique a igualdade + = Resolva em R as seguintes equações: (a) x 4 3x = 0 (Use a substituição x 2 = u) 4

5 (b) 2x x + 1 = 2x 1 x 14. Verifique as identidades abaixo. (a) x 3 a 3 = (x a)(x 2 + ax + a 2 ) (b) x a = ( 3 x 3 a)( 3 x ab + 3 a 2 ) 15. Resolva cada desigualdade abaixo. Escreva a resposta usando a notação de intervalos. (a) 5x 1 3x 8 (b) 1 < 3x 4 8 (c) x(x 1)(x 2) > 0 (d) 2x 3 x Resolva as inequações (a) x 2 4 > 0 (b) x 2 3x Seja a um número real. Justifique as afirmações abaixo: (a) Se a > 1, então a 2 > a. (b) Se 0 < a < 1, então a 2 < a. 18. Usando valor absoluto (módulo), escreva expressões para os seguintes conjuntos: (a) O conjunto dos pontos que estão à uma distância menor ou igual a 4 do número 1; (b) O conjunto dos pontos que estão à uma distância menor do que 2 do número -5; (c) O conjunto dos pontos que estão à uma maior do que 3 do número 6; 19. Verifique que os dois conjuntos a seguir são iguais {x R; x < 4} e {x R; x 2 < x 6 }. 20. Represente geometricamente (esboçe na reta real) o conjunto {x R; 1 < 1 x < 2}. 5

6 21. Seja, x e y dois números reais positivos, mostre x + y xy. 2 Essa desigualdade diz que a média geométrica de dois números reais positivos é menor ou igual do que a sua média aritmética. Sugestão de resolução: Eleve ambos os membros ao quadrado, simplique as expressões até chegar numa desigualdade mais simples que você saiba com certeza que é verdadeira para todos números reais positivos x e y. 22. Usando as propriedades de módulo de um número real, resolva as equações. (a) 5x 1 = 8 (b) x 2 = 3 5x (c) x 2 + x 4 = Usando as propriedades de módulo de um número real, resolva as inequações. (a) 2x 3 < 5 (b) x 1 > 2 (c) x 2 3 5x 24. Dados números reais x e y, quaisquer, tem-se que x + y x + y. Esta desigualdade é conhecida como desigualdade triangular. Usando essa desigualdade, mostre que se x 2 < 1 2 e y 2 < 1 3, então x y <

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