CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Tamanho: px
Começar a partir da página:

Download "CÁLCULO I. 1 Número Reais. Objetivos da Aula"

Transcrição

1 CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida EMENTA: Conceitos introdutórios de limite, limites trigonométricos, funções contínuas, derivada e aplicações. Noções introdutórias sobre a integral de Riemann, cálculo de primitiva, aplicações da integral. LIVRO TEXTO: STEWART, James. Cálculo. Volume 1. 7 a edição. São Paulo: Cengage Learning, Objetivos da Aula : Números, Desigualdades e Módulo Representar geometricamente o conjunto R dos números reais; Resolver desigualdades com números reais usando suas propriedades; Resolver desigualdades contendo valor absoluto de números reais usando suas propriedades; Denir valor absoluto de um número real e apresentar algumas de suas propriedades. 1 Número Reais O conjuntos dos números reais, denotado por R, é a base do cálculo. Os números deste conjunto podem ser positivos, negativos ou zero e podem ser classicados como racional ou irracional. Um número racional é qualquer número que pode ser expresso como a razão de dois números inteiros. Isto é, um número racional é da forma p/q, onde p e q são números inteiros e q 0. Os números racionais podem ser: Números inteiros:..., 3, 2, 1, 0, 1, 2, 3,... Frações: Números decimais exatos: Dízimas periódicas: 1 2 1, 7 = 17 10, = , 15 = , = 1 3 = 0, 3 1, = 1, Os números reais que não são racionais, ou seja, não podem ser escritos na forma p/q, são chamados números irracionais. Esses números não são decimais exatos e nem dízimas periódicas. Por exemplo: 2 = 1, π = 3, Ao pararmos a expansão decimal de qualquer número em uma certa casa decimal, obtemos uma aproximação dele. Por exemplo, podemos escrever: π 3,

2 onde o símbolo deve ser lido como "é aproximadamente igual a". Quanto mais casas decimais forem mantidas, melhor será a aproximação obtida. Em R podemos denir duas operações denominadas de adição e multiplicação: (R, +, ). Se a e b forem elementos de R, a + b denotará a soma de a e b, enquanto que, a b denotará a sua multiplicação. Em relação a estas operações, valem as seguintes propriedades: 1. (Comutatividade da adição) a + b = b + a 2. (Associatividade da adição) a + (b + c) = (a + b) + c 3. (Existência do elemento neutro para a adição) a + 0 = 0 + a = a 4. (Inverso aditivo) para cada a R existe sempre um elemento de R, denotado por a que satisfaz a + ( a) = 0. É chamado de elemento simétrico, oposto ou inverso aditivo. 5. (Comutatividade da multiplicação) ab = ba 6. (Associatividade da multiplicação) a(bc) = (ab)c 7. (Distributividade da multiplicação em relação a adição) a(b + c) = ab + ac 8. (Existência do elemento neutro para a multiplicação)1a = a 9. (Inverso multiplicativo) para cada a R, sempre existe um elemento de R, denotado por 1 ( ) a que 1 satisfaz a = 1. É chamado de elemento inverso ou inverso multiplicativo de a. a 1.1 Reta numérica Os números reais podem ser representados por pontos sobre uma reta. A direção positiva (à direita) é indicada por uma echa, conforme a gura abaixo. A construção da reta numérica é feita escolhendo-se aleatoriamente um ponto de referência arbitrário, O, denominado origem, que corresponde ao número real 0. De acordo com a unidade de medida estabelecida, cada número positivo x é representado pelo ponto da reta que está a x unidades de distância, à esquerda da origem e cada número negativo x é representado pelo ponto sobre a reta que está a x unidades de distância, à esquerda da origem. Figura 1: Representação de um número na reta numérica Desta forma, todo número real é representado por um ponto na reta, e todo ponto P sobre a reta corresponde a único número real. Este número real associado ao ponto P, chamamos de abscissa ou coordenada de P. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 2

3 2 Desigualdades em R Como dissemos anteriormente, é possível denir em R duas operações: adição e multiplicação. Estas operações tem as seguintes propriedades: 1. A soma de números reais positivos é um número real positivo. 2. O produto de números reais positivos é um número real positivo. Os números reais são ordenados. A seguir, apresentaremos a seguinte denição: Denição 1. Dados números reais x e y, dizemos que x é menor do que y e escrevemos x < y, se a diferença y x é um número real positivo. Se x < y, dizemos também que y é maior do que x e escrevemos y > x. Geometricamente, x < y indica que x está à esquerda de y na reta real. Usa-se também a notação x y para indicar que x < y ou x = y, ou seja, a diferença y x é um número real positivo ou nulo. 2.1 Propriedades das desigualdades em R Para quaisquer números reais x, x, y e y são válidas as seguintes propriedades: 1. Se x < y e y < z, então x < z. 2. Se x < y, então x + z < y + z, qualquer que seja o número real z. 3. Se x < y e x < y, então x + x < y + y. 4. Se x < y, então xz < yz, para qualquer número real positivo z. 5. Se x < y, então yz < xz, para qualquer número real negativo z. 6. Se x < y e x < y, então xx < yy, desde que x e y sejam números reais positivos. 7. x 2 > 0, para todo x 0 (o quadrado de qualquer número real não nulo é sempre positivo). 8. Se x > 0, então 1 x > Se 0 < x < y, então 0 < 1 y < 1 x multiplicativo. (quanto maior for um número positivo, menor será o seu inverso 3 Intervalos Sejam a e b dois números reais, com a < b. Dizemos que um número real x está entre a e b, se a < x e x < b. Figura 2: a < x < b Podemos dizer isto escrevendo: a < x < b. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 3

4 O conjunto formado por todos os números reais que satisfazem a desigualdade anterior é chamado de intervalo aberto. Mas precisamente, se a < b são números reais, os subconjuntos de R abaixo descritos são chamados de intervalos: Observamos que: Os números a e b são chamados os extremos do intervalo, os quais podem ou não fazer parte do intervalo. Indicamos isto na notação usando colchetes para a inclusão e parênteses para a exclusão do extremo. Na reta real a inclusão e a exclusão são representadas, respectivamente, pela bolinha cheia (dizemos que o intervalo é fechado) e a bolinha vazia (dizemos que o intervalo é aberto); Os primeiros quatro intervalos dados no quadro acima são ditos limitados, os demais são ilimitados; + e não são números reais, mas apenas notações para indicar intervalos ilimitados; Na denição de intervalo consideramos sempre a < b. chama-se um intervalo degenerado e (a, a) = 0/. Quando a = b, o conjunto [a, a] = {a} Como os intervalos são conjuntos, podemos efetuar com eles as operações usuais de conjuntos, tais como união e interseção. 4 Inequações Resolver uma inequação é encontrar valores de x que satisfaz uma desigualdade. Os valores de x que satisfaz a inequação são conhecidos como conjunto solução, geralmente representado por um intervalo. Exemplo 1. Resolva a inequação: x + 2 < 4x + 3. Solução: Podemos resolver de várias maneiras. Usando a propriedade 2, para z = 2 x < 4x x < 4x + 1 e agora subtraindo 4x de ambos os membros (propriedade 2, com z = 4x): x 4x < 4x + 1 4x 3x < 1 Dividindo ambos os membros por 3 (propriedade 5, muda o sinal da desigualdade): 3x 3 > 1 3 Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 4

5 resulta x > 1 3. O conjunto solução desta inequação é o intervalo ( 13 ), +, isto é, os valores de x que são maiores que 1 3. Observação 1. Para resolver uma inequação não é necessário constar todas as propriedades utilizadas nas etapas da resolução. Você pode resolver usando as regras da desigualdade ao mesmo tempo, como se segue: Exemplo 2. Resolva a inequação: Solução: x + 2 < 4x + 3 x 4x < 3 2 3x < 1 x > < Resolvendo as duas desigualdades simultaneamente somando 1 nos três membros, obtemos: Portanto, o conjunto solução é (3, 6]. Exemplo 3. Resolver a inequação: < < 12 3 < x 6. x 3 3x 2 > 10x. Solução: Resolver a inequação x 3 3x 2 > 10x é o mesmo que resolver x 3 3x 2 10x > 0 ou ainda x(x 2 3x 10) > 0. Note que 0, 2 e 5 são as raízes da equação x(x 2 3x 10) = 0. Para resolver esta inequação, vamos fazer o estudo do sinal de ambos os fatores do produto x(x 2 3x + 10). Temos que: Assim, o conjunto solução da inequação x(x 2 3x 10) > 0 é ( 2, 0) (5, + ). 5 Valor Absoluto Denição 2. O valor absoluto ou módulo de um número real x, indicado por x, é denido por: { x, se x 0 x = x, se x < 0 É importante destacar que x é a distância de x até 0, na reta real. Como as distâncias são sempre positivas ou zero, temos: x 0, para todo número x. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 5

6 5.1 Propriedades do Módulo As propriedades descritas a seguir são válidas para quaisquer números reais x, y e ɛ, com ɛ > x x x ; 2. x < ɛ ɛ < x < ɛ; 3. x > ɛ x < ɛ ou x > ɛ; 4. x + y x + y (Desigualdade triangular); 5. x 2 = x 2 ; 6. xy = x. y ; 7. x y x y x y (2 a desigualdade triangular). Exemplo 4. Expresse 3 5 sem usar o símbolo de valor absoluto. Solução: Utilizando a denição de valor absoluto, temos: , se = ( ) 3 5, se 3 5 < = Resolvendo as desigualdades separadamente, temos: 3 5, se , se 3 5 < 0 Dessa forma: x < 0 < 15 x < = 3 5, se x , se x < 15 2 Exemplo 5. Resolva 3x 4 = 5. Solução: Temos que: 3x 4 = 5 ou 3x 4 = 5. Resolvendo as equações obtemos: 3x = 9 x = 3 ou 3x = 1 x = 1 3. Logo x = 3 ou x = 1 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 6

7 Exemplo 6. Resolva x + 3 < 5. Solução: Pela propriedade 2, a desigualdade x + 3 < 5 é equivalente a: 5 < x + 3 < 5. Subtraindo 3 a cada membro da desigualdade, temos: 8 < x < 2. Logo, a solução da desigualdade x + 3 < 5 é o intervalo aberto ( 8, 2). Geometricamente, o conjunto solução consiste em todos os números x cuja distância de -3 é menor que 5 é o intervalo ( 8, 2). Exemplo 7. Resolva 3 5. Solução: Note que a desigualdade 3 5 é equivalente a: 3 5 ou 3 5. Resolvendo cada desigualdade, temos: 5 3 = 2 de modo que, dividindo por -2 resulta x 1. ou 5 3 = 8, dividindo por -2 temos x 4. Portanto, o conjunto solução da desigualdade 3 5 é x 1 ou x 4, ou seja: Geometricamente, temos: {x x 1 ou x > 4} = (, 1] [4, + ). Exemplo 8. Se x 4 < 0, 1 e y 7 < 0, 2, use a desigualdade triangular para estimar x + y 11. Solução: Utilizando a desigualdade triangular ( a+b < a + b ), vamos considerar a = x 4 e b = y 7, temos: (x 4)(y 7) x 4 + y 7 < 0, 1 + 0, 2 = 0, 3. }{{} x+4 11 Portanto, x + y 11 < 0, 3. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 7

8 6 O conjunto R 2 O produto cartesiano de R com R, denotado por R 2, é o conjunto de todos os pares ordenados de números reais, isto é, R 2 = {(x, y) x, y R}. Geometricamente, R 2 é representado por um sistema de coordenadas retangulares, o qual consiste de um par de eixos reais que são perpendiculares (formam entre si quatro ângulos retos) e tem a mesma origem O (conforme gura 5). Em geral, a reta horizontal é chamada de eixo x e a reta vertical de eixo y. Estes eixos são chamados de eixos coordenados. Dado um sistema de coordenadas retangulares em um plano, a cada (a, b) R 2 associamos um ponto P no plano como segue: tomamos o ponto A no eixo x cuja coordenada é a e o ponto B no eixo y cuja coordenada é b. A interseção da reta que passa por A e é paralela ao eixo y com a reta que passa por B e é paralela ao eixo x, é o Ponto P de coodenadas (a, b). Resumo Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula, destacando as denições dadas. Aprofundando o conteúdo Leia mais sobre o conteúdo desta aula no Apêndice A do livro texto. Sugestão de exercícios Resolva os exercícios do Apêndice A do livro texto. Prof. Edilson Neri Prof. André Almeida 8

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido

Geometria Analítica. Números Reais. Faremos, neste capítulo, uma rápida apresentação dos números reais e suas propriedades, mas no sentido Módulo 2 Geometria Analítica Números Reais Conjuntos Numéricos Números naturais O conjunto 1,2,3,... é denominado conjunto dos números naturais. Números inteiros O conjunto...,3,2,1,0,1, 2,3,... é denominado

Leia mais

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c

Números Reais. Víctor Arturo Martínez León b + c ad + bc. b c Números Reais Víctor Arturo Martínez León (victor.leon@unila.edu.br) 1 Os números racionais Os números racionais são os números da forma a, sendo a e b inteiros e b 0; o conjunto b dos números racionais

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula

Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula Cálculo Diferencial e Integral Química Notas de Aula João Roberto Gerônimo 1 1 Professor Associado do Departamento de Matemática da UEM. E-mail: jrgeronimo@uem.br. ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO Esta notas de aula

Leia mais

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos

Unidade I MATEMÁTICA. Prof. Celso Ribeiro Campos Unidade I MATEMÁTICA Prof. Celso Ribeiro Campos Números reais Três noções básicas são consideradas primitivas, isto é, são aceitas sem a necessidade de definição. São elas: a) Conjunto. b) Elemento. c)

Leia mais

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes;

CÁLCULO I. Aula n o 02: Funções. Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares, ímpares, crescentes e decrescentes; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 02: Funções Objetivos da Aula Denir e reconhecer funções; Determinar o domínio, imagem e o gráco de uma função; Reconhecer funções pares,

Leia mais

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se

Chama-se conjunto dos números naturais símbolo N o conjunto formado pelos números. OBS: De um modo geral, se A é um conjunto numérico qualquer, tem-se UNIVERSIDADE DO ESTADO DE MATO GROSSO CAMPUS UNIVERSITÁRIO DE SINOP FACULDADE DE CIÊNCIAS EXATAS E TECNOLÓGICAS CURSO DE ENGENHARIA CIVIL DISCIPLINA: FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA Conjuntos Numéricos Prof.:

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS 1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS Gil da Costa Marques 1.1 Introdução 1.2 Conceitos básicos 1.3 Subconjuntos e intervalos 1.4 O conjunto dos números reais 1.4.1 A relação de ordem em 1.5 Intervalos 1.5.1

Leia mais

Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais :

Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos. Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Introdução: A necessidade de ampliação dos conjuntos Numéricos Considere incialmente o conjunto dos números naturais : Neste conjunto podemos resolver uma infinidade de equações do tipo A solução pertence

Leia mais

Operações Fundamentais com Números

Operações Fundamentais com Números Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números

Leia mais

2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,... }.

2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,... }. ASSUNTO DE MATEMATICA=CONJUNTOS REAIS E ETC. 2 - Conjunto: conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,... }. Esta forma

Leia mais

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES

REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES REVISÃO - DESIGUALDADE, MÓDULO E FUNÇÕES Marina Vargas R. P. Gonçalves a a Departamento de Matemática, Universidade Federal do Paraná, marina.vargas@gmail.com, http:// www.estruturas.ufpr.br 1 REVISÃO

Leia mais

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS

1. CONJUNTOS NUMÉRICOS . CONJUNTOS NUMÉRICOS.. INTRODUÇÃO Uma exposição sistemática dos conjuntos numéricos, utilizados na Matemática, pode ser feita a partir dos números usados para contar, chamados de números naturais. Estes

Leia mais

Licenciatura em Ciências da Computação 2010/2011

Licenciatura em Ciências da Computação 2010/2011 Cálculo Licenciatura em Ciências da Computação 2010/2011 Departamento de Matemática e Aplicações (DMA) Universidade do Minho Carla Ferreira caferrei@math.uminho.pt Gab. EC 3.22 Telef: 253604090 Horário

Leia mais

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA

OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA Professora: Elisandra Figueiredo OPERAÇÕES - LEIS DE COMPOSIÇÃO INTERNA DEFINIÇÃO 1 Sendo E um conjunto não vazio, toda aplicação f : E E E recebe o nome de operação sobre E (ou em E) ou lei de composição

Leia mais

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012

Geometria Analítica. Geometria Analítica 28/08/2012 Prof. Luiz Antonio do Nascimento luiz.anascimento@sp.senac.br www.lnascimento.com.br Conjuntos Propriedades das operações de adição e multiplicação: Propriedade comutativa: Adição a + b = b + a Multiplicação

Leia mais

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente

Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas. Números Irracionais e Reais. Oitavo Ano. Prof. Ulisses Lima Parente Material Teórico - Módulo de Potenciação e Dízimas Periódicas Números Irracionais e Reais Oitavo Ano Prof. Ulisses Lima Parente 1 Os números irracionais Ao longo deste módulo, vimos que a representação

Leia mais

Professor conteudista: Renato Zanini

Professor conteudista: Renato Zanini Matemática Professor conteudista: Renato Zanini Sumário Matemática Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES...6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES...7 4 RESOLVENDO

Leia mais

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos.

Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica. ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos. Pontifícia Universidade Católica do Rio de Janeiro / PUC-Rio Departamento de Engenharia Mecânica ENG1705 Dinâmica de Corpos Rígidos (Período: 2016.1) Notas de Aula Capítulo 1: VETORES Ivan Menezes ivan@puc-rio.br

Leia mais

Conjuntos. Notações e Símbolos

Conjuntos. Notações e Símbolos Conjuntos A linguagem de conjuntos é interessante para designar uma coleção de objetos. Quando os estatísticos selecionam indivíduos de uma população eles usam a palavra amostra, frequentemente. Todas

Leia mais

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense

Curso Satélite de. Matemática. Sessão n.º 1. Universidade Portucalense Curso Satélite de Matemática Sessão n.º 1 Universidade Portucalense Conceitos Algébricos Propriedades das operações de números reais Considerem-se três números reais quaisquer, a, b e c. 1. A adição de

Leia mais

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse: 02/05/2012

ALUNO(A): Prof.: André Luiz Acesse:  02/05/2012 1. FUNÇÃO 1.1. DEFINIÇÃO Uma função é um conjunto de pares ordenados de números (x,y) no qual duas duplas ordenadas distintas não podem ter o mesmo primeiro número, ou seja, garante que y seja único para

Leia mais

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS

TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS TEMA 2 PROPRIEDADES DE ORDEM NO CONJUNTO DOS NÚMEROS REAIS O conjunto dos números reais,, que possui as seguintes propriedades:, possui uma relação menor ou igual, denotada por O1: Propriedade Reflexiva:

Leia mais

Aula 1. e o conjunto dos inteiros é :

Aula 1. e o conjunto dos inteiros é : Aula 1 1. Números reais O conjunto dos números reais, R, pode ser visto como o conjunto dos pontos da linha real, que serão em geral denotados por letras minúsculas: x, y, s, t, u, etc. R é munido de quatro

Leia mais

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira:

Aula 12. Ângulo entre duas retas no espaço. Definição 1. O ângulo (r1, r2 ) entre duas retas r1 e r2 se define da seguinte maneira: Aula 1 1. Ângulo entre duas retas no espaço Definição 1 O ângulo (r1, r ) entre duas retas r1 e r se define da seguinte maneira: (r1, r ) 0o se r1 e r são coincidentes, Se as retas são concorrentes, isto

Leia mais

1 Geometria Analítica Plana

1 Geometria Analítica Plana UNIVERSIDADE ESTADUAL DO PARANÁ CAMPUS DE CAMPO MOURÃO Curso: Matemática, 1º ano Disciplina: Geometria Analítica e Álgebra Linear Professora: Gislaine Aparecida Periçaro 1 Geometria Analítica Plana A Geometria

Leia mais

Curvas Planas em Coordenadas Polares

Curvas Planas em Coordenadas Polares Curvas Planas em Coordenadas Polares Sumário. Coordenadas Polares.................... Relações entre coordenadas polares e coordenadas cartesianas...................... 6. Exercícios........................

Leia mais

Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais

Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais Conjuntos Numéricos Conjunto dos números naturais É indicado por Subconjuntos de : N N e representado desta forma: N N 0,1,2,3,4,5,6,... - conjunto dos números naturais não nulos. P 0,2,4,6,8,... - conjunto

Leia mais

CÁLCULO I Aula 01: Funções.

CÁLCULO I Aula 01: Funções. Inversa CÁLCULO I Aula 01: Funções. Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Universidade Federal do Pará Inversa 1 Funções e seus 2 Inversa 3 Funções Funções e seus Inversa Consideremos A e B dois

Leia mais

Curso de Matemática Aplicada.

Curso de Matemática Aplicada. Aula 1 p.1/25 Curso de Matemática Aplicada. Margarete Oliveira Domingues PGMET/INPE Sistema de números reais e complexos Aula 1 p.2/25 Aula 1 p.3/25 Conjuntos Conjunto, classe e coleção de objetos possuindo

Leia mais

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA

CURSO PRF 2017 MATEMÁTICA AULA 001 1 MATEMÁTICA PROFESSOR AULA 001 MATEMÁTICA DAVIDSON VICTOR 2 AULA 01 - CONJUNTOS NUMÉRICOS CONJUNTO DOS NÚMEROS NATURAIS É o primeiro e o mais básico de todos os conjuntos numéricos. Pertencem

Leia mais

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra

Sumário. 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra Sumário 1 CAPÍTULO 1 Revisão de álgebra 2 Conjuntos numéricos 2 Conjuntos 3 Igualdade de conjuntos 4 Subconjunto de um conjunto 4 Complemento de um conjunto 4 Conjunto vazio 4 Conjunto universo 5 Interseção

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes

CÁLCULO I. 1 Funções Crescentes e Decrescentes CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 14: Crescimento e Decrescimento. Teste da Primeira Derivada. Objetivos da Aula Denir funções crescentes e decrescentes; Determinar os intervalos

Leia mais

Professor conteudista: Renato Zanini

Professor conteudista: Renato Zanini Matemática Básica Professor conteudista: Renato Zanini Sumário Matemática Básica Unidade I 1 OS NÚMEROS REAIS: REPRESENTAÇÕES E OPERAÇÕES... EXPRESSÕES LITERAIS E SUAS OPERAÇÕES...6 3 RESOLVENDO EQUAÇÕES...7

Leia mais

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1

INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 INTRODUÇÃO À TEORIA DOS CONJUNTOS1 TÓPICO Gil da Costa Marques 1.1 Elementos da Teoria dos Conjuntos 1.2 Introdução 1.3 Conceitos Básicos 1.4 Subconjuntos e Intervalos 1.5 Conjuntos Numéricos 1.5.1 O Conjunto

Leia mais

Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos.

Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos. Conjuntos Numéricos Conjunto Definimos como conjunto uma coleção qualquer de elementos. Exemplos: Conjunto dos números naturais pares; Conjunto formado por meninas da 6ª série do ensino fundamental de

Leia mais

Vetores no plano Cartesiano

Vetores no plano Cartesiano Vetores no plano Cartesiano 1) Definição de vetor Um vetor (geométrico) no plano R² é uma classe de objetos matemáticos (segmentos) com a mesma direção, mesmo sentido e mesmo módulo (intensidade). 1. A

Leia mais

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x;

CÁLCULO I. 1 A Função Logarítmica Natural. Objetivos da Aula. Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural. Denir a função f(x) = ln x; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 22: A Função Logaritmo Natural Objetivos da Aula Denir a função f(x) = ln x; Calcular limites, derivadas e integral envolvendo a função

Leia mais

CONJUNTOS NUMÉRICOS. O que são?

CONJUNTOS NUMÉRICOS. O que são? CONJUNTOS NUMÉRICOS O que são? Os Naturais Os números Naturais surgiram da necessidade de contar as coisas. Eles são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. É representado pela letra maiúscula

Leia mais

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão)

Resolvendo inequações: expressões com desigualdades (encontrar os valores que satisfazem a expressão) R é ordenado: Se a, b, c R i) a < b se e somente se b a > 0 (a diferença do maior com o menor será positiva) ii) se a > 0 e b > 0 então a + b > 0 (a soma de dois números positivos é positiva) iii) se a

Leia mais

Matemática I Capítulo 11 Função Modular

Matemática I Capítulo 11 Função Modular Nome: Nº Curso: Mecânica Integrado Disciplina: Matemática I 1 Ano Prof. Leonardo Data: / /016 Matemática I Capítulo 11 Função Modular 11.1 - Módulo O módulo, ou valor absoluto, de um número real x representado

Leia mais

Matemática Básica Relações / Funções

Matemática Básica Relações / Funções Matemática Básica Relações / Funções 04 1. Relações (a) Produto cartesiano Dados dois conjuntos A e B, não vazios, denomina-se produto cartesiano de A por B ao conjunto A B cujos elementos são todos os

Leia mais

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010

Notas de Aula Disciplina Matemática Tópico 03 Licenciatura em Matemática Osasco -2010 1. Funções : Definição Considere dois sub-conjuntos A e B do conjunto dos números reais. Uma função f: A B é uma regra que define uma relação entre os elementos de A e B, de tal forma que a cada elemento

Leia mais

Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática

Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática Universidade do Estado de Santa Catarina - UDESC Centro de Ciências Tecnológicas - CCT Licenciatura em Matemática 2014 Na teoria dos conjuntos três noções são aceitas sem denição (noção primitiva):: Conjunto;

Leia mais

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que

Capítulo Equações da reta no espaço. Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que Capítulo 11 1. Equações da reta no espaço Sejam A e B dois pontos distintos no espaço e seja r a reta que os contém. Então, P r existe t R tal que AP = t AB Fig. 1: Reta r passando por A e B. Como o ponto

Leia mais

Bases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9

Bases Matemáticas. Aula 4 Conjuntos Numéricos. Rodrigo Hausen. v /9 Bases Matemáticas Aula 4 Conjuntos Numéricos Rodrigo Hausen v. 2016-6-10 1/9 Números Naturais, Inteiros e Racionais naturais: inteiros: racionais: N = {0, 1, 2,...} Z = {... 2, 1, 0, 1, 2,...} { } p Q

Leia mais

Matemática Conjuntos - Teoria

Matemática Conjuntos - Teoria Matemática Conjuntos - Teoria 1 - Conjunto: Conceito primitivo; não necessita, portanto, de definição. Exemplo: conjunto dos números pares positivos: P = {2,4,6,8,10,12,... }. Esta forma de representar

Leia mais

Os números inteiros. Capítulo 2

Os números inteiros. Capítulo 2 6 Capítulo 2 Os números inteiros Intuitivamente, o conjunto Z dos números inteiros é composto pelos números naturais e pelos "negativos". Como justificamos de uma forma simples qual a origem dos números

Leia mais

Números Racionais. Matemática - UEL Compilada em 25 de Março de 2010.

Números Racionais. Matemática - UEL Compilada em 25 de Março de 2010. Matemática Essencial Números Racionais Conteúdo Matemática - UEL - 2010 - Compilada em 25 de Março de 2010. Prof. Ulysses Sodré Matemática Essencial: http://www.mat.uel.br/matessencial/ 1 Relacionando

Leia mais

Coordenadas e distância na reta e no plano

Coordenadas e distância na reta e no plano Capítulo 1 Coordenadas e distância na reta e no plano 1. Introdução A Geometria Analítica nos permite representar pontos da reta por números reais, pontos do plano por pares ordenados de números reais

Leia mais

ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo

ANÉIS. Professora: Elisandra Bär de Figueiredo Professora: Elisandra Bär de Figueiredo ANÉIS DEFINIÇÃO 1 Um sistema matemático (A,, ) constituído de um conjunto não vazio A e duas leis de composição interna sobre A, uma adição: (x, y) x y e uma multiplicação

Leia mais

1 A Álgebra do corpo dos números complexos

1 A Álgebra do corpo dos números complexos Números Complexos - Notas de Aulas 1 1 A Álgebra do corpo dos números complexos 1.1 Preliminares Suponhamos fixado no plano um sistema retangular de coordenadas. Como usual, designaremos os pontos do planos

Leia mais

1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos números reais.

1.1 Propriedades básicas dos números reais, axiomática dos números reais. I - Funções reais de variável real 1. Números Reais. 1.1 - Números naturais, números relativos, números racionais e números reais. De uma forma muito simples vamos recordar os números: Números Naturais

Leia mais

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 05

Curso destinado à preparação para Concursos Públicos e Aprimoramento Profissional via INTERNET  RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 05 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 05 NÚMEROS NATURAIS O sistema aceito, universalmente, e utilizado é o sistema decimal, e o registro é o indo-arábico. A contagem que fazemos: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, e assim

Leia mais

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo

Gênesis S. Araújo Pré-Cálculo Gênesis Soares Jaboatão, de de 2016. Estudante: PAR ORDENADO: Um par ordenado de números reais é o conjunto formado por dois números reais em determinada ordem. Os parênteses, em substituição às chaves,

Leia mais

Introdução: Um pouco de História

Introdução: Um pouco de História Números Complexos Introdução: Um pouco de História Houve um momento na História da Matemática em que a necessidade de expressar a raiz de um número negativo se tornou fundamental. Em equações quadráticas

Leia mais

Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados.

Conjuntos Numéricos. É o conjunto no qual se encontram os elementos de todos os conjuntos estudados. Conjuntos Numéricos INTRODUÇÃO Conjuntos: São agrupamentos de elementos com algumas características comuns. Ex.: Conjunto de casas, conjunto de alunos, conjunto de números. Alguns termos: Pertinência Igualdade

Leia mais

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS

BANCO DE EXERCÍCIOS - 24 HORAS BANCO DE EXERCÍCIOS - HORAS 9º ANO ESPECIALIZADO/CURSO ESCOLAS TÉCNICAS E MILITARES FOLHA Nº GABARITO COMENTADO ) A função será y,5x +, onde y (preço a ser pago) está em função de x (número de quilômetros

Leia mais

: p, q Z,q = 0} Os números racionais têm uma expansão decimal finita ou periódoca (os decimais são repetidas): 1 2 =0, 5 ; 2

: p, q Z,q = 0} Os números racionais têm uma expansão decimal finita ou periódoca (os decimais são repetidas): 1 2 =0, 5 ; 2 Capítulo Números reais. Álgebra dos números reais.. O conjunto R Neste curso vamos sempre se referir aos números reais cujo conjunto se nota R. Principais subconjuntos de R: conjunto dos números naturais

Leia mais

dia 10/08/2010

dia 10/08/2010 Número complexo Origem: Wikipédia, a enciclopédia livre. http://pt.wikipedia.org/wiki/n%c3%bamero_complexo dia 10/08/2010 Em matemática, os números complexos são os elementos do conjunto, uma extensão

Leia mais

TESTE DE DIAGNÓSTICO

TESTE DE DIAGNÓSTICO TESTE DE DIAGNÓSTICO 9.º 10.º ANO NOME: N.º: TURMA: ANO LETIVO: / DURAÇÃO DO TESTE: 90 MINUTOS DATA: / / O teste é constituído por dois grupos. No Grupo I, são indicadas quatro opções de resposta para

Leia mais

Complementos sobre Números Complexos

Complementos sobre Números Complexos Complementos sobre Números Complexos Ementa 1 Introdução Estrutura Algébrica e Completude 1 O Corpo dos números complexos Notações 3 Interpretação Geométrica e Completude de C 4 Forma Polar de um Número

Leia mais

A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há

A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há 1 Produto Cartesiano Par Ordenado A ordem em que os elementos se apresentam em um conjunto não é levada em consideração. Há casos entretanto em que a ordem é importante. Daí a necessidade de se introduzir

Leia mais

Segue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I

Segue, abaixo, o Roteiro de Estudo para a Verificação Global 2 (VG2), que acontecerá no dia 03 de abril de º Olímpico Matemática I 6º Olímpico Matemática I Sistema de numeração romano. Situações problema com as seis operações com números naturais (adição, subtração, multiplicação, divisão, potenciação e radiciação). Expressões numéricas

Leia mais

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0

1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, calcule A = X 2 = 2X. 3. Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M = 1 0 Lista de exercícios. AL. 1 sem. 2015 Prof. Fabiano Borges da Silva 1 Matrizes Notações: 0 para matriz nula; I para matriz identidade; 1. Conhecendo-se somente os produtos AB e AC calcule A(B + C) B t A

Leia mais

Geometria Analítica II - Aula 4 82

Geometria Analítica II - Aula 4 82 Geometria Analítica II - Aula 4 8 IM-UFF K. Frensel - J. Delgado Aula 5 Esferas Iniciaremos o nosso estudo sobre superfícies com a esfera, que já nos é familiar. A esfera S de centro no ponto A e raio

Leia mais

MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo. Aritmética das Classes Residuais

MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo. Aritmética das Classes Residuais MA14 - Aritmética Unidade 22 Resumo Aritmética das Classes Residuais Abramo Hefez PROFMAT - SBM Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina e o seu estudo não garante o domínio

Leia mais

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência

Plano cartesiano, Retas e. Alex Oliveira. Circunferência Plano cartesiano, Retas e Alex Oliveira Circunferência Sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal é formado por dois eixos ortogonais(eixo x e eixo y). A intersecção dos eixos x e y é

Leia mais

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas)

Cálculo a Várias Variáveis I - MAT Cronograma para P2: aulas teóricas (segundas e quartas) Cálculo a Várias Variáveis I - MAT 116 0141 Cronograma para P: aulas teóricas (segundas e quartas) Aula 10 4 de março (segunda) Aula 11 6 de março (quarta) Referências: Cálculo Vol James Stewart Seções

Leia mais

Matemática Discreta - 07

Matemática Discreta - 07 Universidade Federal do Vale do São Francisco Curso de Engenharia da Computação Matemática Discreta - 07 Prof. Jorge Cavalcanti jorge.cavalcanti@univasf.edu.br www.univasf.edu.br/~jorge.cavalcanti www.twitter.com/jorgecav

Leia mais

Inequação do Primeiro Grau

Inequação do Primeiro Grau CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2016.1 Inequação do Primeiro Grau Bárbara Simionatto - Engenharia Civil Definição Equação x Inequação Uma equação é uma igualdade entre dois membros e por

Leia mais

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional.

Capítulo Coordenadas no Espaço. Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Capítulo 9 1. Coordenadas no Espaço Seja E o espaço da Geometria Euclidiana tri-dimensional. Um sistema de eixos ortogonais OXY Z em E consiste de três eixos ortogonais entre si OX, OY e OZ com a mesma

Leia mais

Dos inteiros aos reais

Dos inteiros aos reais Dos inteiros aos reais Ordenação de números inteiros relativos Para além dos números positivos, na vida real utilizam-se outros números para representar situações, tal como temperatura negativas, saldos

Leia mais

Programação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas

Programação anual. 6 º.a n o. Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Programação anual 6 º.a n o 1. Números naturais 2. Do espaço para o plano Sistemas de numeração Sequência dos números naturais Ideias associadas às operações fundamentais Expressões numéricas Formas geométricas

Leia mais

Capítulo 1. Funções e grácos

Capítulo 1. Funções e grácos Capítulo 1 Funções e grácos Denição 1. Sejam X e Y dois subconjuntos não vazios do conjunto dos números reais. Uma função de X em Y ou simplesmente uma função é uma regra, lei ou convenção que associa

Leia mais

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias

Posição relativa entre retas e círculos e distâncias 4 Posição relativa entre retas e círculos e distâncias Sumário 4.1 Distância de um ponto a uma reta.......... 2 4.2 Posição relativa de uma reta e um círculo no plano 4 4.3 Distância entre duas retas no

Leia mais

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos

Tópicos de Matemática. Teoria elementar de conjuntos Tópicos de Matemática Lic. em Ciências da Computação Teoria elementar de conjuntos Carla Mendes Dep. Matemática e Aplicações Universidade do Minho 2010/2011 Tóp. de Matemática - LCC - 2010/2011 Dep. Matemática

Leia mais

CURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,...

CURSO DO ZERO. Indicamos um conjunto, em geral, com uma letra maiúscula A, B, C... e um elemento com uma letra minúscula a, b, c, d, x, y,... ssunto: Conjunto e Conjuntos Numéricos ssunto: Teoria dos Conjuntos Conceitos primitivos. Representação e tipos de conjunto. Operação com conjuntos. Conceitos Primitivos: CURSO DO ZERO Para dar início

Leia mais

Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros

Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros Aula 1: Conjunto dos Números Inteiros 1 Introdução Observe que, no conjunto dos números naturais N = {0, 1, 2, 3, 4, 5,..., a operação de subtração nem sempre é possível. a) 5 3 = 2 (é possível: 2 N) b)

Leia mais

Conjuntos e sua Representação

Conjuntos e sua Representação Conjuntos e sua Representação Professor: Nuno Rocha nuno.ahcor@gmail.com Conjuntos Um conjunto é o agrupamento de vários elementos que possuem características semelhantes. Exemplos de conjuntos: Países

Leia mais

a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn

a 11 a a 1n a 21 a a 2n A = a m1 a m2... a mn Matrizes Definição Definição Uma matriz m n é uma tabela de mn números dispostos em m linhas e n colunas a 11 a 1 a 1n a 1 a a n a m1 a m a mn Embora a rigor matrizes possam ter quaisquer tipos de elementos,

Leia mais

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS

CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Fundamentos de Álgebra Moderna Profª Ana Paula CONJUNTO DOS NÚMEROS INTEIROS Os números inteiros formam um conjunto, que notaremos por, no qual estão definidas duas operações, que chamaremos de adição

Leia mais

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação;

CÁLCULO I. 1 Taxa de Variação. Objetivos da Aula. Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas. Denir taxa de variação; CÁLCULO I Prof. Edilson Neri Júnior Prof. André Almeida Aula n o 10: Taxa de Variação, Velocidade, Aceleração e Taxas Relacionadas Objetivos da Aula Denir taxa de variação; Usar as regras de derivação

Leia mais

Operações Fundamentais com Números

Operações Fundamentais com Números Capítulo 1 Operações Fundamentais com Números 1.1 QUATRO OPERAÇÕES Assim como na aritmética, quatro operações são fundamentais em álgebra: adição, subtração, multiplicação e divisão. Quando dois números

Leia mais

Figura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>.

Figura disponível em: <http://soumaisenem.com.br/fisica/conhecimentos-basicos-e-fundamentais/grandezas-escalares-egrandezas-vetoriais>. n. 7 VETORES vetor é um segmento orientado; são representações de forças, as quais incluem direção, sentido, intensidade e ponto de aplicação; o módulo, a direção e o sentido caracterizam um vetor: módulo

Leia mais

Ponto 1) Representação do Ponto

Ponto 1) Representação do Ponto Ponto 1) Representação do Ponto Universidade Federal de Pelotas Cálculo com Geometria Analítica I Prof a : Msc. Merhy Heli Rodrigues Plano Cartesiano, sistemas de coordenadas: pontos e retas Na geometria

Leia mais

Eduardo. Matemática Matrizes

Eduardo. Matemática Matrizes Matemática Matrizes Eduardo Definição Tabela de números dispostos em linhas e colunas. Representação ou Ordem da Matriz Se uma matriz A possui m linhas e n colunas, dizemos que A tem ordem m por n e escrevemos

Leia mais

DISCIPLINA: MATEMÁTICA BÁSICA PROF. ELIONARDO ROCHELLY TEC. ALIMENTOS TEC. SISTEMAS INTERNET MATUTINO/VESPERTINO

DISCIPLINA: MATEMÁTICA BÁSICA PROF. ELIONARDO ROCHELLY TEC. ALIMENTOS TEC. SISTEMAS INTERNET MATUTINO/VESPERTINO DISCIPLINA: MATEMÁTICA BÁSICA PROF. ELIONARDO ROCHELLY TEC. ALIMENTOS TEC. SISTEMAS INTERNET MATUTINO/VESPERTINO Conjuntos A noção de conjunto em Matemática é praticamente a mesma utilizada na linguagem

Leia mais

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA

CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANÁLITICA Consideremos uma reta r e sejam A e B dois pontos de r Ao segmento de reta AB, podemos associar 2 sentidos : de A para B e de B para A Escrevemos AB para representar

Leia mais

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1.

Todos os exercícios sugeridos nesta apostila se referem ao volume 1. CONCEITO DE FUNÇÃO... 2 IMAGEM DE UMA FUNÇÃO... 8 IMAGEM A PARTIR DE UM GRÁFICO... 12 DOMÍNIO DE UMA FUNÇÃO... 15 DETERMIAÇÃO DO DOMÍNIO... 15 DOMÍNIO A PARTIR DE UM GRÁFICO... 17 GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO...

Leia mais

Domínio Números e Operações Subdomínio Adição e subtração de números racionais não negativos. Metas/Objetivos Conceitos/Conteúdos Aulas previstas

Domínio Números e Operações Subdomínio Adição e subtração de números racionais não negativos. Metas/Objetivos Conceitos/Conteúdos Aulas previstas Números e Operações Adição e subtração de números racionais não negativos DEPARTAMENTO DE MATEMÀTICA DISCIPLINA: Matemática PLANIFICAÇÃO 1ºperíodo - 5º ANO - Efetuar operações com números racionais não

Leia mais

Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec

Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec Universidade Federal de Goiás Regional Catalão - IMTec Disciplina: Álgebra I Professor: André Luiz Galdino Gabarito da 1 a Lista de Exercícios 11/03/2015 1. Prove que G é um grupo com a operação de multiplicação

Leia mais

Vetores em R n e C n, Vetores Espaciais

Vetores em R n e C n, Vetores Espaciais Capítulo 1 Vetores em R n e C n, Vetores Espaciais 1.1 INTRODUÇÃO A noção de vetor pode ser motivada ou por uma lista de números e índices, ou por meio de certos objetos da Física. Vejamos ambas maneiras.

Leia mais

MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA - SADEAM 3 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL

MATRIZ DE REFERÊNCIA DE MATEMÁTICA - SADEAM 3 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL 3 ANO DO ENSINO FUNDAMENTAL ESPAÇO E FORMA Identificar a localização/movimentação de objeto ou pessoa em mapa, croqui e outras representações gráficas. Identificar propriedades comuns e diferenças entre

Leia mais

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b).

Figura 9.1: Corpo que pode ser simplificado pelo estado plano de tensões (a), estado de tensões no interior do corpo (b). 9 ESTADO PLANO DE TENSÕES E DEFORMAÇÕES As tensões e deformações em um ponto, no interior de um corpo no espaço tridimensional referenciado por um sistema cartesiano de coordenadas, consistem de três componentes

Leia mais

Conjunto dos Números Complexos

Conjunto dos Números Complexos Conjunto dos Unidade Imaginária Seja a equação: x + 0 Como sabemos, no domínio dos números reais, esta equação não possui solução, criou-se então um número cujo quadrado é. Esse número, representado pela

Leia mais

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor

A primeira coisa a fazer é saber quais são as equações das curvas quando elas já se encontram na melhor Identificação de Cônicas Uma equação do segundo grau ax + bxy + cy + dx + ey + f = 0 define de maneira implícita uma curva no plano xy: o conjunto dos pontos (x, y) que satisfazem a equação. Por exemplo,

Leia mais

Cálculo Diferencial e Integral I

Cálculo Diferencial e Integral I Cálculo Diferencial e Integral I Texto de apoio às aulas. Amélia Bastos, António Bravo Dezembro 2010 Capítulo 1 Números reais As propriedades do conjunto dos números reais têm por base um conjunto restrito

Leia mais

Planificação anual- 8.º ano 2014/2015

Planificação anual- 8.º ano 2014/2015 Agrupamento de Escolas de Moura Escola Básica nº 1 de Moura (EB23) Planificação anual- 8.º ano 2014/2015 12 blocos Tópico: Números Números e operações/ Álgebra Dízimas finitas e infinitas periódicas Caracterização

Leia mais

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica

Função Exponencial, Inversa e Logarítmica CURSO INTRODUTÓRIO DE MATEMÁTICA PARA ENGENHARIA 2015.2 Função Exponencial, Inversa e Logarítmica Bárbara Simionatto Engenharia Civil Jaime Vinícius - Engenharia de Produção Função Exponencial Dúvida:

Leia mais

III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária.

III) se deste número n subtrairmos o número 3816, obteremos um número formado pelos mesmos algarismos do número n, mas na ordem contrária. 1 Projeto Jovem Nota 10 1. (Fuvest 2000) Um número inteiro positivo n de 4 algarismos decimais satisfaz às seguintes condições: I) a soma dos quadrados dos 1 e 4 algarismos é 58; II) a soma dos quadrados

Leia mais