MATEMÁTICA APLICADA MARCELO CARRION

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1 MATEMÁTICA APLICADA MARCELO CARRION

2 APRESENTAÇÃO MARCELO CARRION ENGENHEIRO MATEMÁTICO ESPECIALISTA MATEMÁTICA UNICAMP MESTRANDO EM MATEMÁTICA - UNESP

3 CONTEÚDO PROGRAMÁTICO 1. Conceitos Básicos de Aritmética e Álgebra 2. Geometria Plana 3. Geometria Espacial 4.Função do Primeiro Grau 5. Função do Segundo Grau 6. Função Exponencial 7. Função Logarítmica 8. Álgebra Elementar em R

4 AVALIAÇÃO P1 - PROVA VALOR 7,0 L - LISTAS DE EXERCÍCIOS VALOR 1,0 P2 - PROVA VALOR 2,0 M MÉDIA E EXAME MF MÉDIA FINAL M=P1+L+P2 SE M 7,0 ALUNO APROVADO SE M<3,0 ALUNO REPROVADO SE 3,0 M <7,0 EXAME (5,0) MF M 2 E

5 OBJETIVOS DO CURSO PROMOVER NIVELAMENTO PRÉ-REQUISITOS APLICAÇÕES MATEMÁTICAS

6 CONCEITOS BÁSICOS DE ARITMÉTICA E ÁLGEBRA

7

8 NÚMEROS NATURAIS (N) N={0,1,2,3,4,5,...} Antecessor/sucessor Divisor Múltiplo

9 NÚMEROS INTEIROS (Z) Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Z*=Z-{0} Negativos Neutro Positivos

10 NÚMEROS RACIONAIS (Q) a Q {, a Z, b Z*} b São números racionais: 3 Números naturais: Números inteiros: Números decimais exatos: 25 2,5 10 Números decimais periódicos: 0,333; 2,

11 FRAÇÃO GERATRIZ DE DÍZIMA PERIÓDICA Método Prático: 3 1 0, , , , , Regra Geral: x 1, (1) 10x 12, (2) 100x 125, (3) (3) (1) 100x x 125, , x 124 x 99

12 NÚMEROS IRRACIONAIS (I) Números irracionais são números decimais não periódicos

13 NÚMEROS REAIS R Q I N Z Q R

14 INTERVALOS REAIS a a b b ]a,b[ ou {xr/a<x<b} [a,b] ou {xr/a x b} a a a b b b [a,b[ ou {xr/a x<b} ]a,b] ou {xr/a<x b} ]a,+) ou {xr/x>a} (,b] ou {xr/x b}

15 ADIÇÃO EM Z NÚMEROS POSITIVOS: CRÉDITO NÚMEROS NEGATIVOS: DÉBITO SALDO CREDOR (+): CRÉDITO > DÉBITO SALDO DEVEDOR( ): CRÉDITO < DÉBITO EXEMPLOS: 20+(+17)= ( 2)= ( 5)= (+8)=+35

16 SUBTRAÇÃO EM Z ESTORNO: REPARAR LANÇAMENTO INDEVIDO TIRAR CRÉDITO: SALDO, LOGO TIRAR CRÉDITO=DÉBITO TIRAR DÉBITO: SALDO, LOGO TIRAR DÉBITO=CRÉDITO EXEMPLOS: +50 (+20)=+50 20= ( 7)=+23+7= (+30)= 48 30= ( 6)= 36+6= 30

17 MULTIPLICAÇÃO E DIVISÃO EM Z + + = + + = + = = + EXEMPLOS: (+5).(+8)=+40 (+18):(+2)=+9 (+3).( 6)= 18 (+21):( 3)= 7 ( 2).(+7)= 14 ( 10):(+5)= 2 ( 9).( 8)=+72 ( 25):( 5)=+5

18 ADIÇÃO E SUBTRAÇÃO EM Q DENOMINADORES IGUAIS: MANTER DENOMINADOR E OPERAR COM NUMERADORES DENOMINADORES DIFERENTES: REDUZIR AS FRAÇÕES AO MESMO DENOMINADOR EXEMPLOS:

19 MULTIPLICAÇÃO EM Q a c ac x b d bd EXEMPLOS: 2 3 2x3 6 3 x 5 4 5x x4 28 7x x x 5 5

20 a c a d ad x b d b c bc EXEMPLOS: x DIVISÃO EM Q ou a a c b ad b d c bc d x x

21 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Dois estudantes, A e B, receberam Bolsas de Iniciação Científica de mesmo valor. No final do mês, o estudante A havia gasto 4/5 do total de sua Bolsa, o estudante B havia gasto 5/6 do total de sua Bolsa sendo que o estudante A ficou com R$ 8,00 a mais que o estudante B. a) Qual era o valor da Bolsa? b) Quantos reais economizou cada um dos estudantes, naquele mês?

22 1x 1x a) x5x 240 x x 1 b) x

23 x y 2 2. Se A=, calcule o valor de A sabendo que x e y, xy A

24 3. Calcule M= M `

25 4. Calcule Y Y

26 5. Sendo a = 0, , e b = 0,2 + 0,04, determine na forma decimal b a b 0,2 0,04 0,24 0,24 0,24 a 0, , ,

27 POTENCIAÇÃO n a a. a. a... a n fatores a a base n expoente EXEMPLOS: ( 3) ( 3).( 3).( 3).( 3) (7.7) 49

28 PROPRIEDADES DAS POTÊNCIAS P1 a. a a m n mn P2 a a a m n mn P3 ( a. b) a. b a P4 b n n n n m. P5 a a n a b n n m n

29 POTÊNCIAS COM EXPOENTES OBSERVE A TABELA INTEIROS

30 NOTAÇÃO CIENTÍFICA Modo de representação de números reais utilizando-se potências de base 10. Consideramos um número representado em notação científica caso este obedeça o padrão y 10 n, onde yr/ 1 y < 10 e n Z. Exemplos: 27000=2, , =3,1.10-6

31 ORDEM DE GRANDEZA Primeiro passo: escreva o número em notação científica, isto é, da forma y 10 n Segundo passo: - se o valor de y for menor do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10 n -se o valor de y for maior ou igual do que 3,16 a ordem de grandeza do número será 10 n+1 Exemplos: A superfície do território brasileiro é aproximadamente: Km 2 =8, Km 2 O.G. é 10 7 A massa de um átomo de hidrogênio é 0, g=1, g O.G. é 10-24

32 RADICIAÇÃO n n a x x a n a a n x Raiz Radical Radicando Índice Raiz EXEMPLOS: ,pois, pois, pois

33 SIMPLIFICAÇÃO DE RADICAIS Utilizar as propriedades dos radicais para representar uma raiz com o menor radicando possível. Exemplos:

34 RACIONALIZAÇÃO DE DENOMINADORES a a. b a. b b b. b b a a. b a. b b b. b b n m n m n n m n n m n nm. a a. b c a. b c b c b c b c b c

35 EXEMPLOS

36 PROPRIEDADES DOS RADICAIS n n n P1 a. b a. b P2 n n a b n m np. m. p P3 a a P4 a a n m n. m P5 a a n a b m n m n

37 EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 1. Simplifique a ) b )

38 2. Simplifique A B A B

39 A B

40 3. Calcule M m ( 3 ). 0, M

41 PRODUTOS NOTÁVEIS A B A 2. A. B B A B A 2. A. B B A B A B A B A B A 3. A. B 3. A. B B A B A 3. A. B 3. A. B B

42 FATORAÇÃO Fatorar significa transformar em fator, isto é, transformar em multiplicação.

43 TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO A 2. A. B B ( A B) A B 4. x 12x 9 (2x 3) x 3

44 DIFERENÇA DE QUADRADOS 2 2 A B A B A B ( ).( ) A B x y (5. x. y).(5. x. y) x 2. 3 y

45 DIFERENÇA DE CUBOS A B ( A B).( A A. B B ) A B 3 2 y y y y 27 ( 3).( 3. 9) y 3

46 SOMA DE CUBOS A B ( A B).( A A. B B ) A B x 125 y ( x 5 y).( x 5. x. y 25 y ) x 5.y

47 FATOR COMUM EM EVIDÊNCIA x y 15. x. y 3. x. y.(2. x. 5 y ) FATOR COMUM

48 AGRUPAMENTO ax + bx + ay + by=x.(a+b)+y.(a+b)=(a+b).(x+y) FATOR COMUM FATOR COMUM FATOR COMUM

49 SIMPLIFICAÇÃO DE FRAÇÕES ALGÉBRICAS

50 1. Determine o valor da expressão 30a² 6b para a= 1 e b=4. 25a a² 6. b 6.(5. a b) 6 25 (5. ).(5. ) a b a b a b a b Para a= 1 e b=4, temos: a b ( 1) 4

51 4 y 1 2. Determine o valor da expressão para y=999. y³ y² y y 1 ( y 1).( y 1) ( y 1).( y 1).( y 1) y y³ y² y 1 y.( y 1) ( y 1) ( y 1).( y 1) Substituindo y por 999, temos: y

52 ATENÇÃO