GAMA. Universidade Federal de Pelotas. Atividades de Reforço em Cálculo. Aula 01. Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino

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1 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Matemática Básica Aula /1 Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

2 Conjuntos Numéricos Números naturais N = 0, 1,, 3, 4, 5, 6, Subconjunto notável N = 1,, 3, 4, 5, 6, Naturais positivos Z = Números inteiros, 5, 4, 3,, 1, 0, 1,, 3, 4, 5, Subconjuntos notáveis Z =, 5, 4, 3,, 1, 0 Inteiros não- positivos Z + = 0, 1,, 3, 4, 5, Z =, 5, 4, 3,, 1 Inteiros não- negativos Inteiros negativos Z = Z + = 1,, 3, 4, 5, Inteiros positivos, 5, 4, 3,, 1, 1,, 3, 4, 5, Inteiros não nulos

3 Conjuntos Numéricos Números racionais Decimais exatas Q = p q p Z, q Z Subconjuntos notáveis Q Q + Q Q + Q Dízimas periódicas Números reais R = Q Q Irracionais Todos os números reais que não são racionais Subconjuntos notáveis R R + R R + R

4 Conjuntos Numéricos Representação dos conjuntos numéricos por diagramas Números Racionais Q 1 1,15 0, N Conjunto dos números reais R Z π e Números Irracionais R Q

5 Pertinência e inclusão Pertinência Relaciona elemento e conjunto. pertence não pertence está contido Inclusão Relaciona dois conjuntos. não está contido contém não contém O elemento x pertence ao conjunto A x A O elemento x não pertence ao conjunto A x A A é subconjunto B A B B A Todo elemento de A é também elemento de B A não é subconjunto B A B B A Nem todos elementos de A são elemento de B Exemplos: Em cada caso, complete as lacunas com os símbolos,,,, da forma mais conveniente em N 5 Z 5 N 0 N 1,,3 { 1, 0, 1,, 3, 4} N Z 1, 0, N N Z Q R Z Q R Q N Z

6 Regra de sinais Somas e subtrações: Sinais iguais: soma-se e conserva o sinal. Sinais diferentes: subtrai-se e conserva-se o sinal do maior (em módulo). Exemplos: = = = = 6 Sinais iguais: resulta em sinal positivo. Multiplicações e divisões: Sinais diferentes: resulta em sinal negativo. Exemplos: 3 = 6 5 ( 3) = 15 4 ( 8) = 3 7 () = 14

7 Intervalos reais Intervalo aberto a, b = x R a < x < b} a b Intervalo fechado a, b = x R a x b} a b Intervalo semiaberto à esquerda a, b = x R a < x b} Intervalo ilimitado aberto à esquerda a, + = x R x > a} a Intervalo ilimitado fechado à esquerda a, + = x R x a} a Intervalo ilimitado aberto à direita, b = x R x < b} a b b Intervalo semiaberto à direita a, b = x R a x < b} Intervalo ilimitado fechado à direita, b = x R x b} a b b

8 Operações com Intervalos Exemplo: Represente os seguintes intervalos na reta real. (a) I 1 = (,1) (e) I 5 = ( 1, + ) (i) I 9 = x R 1 < x 0} (b) I = [,] (f) I 6 = [1, + ) (j) I 10 = x R x } (c) I 3 = (0,3] (g) I 7 = (, 3] (k) I 11 = x R x 1} (d) I 4 = [ 1,3) (h) I 8 = (, ) (l) I 1 = x R 3 x } Solução: I 1 1 I I I 4 I I 6 1

9 Operações com Intervalos Exemplo: Represente os seguintes intervalos na reta real. (a) I 1 = (,1) (e) I 5 = ( 1, + ) (i) I 9 = x R 1 < x 0} (b) I = [,] (f) I 6 = [1, + ) (j) I 10 = x R x } (c) I 3 = (0,3] (g) I 7 = (, 3] (k) I 11 = x R x 1} (d) I 4 = [ 1,3) (h) I 8 = (, ) (l) I 1 = x R 3 x } Solução: I 7 3 I 8 I I 10 I 11 1 I 1 3

10 Operações com Intervalos Solução: A B = A B A B União x x A ou x B Elementos que pertencem a pelo menos um dos conjuntos A ou B Interseção A B = x x A e x B Elementos que pertencem simultaneamente aos conjuntos A e B Exemplo: Sendo A = ( 1, ] e B = [0,3], determine A B e A B A B A B A B = 1 Diferença x x A e x B Elementos que pertencem ao conjuntos A e não pertencem ao conjunto B Complementar A = x x A Elementos que não pertencem ao conjunto A A B = ( 1, 3] A B = [0, ] 0 0 3

11 Operações com Intervalos Exemplo: Sendo I 1 = [0, 5) e I = [, + ), determine: (a) I 1 I (b) I 1 I (c) I 1 I (d) I I 1 (e) I 1 Solução: (f) I I I I 1 I 0 I 1 I 5 I 1 I 0 I I 1 5 I 1 I 0 5

12 Decomposição em fatores primos Definição: Um número natural p é chamado de número primo se p e p é divisível apenas por 1 e por p. Exemplos: é primo 3 é primo 4 não é primo 5 é primo 4 = divisível por. 6 não é primo 6 = 3 divisível por e por 3. Exemplos: Em cada caso, decomponha o número dado como um produto de fatores primos. (a) 1 (b) 15 (c) 3 Solução: (a) 1 (b) 15 5 (c) Decomposição em fatores primos 1 = 3 Decomposição em fatores primos 15 = Decomposição em fatores primos 3 = 3 9

13 Mínimo múltiplo comum Definição: O mínimo múltiplo comum de dois inteiros positivos a e b, denotado por mmc(a, b) é o menor múltiplo comum de a e b. Exemplos: Encontre mmc(6, 15) Solução: Note que os múltiplos positivos de 6 e de 15 são: M 6 = 6, 1, 18,4, 30, 36, 4, M 15 = 15, 30, 45, e Portanto, mmc 6, 15 = 30 Menor múltiplo comum de 6 e 15 Na prática, encontra-se o mmc(a, b) utilizando-se o seguinte método prático, que utiliza a forma fatorada de a e b: Portanto, mmc 6, 15 = 3 5 = 30

14 Mínimo múltiplo comum Pode-se calcular o mínimo múltiplo comum entre três ou mais números utilizando-se um método parecido ao do exemplo anterior. Exemplos: Encontre mmc(10, 8, 35) Solução: Utilizando a fatoração simultânea de 10, 8 e 35, tem-se: Portanto, mmc 10, 8, 35 = 5 7 = 140

15 Operações e propriedades das frações Igualdade de frações a b = c a d = b c d Duas frações são iguais sempre que a multiplicação cruzada resultar em números iguais. Exemplo: 3 = 4 6 Exemplo: 1 = pois pois 6 = = Simplificação a c b c = a b Exemplo: 15 1 = = 5 4 Fatores comuns ao numerador e denominador podem ser simplificados. Exemplo: 5a 5ab = 5 5 a 5 a b = 5 b

16 Operações e propriedades das frações Exemplo: = = = Soma/subtração a b ± c d = m b a ± m d c m m = m. m. c. b, d mínimo múltiplo comum entre b e d. Exemplo: mmc, 5 = 5 = = = = mmc 4, 10 = 5 = 0

17 Operações e propriedades das frações Multiplicação a b c d = a c b d Multiplica-se o de cima pelo de cima e o de baixo pelo de baixo. Exemplo: Exemplo: a + 1 a b a = = = (a + 1) b (a) a ab + b = a. a Divisão b c d = a b d c = a d b c Multiplica-se a primeira pelo inverso da segunda. Exemplo: 5 Exemplo: 3 7 a b a b = a b b a = = = = a a b b a = a.

18 Operações com frações Exemplos: Efetue as seguintes operações com frações (a) (b) (c) (d) (e) Solução: (a) = (b) = (c) (e) = = = = = = 9 8. = 1 5 (d) = 5 6. = = = = = mmc 5, 3 = 3 5 = mmc 8, 4 = 3 = mmc 4, 3, 15 = 3 5 = 60

19 Exercícios Propostos

20 Exercícios 1) Represente graficamente os intervalos a seguir e verifique se os números pertencem a cada intervalo: 5; π; 5; 0,; 5 ; (a) A = [,5) π, 5, -0,, 5 (b) B = (,7) 5, π, 5, 5 (c) C = (6, + ) Nenhum ) Sendo: A = [, 5], B = (, 7) e C = (6, + ). Determine: (a) A C (c) A B [,] (e) A C B [,,+ ) (b) A B (,5] (d) A C [,5] (6,+ ) (f) A C B (,5] 3) Sendo U = R represente cada um dos intervalos indicados por compreensão e na reta real: (a) conjunto dos números maiores que 3 e menores que 1; {x R 3 < x < 1} (b) conjunto dos números menores ou iguais a 4; {x R x 4} (c) conjunto dos números maiores que 1 ou menores que 3. {x R x < 3 ou x > 1}

21 Exercícios 4) Realize cada uma das operações envolvendo frações: (a) (b) (c) ) Calcule: (a) (d) (e) (f) (c) (b)

22 Exercícios 6) Represente graficamente na reta real os seguintes intervalos: (a) {x R 1 < x < 3} (b) (, ] (c) [ 3, 1 ] (d) {x R x < 7} (e) {x R x < 4} (f) [0,6) 7) Escreva os intervalos representados graficamente: (a) (b) (c) (d) (e) x R 4 x ou [ 4, ] x R x > 1 ou (1, + ) x R 3 < x < 3 ou ( 3, 3) x R 0 < x ou (0, ] x R x 1 ou (, 1]

23 Exercícios 8) Dados os conjuntos a seguir, determine o que se pede. (a) Α =, 4 e Β = 3, 6 : Α Β Α Β Α Β Β Α x R 3 x 4 ou 3, 4 x R x 6 ou, 6 x R x < 3 ou, 3 x R 4 < x 6 ou (4, 6] (b) A = {x R x < 4} e B = {x R x < 1 : Α Β, Α Β. Α Β x R x < 1 ou (, 1) Α Β x R x < 4 ou (, 4) 9) Dados os intervalos Α = 1, 4, Β = 1, 5, C =, 4 e D = 1, 3, verifique se 1 pertence ao conjunto Α Β (C D). x R 1 x 3 ou [1,3], portanto 1 A B (C D).

24 Exercícios 10) Realize as seguinte operações envolvendo frações: (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h)

25 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

26 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Matemática Básica Aula 0 019/1 Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

27 Potências em R Dados a R e n N, definimos a potência enésima como: Expoente Base a n = a a a a n fatores a n = 1 a n a 0 = 1 Exemplo: Calcule as seguintes potências (a) 3 (b) 5 Solução: Utilizando a definição de potência, tem-se: (a) 3 = = 8 (b) 5 = 1 5 = = fatores fatores (c) 3 0 (c) 3 0 = 1

28 Propriedades das potências Produto de potências de mesma base Exemplo: Exemplo: a m a n = a m+n 3 5 = 3+5 = 8 Quociente de potências de mesma base Exemplo: Exemplo: 3 a 3 5 = 3 a+5 a m = am n an = 35 3 = 3 a 5+b a c = a 5+b c Exemplo: Exemplo: Potência de potência a m n = a m n = = 5 1 Fração com expoente negativo m m Exemplo: Exemplo: a b = a b = a 4b a b b = b a 3 = 5 3 = b 3

29 Propriedades das potências Produto de potências de mesmo expoente Potência de base negativa e expoente par a m b m = a b m ( a) n = a n Exemplo: Exemplo: = 3 5 = 6 5 Quociente de potências de mesmo expoente Exemplo: 4 a = a a m b m = a b = 5 m 7 Exemplo: Exemplo: 6 = 6 = 64 x = x = 4 x Potência de base negativa e expoente ímpar Exemplo: ( a) n = a n 5 = 5 = 3 Exemplo: b 3 7 = b 3 3 Exemplo: 1 a 3 = 1 8a 3

30 Potências em R Exemplo: Calcule as seguintes potências (a) ( 3) 4 3 (b) 5 1 (c) (d) 5 Solução: Utilizando as propriedades de potência, tem-se: (a) ( 3) 4 0 = 3 4 = 81 5 (d) = 1 (b) 5 = 5 = 3 (e) (c) = = 1 = 7 = 7 = (f) 4 3 = 1 = (e) 7 (f) 4 3

31 Potências de Base 10 Com o uso do sistema numérico decimal, as potências de base 10 são particularmente importantes! Note que: Potência zeros 10 = 100 Potência 3 3 zeros 10 3 = Potência 4 4 zeros 10 4 = Potência 5 5 zeros 10 5 = Potência 1 1 zero 10 1 = 0,1 Potência zeros 10 = 0,01 Potência 3 3 zeros 10 3 = 0,001 Potência 4 4 zeros 10 4 = 0,0001 No caso geral: Expoente positivo Potência n n zeros 10 n = Expoente negativo Potência n n zeros 10 n = 0,0 01

32 Potências de Base 10 No geral, quando multiplicamos um número decimal por uma potência 10 n, onde n é um número inteiro, podemos dizer que, a vírgula anda n casas para a esquerda ou n casas para a direita de acordo com o sinal do expoente n. Se n é positivo, a vírgula se desloca n unidades para a direita; Se n é negativo, a vírgula se desloca n unidades para a esquerda; Exemplo: Efetue os seguintes produtos: (a)(1,5) 10 4 Solução: (a) (b) (1,5) zeros 1, = 1, = (b) A vírgula se desloca 4 casas para a direita 4 zeros 1, = ,5 0,0001 = 0,0015. A vírgula se desloca 4 casas para a esquerda

33 Unidades de medida Prefixos das principais unidades de medida Potências Prefixo Símbolo metro (m) grama (g) litro (l) 10 1 Tera T Tm Tg Tl 10 9 Giga G Gm Gg Gl 10 6 Mega M Mm Mg Ml 10 3 Kilo k km kg kl 10 Hecto h hm hg hl 10 Deca da dam dag dal 10 0 m g l 10 1 Deci d dm dg dl 10 Centi c cm cg cl 10 3 Mili m mm mg ml 10 6 Micro μ μm μg μl 10 9 Nano n nm ng nl 10 1 Pico ρ ρm ρg ρl

34 Unidades de medida Comprimento: a unidade padrão é o metro. km hm dam m dm cm mm 10 3 m 10 m 10 1 m 10 0 m 10 1 m 10 m 10 3 m 1.000m 100m 10m 1m 0,1m 0,01m 0,001m Múltiplos Conversões Submúltiplos Da direita para a esquerda, divide-se por 10 em cada passo km hm dam m dm cm mm Da esquerda para a direita, multiplica-se por 10 em cada passo

35 Conversões de unidades de medida Exemplo: Converta: (a) 5, hectômetros para centímetros Solução: (a) Unidade informada (b) 130 milímetros para metros Unidade pretendida km hm dam m dm cm mm Hectômetros 5, 5, 5, Centímetros 5, , Resposta: 5, hectômetros equivalem a centímetros

36 Conversões de unidades de medida Exemplo: Converta: (a) 5, hectômetros para centímetros Solução: (b) (b) 130 milímetros para metros km hm dam m dm cm mm Unidade pretendida Unidade informada Milímetros Metros ,001 0,13 Resposta: 130 milímetros equivalem a 0,13 metros.

37 Conversões de unidades de área e volume Conversão de área km hm dam m dm cm mm Conversão de volume km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm

38 Conversões de unidades de medida Exemplo: Converta: (a) 1500m para km Solução: (a) (b) 30dam 3 para mm 3 km hm dam m dm cm mm Unidade pretendida Unidade informada Metros quadrados Quilômetros quadrados , ,0015 Resposta: 1500 metros quadrados equivalem a 0,0015 quilômetros quadrados.

39 Conversões de unidades de medida Exemplo: Converta: (a) 1500m para km (b) 30dam 3 para mm 3 Solução: (b) Unidade informada Unidade pretendida km 3 hm 3 dam 3 m 3 dm 3 cm 3 mm 3 Decâmetros Cúbicos Milímetros Cúbicos Resposta: 30 decâmetros cúbicos equivalem a milímetros cúbicos.

40 Exercícios Propostos

41 Exercícios 1) Calcule as seguintes potências: (a) ( ) 3 (b) ( ) 8 4 (c) (d) 4 ) Calcule as seguintes potências: (a) 3 3 (b) (c) 3 4 (d) (f) ( ) (h) 33 (g) 3 3 (i) (3 ) 3 (e) (f) (m) 3 (n) ) Efetue os seguintes produtos: (a) (b) (3,) 10 4 (c) (0,041) 10 (d)(0,043) , (e) 3 10 (f) (g) (7,0) 10 3 (h) 4, ,03 0,0045 0,0070,45

42 Exercícios 4) Efetue as seguintes conversões: (a) 51 hectômetros para metros; (b) 155 decímetros para decâmetros; (c) 1, quilômetros para centímetros; (d) 0,30 decâmetros para decímetros; (f) 1, milímetros para metros; 1, (g) 100 metros quadrados para hectômetros quadrados; (h) 1,5 decâmetros quadrados para metros quadrados; 0,1 15 (i) 3,4 metros cúbicos para decímetros cúbicos; 3.40

43 Exercícios 5) O metro cúbico, no Sistema Internacional de Unidade (SI), é a unidade fundamental para o cálculo do volume/capacidade. Sabendo que 1 litro equivale a 1 decímetro cúbico, determine a capacidade, em litros, dos seguintes reservatórios: (a) (b) (c) h r 55cm c = 53dm r 1m Utilizar π 3,14 a = 1,5m b = 60cm 0,9m Utilizar π 3,14 Volume 1.77 litros Volume litros Volume 3.60,11 litros

44 Exercícios 6) Calcule as seguintes potências: (a) (b) ( 5) (c) ( 4) (e) 5 3 (f) ( 5 ) (d) 3 ( 1 3 ) (g) (h) (i) (( 6) 3 ) 5. ( 16) 7+ 1 (j)

45 Exercícios 7) Calcule os seguintes produtos: (a) 3, (c) 0, (e) 0, (b) , ,5 (d) 10007, , (f) 65345, , (g) 0, ,0005 (h)0, ,00007 (i), (j) ,9 8) Efetue as conversões de unidades como solicitado em cada letra: (a) hm m,5m (b) 0,000001Tm m m (c) 005 cm km 100μm (d) dam cm 000cm (e) mm dm 370dm (f) pm μm 100μm (g) 34 μm nm μm (h) 100 km 3 m m 3 (i) Mm Gm Gm (j) 999,8 hm dam 9998dam

46 Exercícios 9) Sabendo que 1L (um litro) equivale a 1dm 3, quantos litros possui um reservatório d água de 50m 3? Foram consumidos 5000cm 3 de água do reservatório. Quantos litros restaram? litros, litros.

47 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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49 Raízes em R Dados a R e n N tal que n, definimos a raiz enésima como: Índice n b = a se, e somente se, a n = b. Radicando

50 Propriedades das Raízes n a m = a m n Raiz como expoente fracionário Exemplo: 6 = 6 1 Exemplo: 3 5 = 5 3 Potência de raiz n a m = n a m Produto de raízes de mesmo índice n a n b = n a b Exemplo: x 6 = x = 5 9 Exemplo: Exemplo: 5 = 10 Exemplo: 4 4 b = 4 b Raiz de raiz Quociente de raízes de mesmo índice n m a = n m a n a n b = n a b Exemplo: Exemplo: Exemplo: Exemplo: 3 4 = 1 5 x = 10 x = x y = x y

51 Raízes em R Exemplo: Calcule: (a) 104 (b) 5 3 (c) (d) 16 3 (e) Solução: Utilizando a definição de raiz e suas propriedades, tem-se: (a) 104 = 10 = 10 = 5 = 3 (b) 5 3 (c) = 5 5 = = 3 8 = 3 3 = (d) 16 3 = 16 3 = ( 4 ) 3 = 1 = 1 = 6 = 64 (e) = (81) 1 4 = 4 81 = = 3

52 Raízes em R Exemplo: Simplifique ao máximo: (a) 4 (b) 3 3 (c) 4 51 Solução: Utilizando a definição de raiz e suas propriedades, tem-se: (a) 4 (b) 3 3 = 3 = 3 = 3 = 3 = 6 = 3 3 = 3 4 = (c) 4 51 = 4 9 = = 4 4 = = 4

53 Racionalização Racionalizar uma fração significa multiplicar e dividir a fração por um fator racionalizante de modo a simplificar as raízes do denominador. Os casos mais comuns de racionalização são os seguintes: Caso 1: o denominador é uma raiz quadrada. Neste caso, o fator racionalizante é a própria raiz quadrada que aparece no denominador. Exemplo Fator Forma racionalizada 1 a a 1a a a = a a = a a = = = 6 6 = 6 6 = 6 3

54 Racionalização Caso : o denominador é uma raiz de índice n. Neste caso, se no denominador há a raiz n a m, o fator racionalizante será n a n m. Exemplo Fator Forma racionalizada 1 n a m n a n m n a m n a n m n a n m = n a n m n a n = n a n m a = = = = = = = = = 5 4

55 Racionalização Caso 3: o denominador é uma soma/diferença envolvendo uma raiz quadrada. Neste caso, o fator racionalizante será o conjugado do denominador. Exemplo Fator Forma racionalizada 1 a + b a b a b 1 a + b a b a b = a b a = a b + a b b a b 1 a b a + b 1 a b a + b a + b = a + b a + b a = a b + a b b a b = 3( 1) = = = = = = + 3

56 Racionalização Exemplo: Racionalize as frações: 1 (a) (b) (c) 3 Solução: (a) (b) (c) (d) = = (d) = = 3 9 = = 5 3 = (e) = = = = = = (f) = 3 = = =

57 Racionalização Exemplo: Racionalize as frações: 1 (a) (b) (c) 3 Solução: (e) (f) (d) 5 9 (e) 1 3 (f) 1 + = = = = = (1 ) = 1 = 1 =.

58 Exercícios Propostos

59 Exercícios 1) Simplifique os radicais. (a) 576 (b) 3 64 (c) 1 (d) ) Reduza os radicais a seguir e efetue as operações indicadas em cada caso. (a) 8 (b) ) Calcule cada produto abaixo: 0 (c) (d) (a) (c) (b) (d) ) Calcule o valor numérico da expressão

60 Exercícios 5) Efetue as operações com as raízes (a) 18 6 (c) (b) (d) 6 3 6) Introduza cada expressão a seguir em um só radical: (a) (c) (b) (d) ) Determine o valor de x na expressão x = x = 3

61 Exercícios 8) Racionalize as frações abaixo: 1 5 (a) (b) ) Racionalize as frações abaixo: 3 (a) 3 (b) (c) y x y xy (c) 5 x y 3 xy y 5 x 3 y 10) Racionalize as frações abaixo: 1 (a) (b) (c) + 3 (d)

62 Exercícios 11) Simplifique os radicais. (a) 4 6 (b) (c) (d) ) Reduza os radicais e calcule o valor numérico das expressões. (a) (c) (e) (g) (b) (d) (f) (h) ) Efetue as operações com raízes: (a) (b) (c) (d) (e). (3 ) 5 6 (f) ( 7 1)

63 Exercícios 14) Para cada expressão reduza a um só radical. (a) (b) (c) (d) ) Racionalize as frações abaixo: (a) (b) (c) (d) (e) (f)

64 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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66 Fatoração De maneira geral, fatorar uma expressão significa escreve-la como um produto de dois ou mais fatores. Estudaremos a seguir os casos mais comuns de fatoração de expressões algébricas. Fatoração por fator comum em evidência mx ± my = m(x ± y) Prova da fórmula: m x + y = mx + my Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) 7x + 7y (b) 10m 5n (c) m 4n + 10 Solução: (d) x 5 + 3x (a) 7x + 7y = 7(x + y) (c) m 4n + 10 = (m n + 5) (b) 10m 5n = 5(m 5n) (d) x 5 + 3x = x (x 3 + 3)

67 Fatoração Fatoração por agrupamento mx + my + nx + ny = (m + n)(x + y) Prova da fórmula: (m + n) x + y = mx + my + nx + ny Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) xy + x + 5y + 10 Solução: (a) (b) xy + 4xy 6y 1y xy + x + 5y + 10 (b) xy + 4xy 6y 1y = x(y + ) + 5(y + ) = (x + 5)(y + ) = [xy + xy 3y 6y] = [x(y + y) 3(y + y)] = (x 3)(y + y) = y x 3 y +.

68 Produtos notáveis Primeiro caso de produtos notáveis: Prova da fórmula: Quadrado da soma de dois termos x + y = x + xy + y x + y = (x + y) (x + y) = x + xy + yx + y = x +xy + y quadrado da soma de dois termos Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) x + 4x + 4 (b) x + 6xy + 9y Solução: (a) x + 4x + 4 = x + x + (b) x + 6xy + 9y xy = x +. quadrado do primeiro = x + x 3y + (3y) = x + 3y. mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo (c) 4m + 8m + 49 (c) 4m + 8m + 49 = (m) +(m) 7 + (7) = m + 7. quadrado do segundo

69 Produtos notáveis Segundo caso de produtos notáveis: Quadrado da diferença de dois termos x y = x xy + y Prova da fórmula: x y = (x y) (x y) = x xy yx + y = x xy + y quadrado da diferença de dois termos Solução: xy Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) x 6x + 9 (b) x 4xy + 4y (a) x 6x + 9 = x x = x 3. quadrado do primeiro menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo (c) x x quadrado do segundo (b) x 4xy + 4y = x x(y) + (y) = x y. (c) x x = x x = x 3.

70 Produtos notáveis Terceiro caso de produtos notáveis: Prova da fórmula: Diferença de dois quadrados x + y x y = x y Solução: (x + y) (x y) = x xy + yx y = x y Produto da soma pela diferença de dois termos Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) x 9 (b) 4y 5 (a) x 9 (b) 4y 5 (c) m 4 4 = x + 3 x 3. = y + 5 y 5. (c) quadrado do primeiro m 4 4 = m + m = m + m + m. quadrado do segundo

71 Produtos notáveis Quarto caso de produtos notáveis: Prova da fórmula: Diferença de dois cubos x³ y 3 = x y. (x + xy + y ) x y. (x + xy + y ) = x 3 + x y + xy yx xy y 3 = x 3 y 3 Exemplo: Fatore as seguintes expressões: (a) x 3 7 (b) 8n 3 15 Solução: (a) x 3 7 = x 3 x + 3x + 9. (c) y 3 (b) 8n 3 15 = n 5 4n + 10n + 5. (c) y 3 = y 3 y + y

72 Fatoração do trinômio do segundo grau Um importante caso de fatoração é chamado de fatoração do trinômio de segundo grau. ax + bx + c (trinômio pois há três termos na expressão e de segundo grau, pois o maior expoente é dois). Fatoração do trinômio do segundo grau ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) x 1 e x são as raízes da equação de segundo grau Lembre que, para encontrar as raízes de uma equação de segundo grau, utiliza-se a fórmula de Bháskara. x = b ± b 4ac a fórmula de Bháskara

73 Fatoração do trinômio do segundo grau Exemplo: Fatore a expressão x + 3x 4. Solução: Neste caso, tem-se a = 1, b = 3 e c = 4. Aplicando a fórmula de Bháskara, tem-se x = (3) ± ( 4) 1 = 3 ± = 3 ± 5 x 1 = x = 3 5 = = 1 = 8 = 4 Obtém-se duas raízes reais e distintas dadas por x 1 = 1 e x = 4. Reescrevendo o trinômio dado na forma fatorada, tem-se x + 3x 4 = 1 x 1 x + 4 = x 1 x + 4. a x x 1 x x

74 Fatoração do trinômio do segundo grau Exemplo: Fatore a expressão x 6x + 9. Solução: Neste caso, tem-se a = 1, b = 6 e c = 9. Aplicando a fórmula de Bháskara, tem-se x = ( 6) ± (9) 6 ± = 1 x 1 = = 6 = 6 ± 0 = 3 x = 6 0 = 6 = 3 Obtém-se duas raízes e idênticas x 1, = 3. Reescrevendo o trinômio dado na forma fatorada, tem-se x 6x + 9 = 1 x 3 x 3 a x x 1 x x = x 3 Observação: Note que esta fatoração é um caso de trinômio quadrado perfeito.

75 Fatoração e produtos notáveis Fator comum em evidência mx + my = m(x + y) Agrupamento mx + my + nx + ny = (m + n)(x + y) Fatoração por produtos notáveis x + y = x + xy + y Quadrado da soma de dois termos x + y x y = x y Produto da soma pela diferença de dois termos x y = x xy + y Quadrado da diferença de dois termos x³ y 3 = x y. (x + xy + y ) Diferença de dois cubos Fatoração do trinômio do segundo grau ax + bx + c = a(x x 1 )(x x ) x 1 e x são as raízes da equação de segundo grau

76 Exercícios Propostos

77 Exercícios 1) Fatore cada expressão algébrica: (a) xy x x(y 1) (b) 5xy 5xy + 15x y (c) 4y 6 + 4y 5 + y + 1 (d) a 3 + 6ax 3a b 9bx (e) 3x y 1xy + 1 (f) y 4 6mxy + 9m x (g) 9a x 6ab 3 x + b 6 5xy(5 y + 3xy) (y + 1)(4y 5 + 1) (a + 3x)(a 3b) 3 xy y 3mx 3ax b 3 (h) 100 x y (i) ax ay (j) 5x 3 16x (k) x x 1 (10 xy)(10 + xy) a(x y)(x + y) x(5x 4)(5x + 4) (x + 3)(x 4) (l) x 6x + 4 (x 1)(x )

78 Exercícios ) Fatore cada expressão algébrica: (a) 4x 3xy x(4 3y) (b) xy + y y (c) 1 3 x +1 6 y (d) x 81 (e) 100 x (f) x 4 5 (g) 1 x y (h) x (i) 4x 1xy + 9y² (j) y + 10y + 5 (k) 11x y + 44xy + 4 (l) a 4 b 4 y(x + y 1) 1 3 (x +1 y) (x + 9)(x 9) (10 + x)(10 x) (x+ 5 )(x 5 ) (1 + xy)(1 xy) (x )(x 5 10) (x 3y) (y + 5) (11xy + ) (a + b )(a + b)(a b)

79 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

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81 Expressões algébricas Definição: Chama-se expressão algébrica toda expressão na qual estão presentes letras ou símbolos que denotam grandezas genéricas ou desconhecidas, que sãochamadas de incógnitas ou variáveis. Exemplo: Considere um retângulo de base 3 m e altura x m. Expresse a área e o perímetro desse retângulo. Solução: Neste caso, a área e o perímetro do retângulo são expressões algébricas com incógnita x. A = 3 x P = x + 6 Retângulo Exemplo: Se V é uma quantia de dinheiro que uma pessoa possui e o custo de um refrigerante é R$,00 e de um pastel é R$ 3,00; escreva uma expressão que calcule o troco que ela receberá ao comprar x refrigerantes e y pastéis. Solução: T = V x 3y Neste caso, o valor do troco é uma expressão algébrica com incógnitas V, x e y. 3 x

82 Valor numérico Definição: O valor numérico de uma expressão algébrica é obtido quando se substitui a incógnita por um número em particular. Exemplo: Considere a expressão algébrica: m n y = n +. Calcule o valor numérico desta expressão para m = 1 3 e n = 5. Solução: Substituindo os valores atribuídos a m e n na expressão algébrica, obtém-se: m n y = = = n + 3. = = 15 =

83 Simplificação de frações algébricas Um caso particularmente interessante de expressões algébricas são as frações algébricas. Exemplo: São exemplos de frações algébricas: (a) y 3x (b) y (c) 3 (d) x xy z 3 wt 5 x + y 1 + z x + 3xy 5 z 3 As simplificações de frações algébricas são efetuadas de forma similar às efetuadas com frações numéricas, ou seja, podem ser simplificados somente os fatores comuns ao numerador e ao denominador da fração. Exemplo: Simplifique a expressão: Solução: 15xy 3 w 0x 4 y 15xy 3 w 0x 4 y = 3y w 4x 3. (e)

84 Simplificação de frações algébricas Em alguns casos pode ser extremamente útil utilizar fatoração e produtos notáveis para simplificar uma fração algébrica. Exemplo: Simplifique as expressões: (a) x y 4x + 4y (b) m mn + n m n (c) x 3 y x y x 4xy + 4y Solução: (a) x y 4x + 4y = x + y x y 4 x + y = x y 4. (b) m mn + n m n = m n m n m n m + n = m n m + n. (c) x 3 y x y x 4xy + 4y = x y x y x y x y = x y x y.

85 Multiplicação/divisão de frações algébricas Assim como foi definida a multiplicação/divisão/potências de números racionais, efetua-se a multiplicação/divisão/potências de frações algébricas. Exemplo. Calcule: 3x (a) x + 1 x 3x + 1 Solução: (a) 3x = x + 1 x 3x x (b) x + x x x + 1 3x(x ) (x + 1)(3x + 1) = (c) 3x 6x 3x + x + 3x + 1 = x + y 3x 6x 3x + 4x + 1. (b) (c) 3 x x + x x x + 1 x + y = 3 x x + x x + 1 x = y x + = 3 x x(x + 1) x + 1 x = y x + = 4y x + 4x + 4. = 3 x x 3.

86 Soma/subtração de frações algébricas Assim como foi definida a soma/subtração de frações, efetua-se a soma/subtração de frações algébricas. Observe que o método para encontrar o mmc dos denominadores é bastante similar ao utilizado para números racionais. Exemplo: Calcule: x 3 (a) x 3x Solução: (a) Como mmc x, 3x x 3 x (b) Como mmc x, 3x, 6x = 3x, tem-se 3x = 3 x 3 3x x + x x 1 3x + x 1 6x = 6x, tem-se = (b) x + x x 1 3x + x 1 6x = 6x 9 3x = 6x 11. 3x 3x x + x 1 + x(x 1) 6x = 3x + 6x x + + x x 6x = 5x + 3x + 6x.

87 Soma/subtração de frações algébricas Exemplo. Calcule: x + (a) x + 3 x 1 Solução: (a) Como mmc x, x 1 x + x + 3 x 1 (b) Como mmc x 4, x,3x x + 1 x 4 x 5x 1 3x (b) = x(x 1), tem-se = x + x 1 + 3(x) x(x 1) = x + x + 6x x x = 3x(x 4), tem-se = 3x + 3x 6x 1x 5x 3 + 0x + x 4 3x(x 4) x + 1 x 4 x 5x 1 3x = x + 7x x x. = 3x x + 1 3x x + (5x 1)(x 4) 3x(x 4) = 5x3 x + 11x 4 3x 3 1x.

88 Exercícios Propostos

89 Exercícios 1) Considere um pedaço de cartolina retangular de lados x cm e y cm. Deseja-se montar uma caixa, em forma de paralelepípedo retângulo, sem a tampa de cima com esta cartolina. Para isto, de cada ponta do retângulo vai-se tirar um quadrado de lado cm (estamos então considerando x > 4 e y > 4). Com estas informações, monte a expressão que informa o volume dessa caixa. V = x 4 y 4 ) Em cada caso, calcule o valor numérico: (a) M = 3xy y, para x = 1 e y = 5 (b) M = x+y y x, para x = 3 e y = 1 7 M = 1 M = 8 17

90 Exercícios 3) Simplifique cada fração algébrica: (a) 0x3 y z 4 15x 6 y 6 z x 5 (b) x 5 (c) x y xy + y 4z 3 3x 3 y 4 1 x + 5 x y y (d) 4) Efetue as operações seguintes e simplifique: (a) 4m n 5 p 3r t 7 (b) x + 3 x 4 x 8x + 16 x 9 xy + y + 5x + 5 3y + 15 (e) x + xy + y x y (f) x 5x + 6 x 9 x x + y x y x x m 4 n 10 p (c) x y 9r 4 t 14 (x 4) (x 3) (d) x + y 7x 7y x + xy 7x x y y x x y y x

91 Exercícios 5) Efetue as operações seguintes e simplifique: (a) 4x 7xy 3x (b) (c) (d) + 8y 3x 6x x + 7 3x x 6 x + 1 x x 1 x + + 4t t s t s t + s 4x x 1 + t + s t s 5x 8y + 16y 1x x 14 3(x 1)(x + 1) 6x (x 1)(x + 1) 4t t s 6) Simplifique a seguinte expressão: x y y x 1 x + xy + 1 y x y x + y x + y

92 Exercícios 7) Peça a um amigo para pensar em um número, multiplicá-lo por 3, somar 6, multiplicar por 4 e dividir por 1, dizendo para você o resultado final. Você pode então adivinhar qual o número em que seu amigo pensou. Parece mágica, não é? Como isto é possível? 9) Calcule o valor numérico de cada expressão abaixo: (a) M = x y y, para x = e y = 1 O resultado é y = x +, então o número pensado é x = y, pois y = M = 5 3x+6 4 8) Determine o valor da expressão a 3 3 b c 1, quando a = 1, b = 8 e c = (b) M = x+y 1 x 1 +y 1, para x = 5 e y = 5 M = 50 3

93 Exercícios 10) Simplifique cada fração algébrica: (a) a x bx ab (b) x 4xy + 4y x 4y 1 b x y x + y (d) x 4 1 x 4 + x + 1 (e) x x 6 x + 4x x 1 x + 1 x 3 x (c) x y x xy + y x + y x y (f) x + 4x 5 x x + 1 x + 5 x 1

94 Exercícios 11) Efetue as operações seguintes e simplifique: x 56 (a) x + xy + 4x + 4y x y x 8 (b) x + xy + y x y (c) 1 + x a x + a x + y x xy + y 1 x a x + a (x + 16)(x y) (x y)(x + y) x a (d) m 36 m + 1 x y xy (e) (f) 3x 3 y 3 x y 1 a + b 4 ax + bx m 6 x x 9y 7 x

95 Exercícios 1) Calcule o valor numérico de cada expressão abaixo: x (a) M = x, para x = 4 x (b) M = x xy + y, para x = 1 e y = 1 4 a (c) M = +ax, para α = 8, x = 10 e y = 9 y y + 1 x (d) M =, para x = 10 e y = 5 x + 1 y 13) Simplifique cada fração algébrica (a) ac c c c a 1 c 1 (b) 3x+3y 3 3a 1 x+y 1 a (c) a b a 3 a b a+b a (d) x 8x+16 x 16 x 4 x+4

96 Exercícios 14) Efetue as operações seguintes e simplifique: (a) x+y y y x+y x x+y x y(x+y) (b) 1 x+1 1 x 1 + x x 1 x+1 (c) x a+1 x4 a 1 a 1 x 3 (d) a 1 x y a a+1 3x+3y 3 a 1 x y (e) m 36 x y m+1 xy m 6 x (f) 3a 4 x 7 +x 6 9a4 x+

97 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.

98 Universidade Federal de Pelotas Instituto de Física e Matemática Pró-reitoria de Ensino Atividades de Reforço em Cálculo Módulo de Matemática Básica Aula /1 Projeto GAMA Grupo de Apoio em Matemática

99 Polinômios Definição: Chama-se um polinômio de grau n na variável x a expressão p x = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0, onde a 1, a,...,a n são os coeficientes do polinômio com a n 0. Exemplos: p x = 3x 3 5x + 1 q x = x 5 + x polinômio de grau três, ou de terceiro grau. polinômio de grau cinco, ou de quinto grau. v x = 8 polinômio de grau zero.

100 Operações com polinômios Para somar dois polinômios somam-se os coeficientes dos termos de mesmo grau. O mesmo é feito ao efetuar a diferença de dois polinômios. Exemplo: Dados os polinômios p x = 3x 4 x 3 5x + 1 e q x = x 3 x + 3x 7 Calcule: (a) a soma p x + q x (b) a diferença p x q x Solução: (a) (b) p x + q x = 3x 4 x 3 5x x 3 x + 3x 7 = 3x 4 + x 3 x x 6. p x q x = 3x 4 x 3 5x + 1 x 3 x + 3x 7 = 3x 4 x 3 5x + 1 x 3 + x 3x + 7 = 3x 4 x 3 x 3 + x 5x 3x = 3x 4 3x 3 + x 8x + 8.

101 Operações com polinômios Já para efetuar o produto de polinômios usamos propriedades distributivas, regras de sinais e propriedades de potência dos expoentes de x. Exemplo: Calcule: (a) x (x 1) (b) (x + 1) (x x ) (c) (x 3x + 1) (x x) Solução: (a) (b) x x 1 = x x. x + 1 x x = x x 3 +x x = x 3 + x + x. (c) x 3x + 1 x x = x 4 x 3 3x 3 +3x +x x = x 4 4x 3 + 4x x.

102 Operações com polinômios Para efetuar a divisão de polinômios precisamos recorrer a um procedimento de divisão muito semelhante ao algoritmo para divisão de números inteiros, como no exemplo a seguir. Exemplo: Em cada caso, efetue a divisão dos polinômios (a) (x 5x + 6) (x ) (b)(x 4 x + 1) (x x + 3) Solução: (a) Dividendo Divisor (b) Dividendo Divisor x 5x + 6 x x +x x 3 3x + 6 3x 6 0 Quociente Resto Portanto x 5x + 6 = (x )(x 3) x 4 + 0x 3 x + 0x + 1 x 4 + x 3 3x x 3 4x +0x + 1 x 3 + 4x 6x 6x + 1 x x + 3 x +x Quociente Resto Portanto x 4 x + 1 = x x + 3 x + x 6x + 1

103 Dispositivo Prático de Briot- Ruffini O Dispositivo Prático de Briot-Ruffini é um método prático para efetuar a divisão de um polinômio por um binômio do primeiro grau p x = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 q x = x a O primeiro passo consiste em dispor os valores de a e os coeficientes do polinômio (em ordem decrescente em relação ao grau) da seguinte forma: q x = x a p x = a n x n + a n 1 x n a x + a 1 x + a 0 a a n a n 1 a a 1 a 0 Vamos mostrar como este dispositivo é aplicado por meio de um exemplo resolvido!

104 Dispositivo Prático de Briot- Ruffini Exemplo: Efetue (x 3 + 3x 3x + 5) (x 1). Solução: Passo 01 Passo 0 multiplica Passo 03 a multiplica a 3 a a 1 a 0 Soma desce 5 resultado Soma 5 resultado Passo 04 Soma multiplica 5 7 resultado Passo 05 Observação: O número de passos dependerá do grau do polinômio x + 5x + quociente resto

105 Dispositivo Prático de Briot- Ruffini Exemplo: Efetue (x 4 + 3x 3 x 6) (x + 3). Solução: Passo 01 a a 4 a 3 a a 0 a 1 Passo 04 multiplica Soma resultado Passo 0 Soma Passo 05 Soma multiplica Passo 03 multiplica desce Soma resultado resultado multiplica Passo x 3 quociente resultado resto

106 Exercícios Propostos

107 Exercícios 1) Efetue as seguintes operações com polinômios: (a) x 3 3x (1 3x x 3 ) 6x + (b) x 3 7x + 3 (4x 3 x 3x) x 3 + x 4x + 3 (c) (3x 4x + ) (x 3 x) 3x 5 4x 4 4x 3 + 8x 4x (d) x 3 3x + 4x + 1 (x + 1) x 3 e resto 6x + 4 (e) x 5 x 4 14x 3 + 9x 4x + 1 (x 3 + 5x x + 1) x 3x + 1 (f) x x 1 x 4 x + 3 (g) (x 5 3x 3 + 4x 3) (x 1) x 4 + x 3 x x + 3 (h) (x 4 3x 3 3) (x + 1) x 3 5x + 5x 5 e resto

108 Exercícios ) Efetue as seguintes operações com polinômios: (a) 4x 5 3x 3 x + 7x 4 x 3 + x x + 4x 5 + 7x 4 5x 3 + x x + (b) 1 x (x 3 4x 5 x + ) (c) x 4x + 1 3x x 1 4x 5 x 3 1 3x 4 13x 3 + 6x + 3x 1 (d) 3x 5 + x 4 + x 5 ( x + x 1) 3x 3 5x x + e resto 4x 3 (e) x 4 4x 3 + x x 3 (x + x + 1) (f) x x 6 x + x 3 (g) (x 5 + 1) (x + 1) x 4 x 3 + x x + 1 x 9x e resto 5x (h) (x 5 4x 4 x 3x + ) (x 4) x 4 x 11 e resto 4

109 Monitorias!! Não esqueça de procurar os monitores do GAMA para melhor esclarecer suas dúvidas!! Os horários e locais de monitorias podem se encontrados na página do Projeto: O GAMA possui monitorias de: Pré-cálculo e Matemática Elementar (e disciplinas equivalentes) ALGA Álgebra Linear e Geometria Analítica (e disciplinas equivalentes) Cálculo 1, Cálculo 1A e Cálculo I (e disciplinas equivalentes) Certificado de 0 horas para quem procurar a monitoria do GAMA por pelo menos 15 vezes dentro do mesmo semestre letivo.