Equação e Fatoração MATEMÁTICA 8 ANO D PROF.: ISRAEL AVEIRO

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1 Equação e Fatoração MATEMÁTICA 8 ANO D PROF.: ISRAEL AVEIRO

2 Definição Fatorar um polinômio é escrevê-lo em forma de um produto de dois ou mais fatores. Casos de fatoração: 1. Fator comum em evidência 2. Agrupamento 3. Trinômio quadrado perfeito 4. Diferença de dois quadrados

3 1.Fator Comum em Evidência Calcular a área do seguinte retângulo: a b c A área desse retângulo é: 5 5a 5b 5c 5a + 5b + 5c (soma das áreas da figura) ou 5(a + b + c) (produto do comprimento pela largura) Então: 5a + 5b + 5c = 5(a + b + c) Polinômio Forma fatorada do polinômio - Repare que 5 é o fator comum A todos os termos do polinômio 5a + 5b + 5c. - Na forma fatorada, 5 aparece com destaque. Dizemos que o fator comum 5 foi colocado em evidencia.

4 1.Fator Comum em Evidência Observe este outro retângulo: x 2y O polinômio que representa sua área é: 4x 4x 2 8xy 4x 2 + 8xy 4. x. x x. y Nesse caso, o fator comum a todos os termos do polinômio é 4x. Colocando 4x em evidência obtemos a forma fatorada do polinômio: 4x 2 + 8xy = 4x(x + 2y) 4x 2 = x 4x 8xy = 2y 4x

5 1.Fator Comum em Evidência Vamos fatorar mais um polinômio como exemplo: 6a 2 + 8a = 2a(3a + 4) a. a a Colocamos o fator comum 2a em evidência. 6a 2 = 3a 2a 8a = 4 2a Para conferir se a fatoração está correta, use a propriedade distributiva: 2a(3a + 4) = 6a 2 + 8a (Voltamos ao polinômio original) a) 3x 2 y + 6xy 2 2xy = xy(3x + 6y 2) a) XY é variável que aparece em todos os termos. Utilizamos a que possui o menor expoente. 3x 2 y : xy = 3x 6xy 2 : xy = 6y - 2xy : xy = - 2. b) Dividir todos os termos pelo m.d.c.

6 2. Agrupamento Observe o polinômio : ax + ay + bx + by Não há fator comum a todos os termos. No entanto podemos fazer: ax + ay + bx + by = a(x + y) + b(x + y) = (x + y) (a + b) Fator comum Veja outro exemplo: xy 2 + xy y = xy 2 (1 + y) + 3(1 + y) = (1 + y) (xy 2 + 3)

7 2. Agrupamento Exemplos: a) 5ax + bx + 5ay + by = x(5a + b) + y(5a + b) = (5a + b)(x + y) b) x 2 + 3x + ax + 3a = x(x + 3) + a(x + 3) = (x + 3) (x + a) c) 3a ba 2 + b = 3(a 2 + 1) + b(a 2 + 1) = (a 2 + 1) (3 + b)

8 3. Trinômio quadrado perfeito Sabemos que: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 a 2 + 2ab + b 2 = (a + b) 2 (a - b) 2 = a 2-2ab + b 2 a 2-2ab + b 2 = (a - b) 2 O trinômio obtido nesse produto notável é chamado de trinômio quadrado perfeito. Por quê?

9 3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio. Exemplo 1: Cálculos auxiliares: a) x x + 25 = (x + 5) 2 x 2 = x 25 = 5 mesmo sinal 10x = 2. x. 5 = 10x Conclusão: O trinômio é um quadrado perfeito

10 3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. O resultado terá o sinal do termo do meio. Exemplo 2: Cálculos auxiliares: a) 4a 2 12a + 9 = (2a + 3) 2 2a 3 4a 2 = 9 = mesmo sinal 12a = 2. (2a). 3 = 12a Conclusão: O trinômio é um quadrado perfeito

11 3. Trinômio quadrado perfeito Observe a seguir que: Os termos extremos fornecem raízes quadradas exatas. O termo do meio deve ser o dobro do produto das raízes. Exemplo 3: a) x 2 + 3xy + y 2 = Cálculos auxiliares: x 2 = x y 2 = y 3xy = 2. x. y = 2xy Conclusão: Não é um trinômio quadrado perfeito, pois 3xy 2xy.

12 4.Diferença de dois quadrados Vimos que (a + b) (a b) = a 2 b 2 Fazendo o caminho inverso, podemos fatorar uma diferença de quadrados: a 2 b 2 = (a + b) (a b) Da mesma forma, x 2 y 2 = (x + y) (x y) 16x 2 9 = 25 4x x 3 5 9a 2 25 = (3a) 2 (3a + 5) (3a 5) p 4 49r 2 = (p 2 + 7r) (p 2 7r) (p 2 ) (7r) 2 Então: Basta determinar a raiz quadrada dos dois extremos.

13 4.Diferença de dois quadrados Para fatorar a expressão: 32a colocamos o fator comum: 2 em evidência... e fatoramos. 32a 2 18 = 2 (16a 2 9) Aparece uma diferença de quadrados e a fatoração completa ficará assim: 32a 2 18 = 2(4a 3) (4a + 3)

14 Exercícios 1) Observe a figura e responda o que pede. A B a) Qual é a área do quadrado ABCD? R: Soma as quatro partes indicadas: x x +25 X 2 8X b) Qual é a forma fatorada da área desse quadrado? R: (x + 8) 2 D 8X 64 C c) Qual é a medida do lado desse quadrado? R: x + 8

15 Exercícios 2) Indique duas fórmulas para a área colorida do quadrado maior. 1) (x 6) 2 2) (x 2 12x 36) 6 6 x x

16 Exercícios 3) Determine a área da região colorida e dê o resultado na forma fatorada. Área = (a 2 16) a Fatorada = (a + 4) (a 4) a 4 4

17 Exercícios 4) Fatore as seguintes expressões: (Fatoração comum) a) 3x + 3y = b) 5x 2 10x = c) 8ax 3 4a 2 x 2 = d) 6x 2 4a = e) 4x 5 7x 2 = f) 5x 5 = g) m 7 m 3 = h) a 3 + a 6 = i) x 50 + x 51 = j) 8x6 12x3 = k) 15x 3 21x 2 = l) 14x x = m) x 2 y + xy 2 = n) 35ax 42ay = o) 5a + 20x 10 = p) 15x 7 + 3ax 4 = q) x 7 + x 8 + x 9 = r) 6x 2 y + 12xy 9xyz =

18 Exercícios 5) Fatore as seguintes expressões: (Fatoração Agrupamento) a) 6x + 6y + ax + ay = b) 7ax 7a + ax bx = c) m 2 + mx + mb + bx = d) x 3 + 3x 2 + 2x + 6 = e) x 2 + 2x + 5x + 10 = f) x 3 + x 2 + x 1 = g) X 3 + 2x 2 + xy + 2y = h) X 3 5x 2 + 4x 20 = i) x(a + b) + y(a + b) = j) 2a(x 1) b(x 1) = k) 7a 7c + ma mc = l) a 3 + 3a 2 + 2a + 6 = m) x 3 x 2 + 5x 5 = n) 5x + ax + 5y + ay = o) x 3 + 2x 2 + 7x + 14 = p) c 2 c + cx x =

19 Exercícios 6) Coloque na forma fatorada as expressões: (Fatoração TQP) a) x 2 6x + 9 = b) a 2 10a + 25 = c) m 2 + 2mn + n 2 = d) x 2 16x + 64 = e) a 2 10a + 25 = f) 25x x + 36 = g) 49x 2 14xy + y 2 = h) 64x 2 48x + 9 = i) x 4 4x = j) m 2 n 2 2mnp + p 2 =

20 Exercícios 7) Coloque na forma fatorada as expressões: (Fatoração DDQ) a) 4x 2 25 = b) 1 49a 2 = c) 25 9a 2 = d) 9x 2 1 = e) a 2 c c = f) x 3 25x = g) 16a 2 9x 2 y 2 = h) 17x 2 17y 2 = i) 2m 4 50 = j) 1x 2 25 = 4 k) 4a 2 25 = 9 49 l) m 2 1 = 9 m) x 4 9 = 4

21 FIM Obrigado pela atenção!