RACIOCÍNIO LÓGICO ÁLGEBRA LINEAR

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1 RACIOCÍNIO LÓGICO AULA 11 ÁLGEBRA LINEAR I - POLINÔMIOS POLINÔMIOS E EQUAÇÕES ALGÉBRICAS 1 Definição Seja C o conjunto dos números complexos ( números da forma a + bi, onde a e b são números reais e i é a unidade imaginária tal que i 2 = -1). Entende-se por polinômio em C à função: P(x) = a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n-1 x + a n, onde os números complexos a o, a 1,..., a n são os coeficientes, n é um número natural denominado grau do polinômio e x é a variável do polinômio. Exemplo : P(x) = x 5 + 3x 2-7x + 6 (a o = 1, a 1 = 0, a 2 = 0, a 3 = 3, a 4 = -7 e a 5 = 6 ). O grau de P(x) é igual a 5. Nota: Os polinômios recebem nomes particulares a saber: a) Binômio : possuem dois termos. Ex : r(x) = 3x + 1 (grau 1). b) Trinômio: possuem 3 termos: Ex : q(x) = 4x 2 + x - 1 ( grau 2). c) A partir de 4 termos, recorre-se à designação genérica : polinômios Valor numérico do polinômio Sendo m um número complexo ( lembre-se que todo número real é também um número complexo), denominamos valor numérico de um polinômio P(x) para x = m, ao valor P(m) ou seja o valor que obtemos substituindo x por m. Exemplo: Qual o valor numérico do polinômio p(x) = x 3-5x + 2 para x = -1? Teremos, substituindo a variável x por x = -1 Þ p(-1) = (-1) 3-5(-1) + 2 = = 6 \ p(-1) = Raiz (ou zero) de um polinômio 1

2 O número complexo m é raiz ou zero do polinômio P(x) quando P(m) = 0. Exemplo: i é raiz do polinômio P(x) = x 2 + 1, pois P(i) = 0. Lembre-se que i 2 = -1, ou seja, o quadrado da unidade imaginária é igual a -1. O número natural 2 é raiz do polinômio P(x) = x 3-2x 2 - x + 2, pois P(2) = 0 (verifique!) Soma dos coeficientes de um polinômio Para calcular a soma S dos coeficientes de um polinômio P(x), basta calcular o valor numérico do polinômio para x = 1 ou seja, calcular P(1). Exemplos: a) P(x) = 2x 4 + 3x 2-7x + 10 S = P(1) = = 8. b) Qual a soma dos coeficientes de S(x) = x x? Substituindo x por 1, encontramos S = 2. (Lembre-se que = 1). IMPORTANTE: Às vezes, um polinômio pode vir expresso como uma potência do tipo (x + a) n, denominado binômio de Newton (Isaac Newton - físico, astrônomo e matemático inglês, ). Ainda assim, a propriedade anterior é válida. Por exemplo, qual a soma dos coeficientes do polinômio P(x) = ( 2x - 3) 102? Ora, substituindo x por 1, vem: S = (2.1-3) 102 = (2-3) 102 = (-1) 102 = 1 (lembre-se que toda potência de expoente par é positiva).outro exemplo: Qual a soma dos coeficientes do polinômio T(x) = (5x + 1) 4? Ora, temos para x = 1 : S = T(1) = ( ) 4 = 6 4 = = IDENTIDADE DE POLINÔMIOS Polinômio identicamente nulo (ou simplesmente polinômio nulo) é aquele cujo valor numérico é igual a zero para todo valor da variável x. Indicamos P º 0 (polinômio nulo).para um polinômio P(x) ser um polinômio nulo é necessário e suficiente que todos os seus coeficientes sejam nulos (iguais a zero) Polinômios idênticos - São polinômios iguais. Se P e Q são polinômios idênticos, escrevemos P º Q. É óbvio que se dois polinômios são idênticos, então os seus coeficientes dos termos correspondentes são iguais. A expressão P º Q é denominada identidade. Exercício resolvido: Sendo P(x) = Q(x) + x 2 + x + 1 e sabendo que 2 é raiz de P(x) e 1 é raiz de Q(x), calcule o valor de P(1) - Q(2). 2

3 SOLUÇÃO: Ora, se 2 é raiz de P(x), então sabemos que P(2) = 0 e se 1 é raiz de Q(x) então Q(1) = 0. Temos então substituindo x por 1 na expressão dada : P(1) = Q(1) \ P(1) = = 3. Então P(1) = 3. Analogamente, poderemos escrever : P(2) = Q(2) \ 0 = Q(2) + 7, logo Q(2) = -7. Logo P(1) - Q(2) = 3 - (-7) = = 10. Resp: 10 3 DIVISÃO DE POLINÔMIOS Efetuar a divisão de um polinômio P(x) por outro polinômio D(x) não nulo, significa determinar um único par de polinômios Q(x) e R(x) que satisfazem às condições: 1) P(x) = D(x). Q(x) + R(x). (Analogia 46:6 = 7 e resto 4 \ 46 = ).2) gr R(x) < gr D(x), onde gr indica o grau do polinômio. Notas: 1) se R(x) = 0, então dizemos que P(x) é divisível por D(x). 2) se gr P > gr D então gr (P : D) = gr P - gr D.3) não se esqueça que o grau do resto é sempre menor que o grau do divisor.4) se gr P(x) < gr D(x) então Q(x) = 0 e R(x) = P(x) Resto da divisão pelo binômio x - a. Teorema do resto : o resto da divisão de P(x) por x - a é igual a P(a).Demonstração : Podemos escrever P(x) = (x - a). Q(x) + R(x) ; Logo, fazendo x = a vem imediatamente que P(a) = (a - a). Q(a) + R(a), de onde se conclui que P(a) = R onde R é o resto da divisão. x - a. Conseqüência : Se P(a) = 0, então R = 0 ( R = resto ) e portanto, P(x) é divisível por II EQUAÇÕES ALGÉBRICAS Sendo P(x) um polinômio em C, chama-se equação algébrica à igualdade P(x) = 0. Portanto, as raízes da equação algébrica, são as mesmas do polinômio P(x). O grau do polinômio, será também o grau da equação.exemplo: 3x 4-2x 3 + x + 1 = 0 é uma equação do 4º grau. Propriedades importantes : I - Toda equação algébrica de grau n possui exatamente n raízes.exemplo: a equação x 3 - x = 0 possui 3 raízes a saber: x = 0 ou x = 1 ou x = -1. Dizemos então que o conjunto verdade ou conjunto solução da equação dada é S = {0, 1, -1}. 3

4 II - Se b for raiz de P(x) = 0, então P(x) é divisível por x - b.esta propriedade é muito importante para abaixar o grau de uma equação, o que se consegue dividindo P(x) por x - b, aplicando Briot-Ruffini. III - Se o número complexo a + bi for raiz de P(x) = 0, então o conjugado a - bi também será raiz.exemplo: qual o grau mínimo da equação P(x) = 0, sabendo-se que três de suas raízes são os números 5, 3 + 2i e 4-3i.Ora, pela propriedade P3, os complexos conjugados 3-2i e 4 + 3i são também raízes. Logo, por P1, concluímos que o grau mínimo de P(x) é igual a 5, ou seja, P(x) possui no mínimo 5 raízes. IV - Se a equação P(x) = 0 possuir k raízes iguais a m então dizemos que m é uma raiz de grau de multiplicidade k.exemplo: a equação (x - 4) 10 = 0 possui 10 raízes iguais a 4. Portanto 4 é raiz décupla ou de multiplicidade 10.Outro exemplo: a equação x 3 = 0, possui três raízes iguais a 0 ou seja três raízes nulas com ordem de multiplicidade 3 (raízes triplas).a equação do segundo grau x 2-8x + 16 = 0, possui duas raízes reais iguais a 4, (x = x = 4). Dizemos então que 4 é uma raiz dupla ou de ordem de multiplicidade dois. V - Se a soma dos coeficientes de uma equação algébrica P(x) = 0 for nula, então a unidade é raiz da equação (1 é raiz).exemplo: 1 é raiz de 40x 5-10x x - 40 = 0, pois a soma dos coeficientes é igual a zero. VI - Toda equação de termo independente nulo, admite um número de raízes nulas igual ao menor expoente da variável.exemplo: a equação 3x 5 + 4x 2 = 0 possui duas raízes nulas.a equação x x 12 = 0, possui 100 raízes, das quais 12 são nulas! VII - Se x 1, x 2, x 3,..., x n são raízes da equação a o x n + a 1 x n-1 + a 2 x n a n = 0, então ela pode ser escrita na forma fatorada :a o (x - x 1 ). (x - x 2 ). (x - x 3 )..... (x - x n ) = 0. Exemplo: Se - 1, 2 e 53 são as raízes de uma equação do 3º grau, então podemos escrever:(x+1). (x-2). (x-53) = 0, que desenvolvida fica : x 3-54x x = 0. (verifique!). Relações de Girard. São as relações existentes entre os coeficientes e as raízes de uma equação algébrica.para uma equação do 2º grau, da forma ax 2 + bx + c = 0, já conhecemos as seguintes relações entre os coeficientes e as raízes x 1 e x 2 :x 1 + x 2 = - b/a e x 1. x 2 = c/a. Para uma equação do 3º grau, da forma ax 3 + bx 2 + cx + d = 0, sendo x 1, x 2 e x 3 as raízes, temos as seguintes relações de Girard :x 1 + x 2 + x 3 = - b/a x 1.x 2 + x 1.x 3 + x 2.x 3 = c/a x 1.x 2.x 3 = - d/a Para uma equação do 4º grau, da forma ax 4 + bx 3 + cx 2 + dx + e = 0, sendo as raízes iguais a x 1, x 2, x 3 e x 4, temos as seguintes relações de Girard :x 1 + x 2 + x 3 + x 4 = -b/ax 1.x 2 + x 1.x 3 + x 1.x 4 + x 2.x 3 + x 2.x 4 + x 3.x 4 = c/ax 1.x 2 x 3 + x 1.x 2.x 4 + x 1.x 3.x 4 + x 2.x 3.x 4 = - d/ax 1.x 2.x 3.x 4 = e/a NOTA: observe que os sinais se alternam a partir de ( - ), tornando fácil a memorização das fórmulas 4

5 Agora que você estudou a teoria, tente resolver as questões a seguir: 1 - UEFS-91/1 - Sejam três polinômios em x:p = -2x 3-2x 2 + 2x -1 ; Q = ( 2x 2 + 3) ( x - 1 ) e R = -4x + 3. Dividindo-se P - Q por R, encontram-se quociente e resto respectivamente iguais a:resp: x 2 + (3/4)x + 13/16 e -7/16 400x UEFS-92/1- Sejam P = 5x - 2, Q = ( x 2 ) 2 e R = 5x + 2; então (PR) 2 - Q é:resp: UEFS-92/1 - Se o resto da divisão de P(x) = x 3 + ax + b por Q(x) = x 2 + x + 2 é 4, então a + b vale:resp: 34 - UEFS-93/1 - O conjunto verdade da equação 18x 3 + 9x 2-2x -1 = 0 está contido em:a) [-2,-1) *b) [-1,1) c) [1,2) d) [2,3) e) [3,4) 4 - UEFS-94/1 - A soma das raízes da equação 2x 4-3x 3 + 3x - 2 = 0 é: Resp: 3/2 PRODUTO DE STEVIN É o produto de qualquer número de binômios do 1º grau, da forma ( x+ a), onde a é um número real ou complexo. Para dois binômios, teremos:(x + a)(x + b) = x 2 + (a + b) x + ab Para três binômios, teremos:(x + a)(x + b)(x + c) = x 3 + (a + b + c)x 2 + (ab + ac + bc)x + abc. A memorização destas fórmulas é fácil e útil para agilizar cálculos. Observe que existe uma clara lei de formação, a qual facilita a memorização. Claro que você pode obter as fórmulas acima, simplesmente multiplicando os binômios, mas numa prova de vestibular, isto significaria perda de precioso tempo. Exemplos: 1) (x+3)(x+5) = x 2 + (3 + 5)x = x 2 + 8x ) (x+10)(x+4) = x x ) (x - 7)(x+4) = x 2-3x 28 4) (x - 6)(x - 7) = x 2-13x ) (x+3)(x+4)(x+5) = x 3 + (3+4+5)x 2 + ( )x + (3.4.5) = x x x ) (x+1)(x-3)(x+8) = x 3 +(1-3+8)x 2 + ( )x )= x 3 + 6x 2-29x 24 7) (x+5)(x+3)(x+2) = x 3 +(5+3+2)x 2 +( )x +(5.3.2) = x 3 +10x 2 +31x+30 8) (x-3)(x-2)(x+7) = x 3 + (-3-2+7)x 2 +( )x +( ) = x 3 + 2x 2-29x + 42 Poderíamos generalizar a fórmula de Stevin, para o produto de n binômios da forma (x+a).deixaremos de fazê-lo, por absoluta falta de praticidade para o Vestibular. 5

6 Exercícios propostos: Calcule os seguintes produtos de Stevin:a) (x+10)(x-90)b) (x+2)(x-15)(x+6) Respostas: a) x 2-80x 900 b) x 3-7x 2-108x EQUAÇÕES RECÍPROCAS Seja a equação racional inteira a 0.x n + a 1.x n-1 + a 2.x n a n = 0, ordenada segundo as potências decrescentes de x, com a 0, a 1,..., a n números reais sendo a 0 ¹ 0 e n inteiro positivo. Diz-se que esta equação é recíproca se e somente se os termos eqüidistantes dos extremos, forem iguais ou simétricos. Sendo iguais, teremos uma equação recíproca de 1ª espécie e, sendo opostos, teremos uma equação recíproca de 2ª espécie. Exemplos: 2x 5 + 3x 4-5x 3-5x 2 + 3x + 2 = 0 - equação recíproca de 1ª espécie2x 5-3x 4-5x 3 + 5x 2 + 3x - 2 = 0 - equação recíproca de 2ª espécie. Ao se deparar com uma equação recíproca, deve-se sempre verificar imediatamente se 1 ou -1 são raízes da equação, pois isto permitirá abaixar o grau da equação, através de uma divisão do primeiro membro da equação, por x ± 1, o que facilitará sobremaneira a resolução da mesma. Seja resolver a equação recíproca 2x 5-3x 4-5x 3 + 5x 2 + 3x - 2 = 0.Trata-se de uma equação recíproca de 2ª espécie.observe que 1 é raiz da equação pois: = 0. Da mesma forma observamos que -1 não é raiz. Vamos dividir o primeiro membro da equação dada por x - 1, de modo a abaixar o grau da equação. Utilizaremos o método de Briot-Ruffini: A equação dada pode então ser escrita na forma fatorada, como:(x - 1). (2x 4 - x 3-6 x 2 - x + 2) = 0Logo, 2x 4 - x 3-6 x 2 - x + 2 = 0 Dividindo ambos os membros por x 2, vem:2x 2 - x - 6-1/x + 2/x 2 = 02x 2 + 2/x 2 - x - 1/x - 6 = 02(x 2 + 1/x 2 ) - (x + 1/x) - 6 = 0 Observe agora, que:(x + 1/x) 2 = x x.(1/x) + 1/x 2 =x 2 + 1/x Portanto, x 2 + 1/x 2 = (x + 1/x) 2-2 6

7 Substituindo na equação em negrito acima, fica:2[(x + 1/x) 2-2] - (x + 1/x) - 6 = 02(x + 1/x) (x + 1/x) - 6 = 0Fazendo x + 1/x = y, vem:2y y - 6 = 02y 2 - y - 10 = 0 Resolvendo esta equação do 2º grau, vem: y = 5/2 ou y = -2.Substituindo em x + 1/x = y, vem:x + 1/x = 5/2 \ 2x 2-5x + 2 = 0 \ x = 2 ou x = 1/2.x + 1/x = -2 \ x 2 + 2x + 1 = 0 \ (x + 1) 2 = 0 \ x = -1 ou x = -1. Portanto, o conjunto verdade ou conjunto solução da equação recíproca proposta será:s = {1, -1, -1, 2, 5/2} = {-1, 1, 2, 5/2}Observe que -1 é uma raiz de ordem de multiplicidade 2 ou seja, -1 é uma raiz dupla. Exercícios a) 12x 4-4x 3-41x 2-4x + 12 = 0. Sugestão: comece dividindo ambos os membros por x 2.b) 20x 5-169x 4-591x 3-591x 2-169x + 20 = 0Sugestão: observe que -1 é raiz; logo, comece dividindo o primeiro membro por x - (-1) = x + 1. Respostas: a) S = {2, 1/2, -2/3, -3/2}b) S = {-1, 5, 1/5, 4, 1/4} Compor a equação cujas raízes são 1, 2, 3 e 4.Solução:Como a equação possui 4 raízes, ela é do quarto grau e a sua forma geral é:a 0 x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0Considerando a sua forma mais simples, podemos, sem nenhum prejuízo, considerar a 0 = 1, e a equação fica:x 4 + a 1 x 3 + a 2 x 2 + a 3 x + a 4 = 0Sendo as raízes x 1 = 1, x 2 = 2, x 3 = 3 e x 4 = 4, podemos escrever as seguintes, conforme teoria já vista em Equações Algébricas:a) Soma das raízesx 1 + x 2 + x 3 + x 4 = - a 1 \ = - a 1 \ a 1 = -10b) Produto das raízes tomadas duas a duasx 1.x 2 + x 1.x 3 + x 1.x 4 + x 2.x 3 + x 2.x 4 + x 3.x 4 = a 2 \ = a 2 \ a 2 = 35 c) Produto das raízes tomadas três a trêsx 1.x 2.x 3 + x 1.x 2.x 4 + x 1.x 3.x 4 + x 2.x 3.x 4 = - a 3 \ = - a 3 \ 50 = - a 3 \ a 3 = - 50d) Produto das raízesx 1.x 2.x 3.x 4 = a 4 \ = a 4 \ a 4 = 24Portanto, a equação procurada é:x 4 10 x x 2 50 x + 24 = 0Agora resolva esta: Compor a equação cujas raízes são 2, 3 e 4.Resposta: x 3 9x x 24 = 0Paulo Marques, Feira de Santana BA, 08 de setembro de