Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação?

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1 EQUAÇÕES DO º GRAU CONTEÚDOS Equações do º grau Processo resolutivo de uma equação Discriminante de uma equação AMPLIANDO SEUS CONHECIMENTOS Iniciaremos agora o estudo das equações do º grau com uma incógnita. As equações são constantemente utilizadas para resolver problemas que aparecem no dia a dia. Vamos discutir o uso das equações resolvendo o problema da reforma da casa de Pedro. Na reforma de sua casa, Pedro decidiu ampliar a sala, essa decisão impactou na falta de material, isso porque todo o piso já estava comprado. Antes da ampliação Pedro tinha disponível 16 m² de piso, quantidade que seria ideal para execução da obra. Com as novas medidas, a sala que antes era quadrada, ficou retangular, sofrendo o aumento de 1,5 m em seu comprimento e 0,5 m em sua largura. Ao término da ampliação, a sala está com 5,5 m de comprimento e 4,5 m de largura. Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação? Para pensar sobre a situação colocada, vamos fazer um esboço que representa a sala de Pedro antes e depois da reforma. Sala antes da reforma Área = 16 m² Sala após a reforma 4,5 m 5,5 m

2 A sala antes da reforma tinha o formato quadrado, e a medida de seu lado era desconhecida. Para encontrar essa medida, vamos identificá-la como x. Assim: Tendo a sala o formato quadrado, vale lembrar que a área do quadrado é igual a medida do lado ao quadrado, E portanto, a área da sala é: x. 16 x² = 16 Para determinar a medida inicial do comprimento da sala, descrevemos uma equação. Essa equação recebe o nome de equação do º grau com uma incógnita. Identifica-se como equação do º grau na incógnita x, toda equação que apresenta a forma ax² + bx + c = 0. Em que a, b e c são números reais e a 0. Em uma equação do º grau os valores a, b e c são chamados de coeficientes da equação. No caso da equação que representa a área da sala, ela é identificada como equação do º grau incompleta, isso porque ela não apresenta o coeficiente b. Antes de determinar a medida inicial da sala de Pedro, vamos discutir um pouco mais as equações do º grau com uma incógnita. Essas equações podem ser divididas em completas e incompletas. Veja alguns exemplos: x² + 0, temos uma equação do º grau na incógnita x. Essa equação é incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e b, em que a = e b =. 4y² = 0, temos uma equação do º grau na incógnita y. Essa equação é incompleta e apresenta apenas os coeficientes a e c, em que a = 4 e c = x² - 4x + 4 = 0, temos uma equação do º grau na incógnita x. Essa equação é completa e portanto apresenta os coeficientes a, b e c, em que a = 1, b = - 4 e c = 4.

3 Em uma equação do º grau fazemos as seguintes identificações, em relação aos coeficientes: O coeficiente a está relacionado a incógnita que está elevada a segunda potência. O coeficiente b está relacionado a incógnita que está elevada a primeira potência. O coeficiente c é identificado como termo independente. É o coeficiente sem a incógnita. A forma reduzida de uma equação Quando uma equação está escrita na forma ax² + bx + c = 0, dizemos que ela está escrita na forma reduzida de uma equação. A equação x² = 16, que representa a medida inicial da sala de Pedro não está representada em sua forma reduzida. Para representá-la, podemos aplicar o princípio aditivo. Acompanhe: x² = 16 x² - 16 = ( aplicamos o princípio aditivo somando 16) x² - 16 = 0 ( forma reduzida da equação) Vejamos mais alguns exemplos de como representar uma equação em sua forma reduzida: 5x² - 14x + 4 = 3x² 5x² - 3x² - 14x + 4 = 3x² - 3x² (aplicamos o princípio aditivo somando 3x²) x² - 14x + 4 = 0 (forma reduzida da equação) x.( x - 5) = - 4 x² ( aplicamos a distributiva) x² - 5x + 4 = (aplicamos o princípio aditivo somando + 4) x² - 5x + 4 = 0 ( forma reduzida da equação)

4 Resolução das equações incompletas Equações na forma ax² + c = 0 Iniciaremos o processo resolutivo utilizando a equação x² = 16, a qual representa a medida inicial da sala de Pedro. Vamos lembrar que a forma reduzida dessa equação é: x² - 16 = 0. Neste caso a equação não apresenta o coeficiente b. Temos a = 1 e c = Resolvendo a equação: x² - 16 = 0 ( equação dada) x² = 16 ( aplicamos o princípio aditivo e somamos + 16) x² = ou Temos dois valores que representam as raízes da equação, são eles: - 4 e 4. Considerando que essa equação representa a medida da área da sala de Pedro, sendo x a medida do lado da sala, neste caso, o valor de x será apenas o valor positivo. Logo, sabemos agora que medida inicial da sala de Pedro era de 4,0 m, passando a ter 5,5 m de comprimento após a reforma. Veja que a resolução da equação permitiu responder a pergunta que gerou nossos estudos. Lembra-se dela? Como é possível afirmar que a sala ficou com 5,5 m de comprimento após a ampliação? Já temos a resposta: Sabemos que após a reforma, a sala ficou com 5,5 m de comprimento porque inicialmente sua medida era de 4,0 m, e considerando a ampliação de 1,5 m, a medida final será de 5,5 m.

5 Raízes da equação: Um número é identificado como raiz quando ao substituí-lo no lugar da incógnita, ele torna a igualdade verdadeira. Equações na forma ax² + b 0 Dada a equação x² - 0, o primeiro passo para resolvê-la é aplicar a fatoração. Vamos lá! x.( x 1) = 0 ( aplicando a fatoração) Sendo x.( x 1) = 0, temos. 0 ou x -1 = 0, resolvendo cada uma dessas equações, temos: ou x 1 = 0 1 Saiba mais: A fatoração é a transformação de uma soma ou subtração de termos, em um produto de dois ou mais fatores. Fatorando a expressão Vamos entender melhor! 16.( + 3) Para fatorar a expressão ao lado, o primeiro passo é Observe que: encontrar um número que seja divisor comum dos = 16.( + 3) números 3 e 48. Neste caso, os dois termos são pares, logo são divisíveis por. Porém, na fatoração, devemos encontrar o maior divisor comum entre os termos da expressão que deseja-se fatorar. Sendo assim, deve-se considerar não somente um divisor comum, mas o maior divisor comum entre os termos envolvidos. Entre os números 3 e 48, o maior divisor será o número 16. Logo, podemos expressar os números 3 e 48 por meio de multiplicações que envolvem o número 16. Ao escrever 3 como.16 e 48 como 3.16, observa-se que há um fator comum, ou seja, o próprio número 16. Colocamos então esse fator comum em evidência, representamos a soma por meio de uma multiplicação de termos.

6 As raízes da equação são 0 e 1. Dizemos que esse é o conjunto solução da equação. Para representar esse conjunto utilizamos a seguinte simbologia: S = {0,1}. O processo resolutivo de equação completa Para discutir o processo resolutivo de uma equação completa, suponha um retângulo que apresenta comprimento de medida igual a (x + 5), largura igual a x e área igual a 4 m². x Sendo a área de um retângulo obtida ao multiplicar a medida de seu comprimento por sua largura, temos: (x + 5) x.( x + 5) = 4 ( aplicando a distributiva) x² x² + 5x 4 = 4 4 ( aplicando o princípio aditivo) x² + 5x 4 = 0 Ao resolver a equação apresentada, encontramos a medida x, que representa a largura do terreno. Para determinar as raízes dessa equação, um dos processos resolutivos é realizado ao utilizar a fórmula de Bhaskara. Vejamos como ocorre esse processo:

7 Resolução da equação completa do º grau Para resolver as equações completas do º grau faremos uso da tão conhecida fórmula de Bhaskara, a qual é descrita pela expressão: - b b² 4ac a Curiosidade Bhaskara era um matemático hindu e viveu no século XII. Nesse período a escrita algébrica ainda não era conhecida. Somente no século XVI que essa notação passa a ser utilizada. Foi o francês François Viète que iniciou o desenvolvimento da escrita algébrica, permitindo assim o uso da álgebra para descrever resoluções e até mesmo permitir a padronização das tais chamadas fórmulas. A exemplo temos a fórmula utilizada para extração das raízes de uma equação do º grau, a famosa fórmula de Bhaskara. Na verdade Bhaskara não conheceu essa fórmula, e somente aqui no Brasil atribui-se esse nome a fórmula resolutiva para extração das raízes de uma equação do º grau. Registros históricos mencionam que métodos resolutivos para solucionar equações do º grau já eram conhecidos pelos babilônios. Batizar a fórmula com o nome de Bhaskara ocorreu por volta de 1960, e alguns registros indicam que isso tenha ocorrido com o objetivo de fazer uma espécie de homenagem a um dos mais importantes matemáticos hindus (Bhaskara), que apresentou em duas das suas obras, resolução de problemas que envolviam as equações do º grau. Vamos agora utilizar a fórmula resolutiva, para resolver a equação x² + 5x 4 = 0. Para utilizar a fórmula de Bhaskara, vamos seguir os seguintes passos: 1º: Identifique os coeficientes da equação: a = 1 b = 5 c = - 4 º: Calcule separadamente o valor da raiz b² 4.a.c. Para tanto, substitua os valores dos coeficientes. 5² 4.1.( 4)

8 4º: Após calcular a raiz, substitua o valor encontrado na expressão. Neste momento, substitua também os coeficientes a e b por seus respectivos valores x.1 5º: Agora que você já tem todos os valores substituídos, você realizará dois cálculos. O primeiro será da seguinte maneira: x x 1 3 ( primeira raiz da equação).1 O segundo será realizado desta forma: x x 8 ( segunda raiz da equação).1 Após todos esses passos, chegamos aos valores que representam as raízes da equação. Neste caso específico, uma das raízes representa a medida da largura do terreno, como temos uma das raízes negativas, sabemos que o comprimento inicial é de 3 m, ou seja, valor da raiz positiva. Portanto, o terreno tem largura igual a 3 m e comprimento igual a 8 m. O discriminante de uma equação Você acabou de estudar o processo resolutivo da equação do º grau por meio da utilização da fórmula da Bhaskara. Analisaremos agora o número de raízes de uma equação a partir do estudo do discriminante. Para tanto, é preciso que seja compreendido qual é a expressão que está sendo chamada de discriminante. Na fórmula b b² 4.a.c, a expressão b² - 4.a.c, que é um número real, usualmente.a é chamada de discriminante e representada pela letra grega ( delta). Sendo assim, temos: = b² - 4.a.c E a fórmula resolutiva pode ser representada por b.a.

9 Vejamos agora, algumas análises que podem ser feitas a partir do discriminante. Dada a equação x² - x +1 = 0, vamos determinar as raízes dela, porém primeiro faremos o cálculo do delta. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-)² = 4 4 = 0 (-) x 1 = 1-0 x = 1 Observe que neste caso, o valor do discriminante é igual a zero e a equação tem duas raízes iguais. Toda equação do º grau que apresentar o discriminante igual a zero, terá duas raízes iguais. Podemos dizer que a equação apresenta uma única raiz real. Vamos para mais uma análise: Dada a equação x² - 0x + 99 = 0 vamos determinar suas raízes, semelhante ao primeiro caso, iniciaremos pelo cálculo do discriminante. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-0)² = = 4 (-0) x 1 = x = 9 Observe que neste caso, o valor do discriminante é um número real positivo e a equação apresenta duas raízes. Toda equação do º grau que apresenta em seu discriminante um número maior que zero, terá duas raízes reais e distintas.

10 E por último, faremos a análise da seguinte equação: x² - x + = 0 Para calcular as raízes dessa equação, faremos o mesmo processo utilizado nos exemplos anteriores. Acompanhe: b.a = b² - 4.a.c = (-)² = 4-8 = - 4 (-) Observe que o valor do discriminante é um número negativo. E, não existe raiz real de um número negativo. Portanto, dizemos que essa equação não tem raiz real. ATIVIDADES 1. Na equação x² + 4x 140 = 0, identifique os coeficientes a, b e c.. Identifique como completa ou incompleta as equações do º grau. a) - x² + 0 b) x² - 5x + 6 = 0 c) - 4r² + 6r = 0 d) 10x² + 3x 1 = 0 e) x² - 5 = 0 f) 8x² g) x² = 1 h) 10y² = - y i) 4x² = 0 3. Utilizando o conhecimento que você já construiu acerca das equações do º grau, procure descrever uma equação que representa a seguinte situação: O quadrado de um número, somado com o dobro desse número é igual a 35.

11 4. Represente a equação descrita no exercício 3 em sua forma reduzida. 5. Identifique os coeficientes da equação descrita no exercício 3 e classifique-a como completa ou incompleta. 6. Represente, na forma reduzida, as seguintes equações: a) x² b) 3x² + = 7x c) 4y² + 8 = - 3 d) x. (x 4) = + 8x 7. Na equação x² + 4x 140 = 0, quais são suas raízes? 8. A medida do segmento AB somada a medida do segmento BC resulta em 1 cm. Conhecendo as medidas de cada um desses segmentos, quantos centímetros o segmento BC é maior que o AB? x² 4x 9. Resolvendo apenas o discriminante, coloque verdadeiro (V) ou falso (F) para as seguintes afirmações: a) A equação x² - x 1 = 0 tem duas raízes iguais. ( ) b) A equação 3x² + 5x + 6 = 0 tem uma raiz.( ) c) A equação x² + 0 tem duas raízes reais distintas. ( ) d) A equação x² - x + 1 = 0 não tem raiz real. ( ) e) A equação x² - 1x + 48 = 0 tem duas raízes reais distintas. ( )

12 10. Dada a equação 1x² - 9x + 7 = 0, em relação a sua raiz pode-se afirmar que: a) é um número real maior que zero. b) é igual a zero. c) é um número real menor que zero. d) não existe no conjunto dos números reais. 11. O discriminante da equação x² - 0x + 48 = 0 é um número a) inteiro positivo. b) inteiro negativo. c) primo. d) múltiplo de O triângulo ilustrado tem área igual a 60 cm². Dado sua altura e a medida de seu comprimento, pode-se afirmar que sua área pode ser expressa pela equação x Lembre-se: Para calcular a área de um triângulo utiliza-se a seguinte expressão: base x altura Área x + a) x² + x 60 = 0 b) x² + x 10 = 0 c) x² - 4x 10 = 0 d) x² + x 60 = 0

13 13. As informações inseridas em um contrato de compra e venda de uma sala comercial de formato quadrado, permitiam entender que ao subtrair da área da sala, a medida de seu perímetro, o valor encontrado seria zero. O comprador questionou o corretor da imobiliária dizendo que com essa informação é possível concluir que a sala tem um comprimento igual a 4 metros, valor que difere da sala que ele visitou, a qual tem uma área igual a 64 m². Em relação as informações mencionadas pelo comprador, é correto dizer que a) a sala tem comprimento igual a 64 m. b) a sala tem comprimento igual a 8 m. c) a sala tem perímetro igual a 8 m. d) a sala tem perímetro igual a 64 m. 14. A soma das medidas dos segmentos DE e EF é igual a 9 cm. 6x 3x² Conhecendo as medidas de cada um deles, pode-se afirmar que o segmento DE é a) 6 cm maior que o segmento EF. b) 3 cm maior que o segmento EF. c) cm maior que o segmento EF. d) 9 cm maior que o segmento EF. 15. A área de um retângulo de comprimento igual a x + e largura igual a x 3 é igual a 130 cm². Qual é a diferença entre a largura desse quadrilátero e seu comprimento?

14 LEITURA COMPLEMENTAR Relações de Girard para equações do segundo grau Já sabemos que uma equação do segundo grau na variável x e com coeficientes reais é uma equação da forma ax² + bx + c = 0, Onde a, b e c são números reais, com a 0, ditos coeficientes da equação: a é dito o coeficiente de x²; b é dito o coeficiente de x; c é dito o coeficiente independente. O que discutiremos aqui é que existem relações entre os coeficientes de uma equação desse tipo e suas raízes. Essas relações foram descobertas pelo matemático Albert Girard e, portanto, são conhecidas como relações de Girard. (i) Uma das relações de Girard afirma que a soma das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o oposto do coeficiente de x e o coeficiente de x², ou b seja, a soma das raízes da equação ax² + bx + 0 é dada por. a Veja uma maneira de demonstrar essa propriedade: Pela fórmula resolutiva da equação do segundo grau, tem-se que as raízes da equação ax² + bx + c = 0 são dadas por x 1 b Δ e a x b Δ onde Δ b² 4.a.c a Então a soma das raízes é igual a: x 1 x b a Δ + b a Δ = b b Δ a Δ b a b a Assim, de fato, x 1 x b a (ii) Uma outra relação de Girard afirma que o produto das raízes de uma equação do segundo grau é igual à razão entre o seu termo independente c e o seu coeficiente de x², o c que implica dizer que o produto das raízes da equação ax² + bx + c = 0 é dado por. a

15 Veja como demonstrar essa segunda propriedade: Sendo, x 1 b Δ e a x produto dessas raízes será dado por: x 1.x b.a Δ. b Δ as raízes da equação do segundo grau ax² + bx + c = 0, o a b Logo, necessariamente, c x1.x a.a Δ = ( b)² b Δ b 4a² Δ Δ b² Δ b² (b² 4.a.c) 4ac c 4a² 4a² 4a² a Aplicação: Para determinarmos a soma e o produto das raízes de uma equação do segundo grau, não é necessário resolvê-la. Ilustraremos esse resultado com alguns exemplos. Exemplo 1: Quais são os valores da soma e do produto das raízes de uma equação da equação do segundo grau x² + 7x 6 = 0? b 7 c 6 Solução: Chamaremos S a soma e P o produto, então temos: S = e P = 3 a a. Exemplo : Quais são os valores da soma e do produto das raízes da equação x² + 4x 9 = 0. b 4 Solução: Sendo S a soma e P o produto, então temos S = 4 a 1 c 9 P = 9. a 1 Disponível em:< Acesso em: 4 maio 016. INDICAÇÕES Consulte também na Biblioteca Digital do Portal EJA, na área de indicações o texto sobre equações do segundo grau. No material você encontrará a proposta de resolução de algumas equações. Você pode acessá-lo no seguinte endereço eletrônico: m.aspx?id=154&source=http%3a%f%fwww%eeja%eeducacao%eorg%ebr%f bibliotecadigital%findicacoes%ftextos%5fsite%flists%ftexto%fmatematica%e aspx e 10h.

16 REFERÊNCIAS CELESTINO, Kamila Gonçalves. XI Encontro Nacional de Educação Matemática: História da equação do segundo grau em livros didáticos. Curitiba, 013. Disponível em:< Acesso em: 16 maio h40min. GIOVANNI, José Ruy. GIOVANNI, Jo se Ruy Júnior. BENEDICTO, Castrucci. A conquista da Matemática. São Paulo: FTD, 015. p OBMEP, Clube de Matemática. Relações de Girard. Disponível em: Acesso em: 4 maio h. SÃO PAULO (Estado). Secretaria da Educação (SEE). Educação de Jovens e Adultos: Mundo do Trabalho modalidade semipresencial, v 1. Matemática: caderno do estudante. Disponível em: < no>. Acesso em: 18 maio h. GABARITO 1. a= 1 ( coeficiente que acompanha a incógnita que está elevada a segunda potência). b= 4 ( coeficiente que acompanha a incógnita elevada a primeira potência) c= ( coeficiente sem incógnita, também chamado de termo independente). Equações completas: b e d. Equações incompletas: a, c, e, f, g, h, e i. 3. Identificando o número desconhecido como x, temos: x² x² +.x 35 = x² +.x 35 = 0 5. Os coeficientes são: a = 1, b = e c = A equação é completa.

17 6. a) x² - 7.x - 10 = x² - 7.x + 10 = 0 b) 3x² x 7.x 3x² c) 4y² = y² + 11 = 0 d) x² x x² - 4.x x 8.x x² Para determinar as raízes da equação é necessário resolvê-la. Para tanto, faremos uso da fórmula de Bhaskara. - b b² 4ac a - 4 4² 4.1.(-140) x 1 = 0 = 10 x = = 14 As raízes da equação são: - 14 e Para saber quantos centímetros o segmento BC é maior que o AB, primeiro é necessário resolver a equação que possibilita que a medida de cada um desses segmentos seja conhecida. x² x² + 4.x 1 = 0 - b b² 4ac a - 4 4² 4.1.(-1) x 1 = = 3 x = = - 7 Ao resolver a equação encontramos dois possíveis valores que representam a raiz da equação e consequentemente permitem determinar a medida de cada segmento. Sendo um desses valores negativos, esse não será válido nessa situação, já que não existe medida negativa. Utilizaremos então apenas a raiz 3, assim, temos: AB = x² AB = 9 BC = 4.x BC = 1

18 Se o segmento BC mede 1 cm e o segmento AB mede 9 cm, BC é 3 cm maior que AB. 9. a) F = b² - 4.a.c = (-)² - 4..(-1) = = 100 b) F = b² - 4.a.c = 5² = 5 7 = - 47 c) V = b² - 4.a.c = (-)² = 4 0 = 4 d) F = b² - 4.a.c = (-)² = 4 4 = 0 e) F = b² - 4.a.c = (-1)² = = A alternativa correta é letra D. Para identificar a quantidade de raízes da equação, vamos calcular o valor do seu discriminante. = b² - 4.a.c = (-9)² = = - 55 Sendo o discriminante negativo, conclui-se que a raiz dessa equação não existe no conjunto dos números reais. 11. A alternativa correta é a letra A. = b² - 4.a.c = ( -0)² = = 16

19 1. A alternativa correta é letra B. Sabendo que para calcular a área de um triângulo faz-se uso da expressão, base x altura Área, temos: 60 = x( x ) 10 = x² + x 0 = x² + x A alternativa correta é a letra B. Considerando as observações do comprador e identificando como x a medida do comprimento da sala, temos: Área = x² x² = Portanto, se o comprimento da sala é igual a 8 m. 14. Para saber a medida do segmento DE, pode-se estabelecer entre esses segmentos a seguinte relação: 3x² x² + 6x 9 = 0 Resolvendo a equação, tem-se: - b b² 4ac a - 6 6² 4.3.(-9) x 1 = x = 3 6 Sendo x uma medida, utilizaremos neste caso apenas a raiz positiva. Sendo: EF = 3.x² e 1, EF é igual a 3. DE = 6.x e 1, DE é igual a 6. Se o segmento DE tem 6 cm e o segmento EF tem 3 cm, DE é 3 cm maior que EF.

20 15. Para conhecer as medidas desse quadrilátero, vamos inicialmente fazer um esboço para visualizar a descrição mencionada no exercício. (x + ) (.x 3) Temos então: (x + ). (.x 3) = 130 x² - 3x + 4x 6 = 130 x² + x 6 = 130 x² + x = 0 x² + x 136 = 0 Dada a equação do º grau, utilizaremos a fórmula de Bhaskara para resolvê-la. - b b² 4ac a - 1 1² 4..(-136) x 1 = x = 8,5 4 Calculada as raízes, observa-se que uma delas é negativa, como estamos trabalhando com uma medida, utilizaremos apenas a raiz positiva. Assim temos: Comprimento = x + Comprimento = 8 + Comprimento = 10

21 Largura =.x 3 Largura =.8 3 Largura = 16 3 Largura = 13 Portanto a largura é 3 cm maior que o comprimento