Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais

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1 Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais 1. Verifique, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: 6 4 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. De um modo geral, que relação deve haver entre os coeficientes de um polinómio para que este seja divisível por x 1? 3. Determine o quociente e o resto da divisão de: a. 4x x + 3 por x x x + 6x por 4. Resolva, em IR, as equações: x + x 1 a. 3 x 5x + 6x = 0. 5 x x =. 5. Considere a função polinomial definida por f(x) = 5x x + 4 a. Verifique que 1 é raiz de f. Para todo o x real tem-se que f( x) = x g( x) c. Resolva a equação f(x) = Indique os polinómios do 3º grau que admitem as raízes 1, e Existe algum polinómio do 3º grau que admita as raízes 1,,3 e Considere a função polinomial definida por a. Decomponha em factores f(x). Resolva a equação f(x) = Considere a função polinomial definida por a. Determine os zeros de f. Professora Rosa Canelas 1 Ano lectivo 006/ f(x) = 6x + x 31x f(x) = x + 3x + 5x 6 Determine os valores de x, para os quais a função é negativa. 10. Considere a função polinomial definida por. Encontre o polinómio g(x). 4 3 g(x) = x + x 16x x + 15 a. Determine os valores de x que satisfazem a condição g(x)=0. Resolva a condição ( ) Considere o polinómio p(x) = x 6x + 11x 6x + 1. g3x 0. Apresente o resultado usando intervalos. a. Determine o polinómio q(x), de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x). Resolva a equação p(x) = 0.

2 Ficha de trabalho Decomposição e resolução de equações e inequações polinomiais Proposta de resolução 1. Verifiquemos, recorrendo ao algoritmo da divisão, que: x 1. 0x 6-54x 4 +3x + x x 54x + 3x + é divisível por -0x 6 +0x 5 0x 5 +0x 4-34x 3-34x -34x - 0x 6 +0x 5-54x 4-0x 5 +0x 4 0x 5-34x 4 +34x 4-34x 3 0x 4-34x 3 +34x 3-34x 0x 3-34x +3x +34x -34x 0x -x + +x - 0x Como a divisão dá resto zero, 0x 54x + 3x + é divisível por x 1.. A relação que deve haver entre os coeficientes de um polinómio para que este seja divisível por x 1 decorre de outros processos de resolução: a regra de Ruffini ou o teorema do resto. Vamos dividir sucessivamente um polinómio de grau1,, 3,... por x 1 a b 1 a a a+b=0 a b c 1 a a+b a a+b a+b+c=0 a b c d 1 a a+b a+b+c a a+b a+b+c a+b+c+d=0 Concluímos assim que a soma dos coeficientes tem que ser zero. 3. Determine o quociente e o resto da divisão de: Professora Rosa Canelas Ano lectivo 006/007

3 a. 4x x + 3 por x 1. ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS O quociente é 4x + e o resto é x x + 6x por x + x 1. -x 4 +6x +4x x +x -1 +x 4 +x 3 -x -x +0,5x +,5 0x 4 +x 3 +5x +4x -x 3-0,5x +0,5x 0x 3 +4,5x +4,5x -4,4x -,5x +,5,5x +,5 O quociente é x +0,5x+,5 e o resto é,5x+,5. 4. Resolvamos, em IR, as equações: 3 5± 5 4 x 5x + 6x = 0 x x 5x+ 6 = 0 x = 0 x 5x+ 6= 0 x = 0 x = a. ( ) x = 0 x = 3 x = As soluções são 0, e x x 3 = 0 x x 3 = 0 5x 4x 1 = ± ± 16 5 x = x = x = x = As soluções são e Considere a função polinomial definida por f(x) = 5x x + 4 a. Verifiquemos que 1 é raiz de f calculando f = + = + = + = De facto 1 é raiz de f porque 1 f = 0. Professora Rosa Canelas 3 Ano lectivo 006/007

4 Para todo o x real tem-se que f( x) = x g( x) 1. Encontramos o polinómio g(x) dividindo f(x) por x 1. g( x) = 5x x 0,5 5-3,5 0 0,5 0,5,5-0,5-0, ,5 0 c. Resolvamos a equação f(x) = ± f( x) = 0 x 5x x 0 x x x x x = = = = = = 6. Os polinómios do 3º grau que admitem as raízes 1, e 3 são ( )( )( ) ( )( ) = + = a( x 3 3x + x 3x + 9x + x 6) a x 1 x x 3 a x x x x 3 3 = ax 6ax + 13ax 6a, a 0 7. À pergunta Existe algum polinómio do 3º grau que admita as raízes 1,,3 e 4? só podemos responder: Não, porque um polinómio do 3º grau tem no máximo 3 raízes. 8. Consideremos a função polinomial definida por 3 f(x) = 6x + x 31x a. Para decompormos em factores f(x) precisamos de identificar uma raiz do polinómio e vamos fazê-lo utilizando a calculadora: Sabendo que é raiz do polinómio vamos aplicar a Regra de Ruffini: Então podemos escrever: f( x) = ( x )( 6x + 13x 5 ) e calculando as raízes do polinómio do º grau obtido: 13 ± x + 13x 5 = 0 x = 1 13 ± x = x = x = Podemos finalmente escrever: f( x) = 6( x ) x+ x Professora Rosa Canelas 4 Ano lectivo 006/007

5 Para resolvermos a equação f(x) = 0 basta agora aplicar a lei do anulamento do produto 5 1 pois já temos o polinómio decomposto. f( x)= 0 x = x = x = 3 9. Consideremos a função polinomial definida por 3 f(x) = x + 3x + 5x 6 a. Para determinar os zeros de f vamos fazer como no exercício anterior: Temos já dois zeros da função, o 1 e o e vamos utilizar a regra de Ruffini Finalmente: ( )( )( ) 3 3 f(x) = 0 x + 3x + 5x 6= 0 x 1 x x 3 = 0 x = 1 x = x = Para determinarmos os valores de x, para os quais a função é negativa podemos utilizar dois processos: Análise do gráfico (uma vez que já sabemos os zeros) 3 f x 0 x,1, ( ) < ] + [ Analiticamente através do quadro de sinal dos factores do polinómio: Professora Rosa Canelas 5 Ano lectivo 006/007

6 x x x x f(x)< f x 0 x,1, ( ) < ] + [ 10. Consideremos a função polinomial definida por 4 3 g(x) = x + x 16x x + 15 a. Determinemos os valores de x que satisfazem a condição g(x) = 0 começando como no exercício anterior. Daqui podemos concluir que g( x) = 0 x = 5 x = 1 x = 1 x = 3, porque um polinómio do quarto grau não pode ter mais de 4 raízes Resolvamos a condição g3x ( ) 0, começando por utilizar a Regra de Ruffini para decompor em factores o polinómio g (x) Então será g( x) = ( x + 5)( x + 1)( x 1)( x 3 ). Então g3x ( ) = ( 3x+ 5)( 3x+ 1)( 3x 1)( 3x 3 ) Professora Rosa Canelas 6 Ano lectivo 006/007

7 x 5 3 ESCOLA SECUNDÁRIA COM 3º CICLO D. DINIS x x x x g3x ( ) g3x 0 x,, 1, ( ) [ + [ Consideremos o polinómio p(x) = x 6x + 11x 6x + 1. a. Determinemos o polinómio q(x), de tal modo que p(x) seja o quadrado de q(x). Então q(x) terá de ser um polinómio do º grau tal que: ( ) ( )( ) 4 3 ax + bx + c ax + bx + c = x 6x + 11x 6x ax + bx + c = x 6x + 11x 6x a x + abx + acx + abx + b x + bcx + acx + bcx + c = x 6x + 11x 6x + 1 ( ) a x + abx + ac + b x + bcx + c = x 6x + 11x 6x + 1 a = 1 ab = 6 a= 1 a = 1 ac + b = 11 b = 3 b = 3 bc = 6 = c 1 c = 1 c = 1 Resolvamos a equação p(x) = 0. ( ) ( ) p x = 0 x 3x+ 1 = 0 x 3x+ 1= 0 Então ( ) ( ) q x = x 3x+ 1 q x = x + 3x 1 ± + x = x = Professora Rosa Canelas 7 Ano lectivo 006/007

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