A origem das fórmulas das áreas de Figuras Planas

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1 A origem das fórmulas das áreas de Figuras Planas Dentro da geometria quando nos é requerido o cálculo que envolve a área de uma figura plana, primeiro é preciso reconhecer qual a figura estamos trabalhando e depois lembrarmos da fórmula de sua área, sabendo que cada uma delas possui uma fórmula específica para chegar ao resultado. Mas muitas das vezes o que não sabemos ou não é nos passado que várias destas possuem uma relação entre elas. Veremos agora, então, a origem da fórmula de cada uma das fórmulas das áreas das figuras planas para podermos assimilar melhor na hora da resolução de um problema. I. Retângulo Para a demonstração da área do retângulo, iremos antes considerar um quadrado com lado valendo 1 (uma) unidade de área. Essa unidade pode ser o centímetro, decímetro, metro, quilômetro,... No retângulo a seguir o segmento horizontal divide o retângulo ao meio e os seguimentos verticais dividem esse retângulo em oito quadrados sendo que cada um deles possui 1 unidade de área. Assim a área total do retângulo é a soma das áreas dos oito quadrados que o forma. Logo a área deste retângulo vale 8 unidades de área. Mas observe que sua largura é composta por quadrados e seu comprimento por 4 quadrados e ao efetuarmos a multiplicação de por 4 obtemos o resultado 8 ( x 4 = 8). Podemos concluir, então, que a área de um retângulo pode ser encontrada ao multiplicarmos o comprimento pela largura, ou base pela altura. A = comprimento. largura ou A = base. altura 1

2 II. Quadrado O quadrado é um caso específico de um retângulo que possui comprimento e largura iguais, logo a área pode ser obtida pela multiplicação do seu comprimento por ele mesmo, como o comprimento é um dos lados do quadrado, dizemos que a área do quadrado é dada pelo quadrado da medida do lado, assim: Veja a demonstração: A = lado. lado = (lado) = l Observe que o quadrado maior é formado por quadrados menores no comprimento e na largura, logo a área vale x = = 4 unidades de área. III. Triângulo Para a demonstração da área do triângulo temos que pensar primeiramente em um retângulo qualquer. Sabemos que sua área é dada por (comprimento x largura) ou (base x altura), ou seja, A = b x h.

3 Tracemos uma das diagonais deste retângulo: Observe que este retângulo ficou dividido em duas partes iguais, ou seja, em duas figuras de mesma área, mas repare também que cada uma destas figuras possui formato triangular: Logo podemos dizer que a área de cada uma delas vale a metade da área do retângulo que as originaram, assim a área do triângulo é dada pela metade da área de um retângulo. A = base. altura Esta demonstração é válida para qualquer triângulo. = b. h 3

4 IV. Paralelogramo Observe o paralelogramo a seguir: Tracemos um segmento vertical a partir de um dos seus vértices superiores, tal que este segmento coincida com sua altura: Repare que se destacarmos a região menor formada a partir da divisão da figura e a realocarmos do outro lado formaremos um retângulo: Podemos concluir que a área de um paralelogramo coincide com a área de um retângulo, logo a fórmula da área de um paralelogramo pode ser dada por: A = base. altura = b. h 4

5 V. Losango Seja o Losango ABCD com suas diagonais AC (Diagonal Maior = D) e BD (diagonal menor = d): Traçaremos paralelas às diagonais pelos vértices, formando o retângulo MNOP, cuja a área vale o dobro do losango ABCD: 5

6 A área colorida é igual a área em branco (área do losango). Observe que os lados do retângulo possuem a mesma medida das diagonais; PO = AC = D e MP = BD = d Assim a área do losango pode ser dada pela metade do produto entre suas diagonais: A = D. d VI. Trapézio Seja o trapézio ABCD, de base maior CD (que chamaremos de B), base menor AB (que chamaremos de b) e altura h: 6

7 Traçando a diagonal AC dividimos o trapézio em dois triângulos: ABC e ACD A área do triângulo ABC é dada por: A = b.h A área do triângulo ACD é dada por: A = B.h A área do trapézio é a soma das áreas dos dois triângulos: A = b. h + B. h b. h + B. h = (b + B). h A = (colocando h em evidência) Logo, concluímos que a área do trapézio é a metade do produto da soma do comprimento de suas bases pelo comprimento de sua altura. VII. Polígonos regulares Um polígono regular é aquele que possui todos os seus lados congruentes e todos os ângulos congruentes. Existem os polígonos de 5 lados chamados de pentágonos, os de 6 lados, chamados de hexágonos, os de 7 lados são os heptágonos... Veja alguns exemplos: Pentágono Hexágono 7

8 Para encontrar sua área é preciso conhecer o seu perímetro (soma de todos os seus lados) e o seu apótema (segmento que parte do centro do polígono e que vai até um de seus lados). Demonstrando: Observe que cada polígono regular de n-lados pode ser dividido em n-triângulos. A área de cada l. a triângulo é dada por A = (o apótema coincide com a altura década triângulo). Assim a área do polígono é dada por: l. a A = n. = n. l. a (como n. l = perímetro) A = perímetro. apótema ou ainda A = semi perímetro. apótema 8