Áreas parte 1. Rodrigo Lucio Silva Isabelle Araújo

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1 Áreas parte 1 Rodrigo Lucio Silva Isabelle Araújo

2 Introdução Desde os egípcios, que procuravam medir e demarcar suas terras, até hoje, quando topógrafos, engenheiros e arquitetos fazem seus mapeamentos e plantas, o cálculo de áreas tem sido uma preocupação constante na história da Matemática. Na aula de hoje você aprenderá como resolver problemas envolvendo áreas. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

3 Área do Retângulo Tomando como unidade de área o quadrado de 1cm², observamos que cabem 1 desses quadrados no retângulo ao lado. Logo, a área do retângulo é 1cm². 1 cm 1cm² 1 cm 3 cm 4 cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

4 Área do Retângulo Por outro lado, se multiplicarmos a medida do comprimento do retângulo pela medida da sua largura, obtemos o mesmo resultado. 4 cm. 3 cm = 1 cm² Portanto, a área da superfície de um retângulo é igual ao produto das medidas da base b e da altura h. A h. A retângulo = b. h b Em que: b e h são números reais positivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

5 Área do Quadrado Particularmente, para o quadrado de lado a, ou seja, b = a e h = a, temos : A a A quadrado = a. a ou A quadrado = a² Em que: a é um número real positivo.. a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

6 Exercício O comprimento de um terreno retangular tem 8 m a mais do que a frente. Sabendo-se que o perímetro desse terreno é de 11 m, determine: a) As dimensões desse terreno. b) A área desse terreno. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6

7 Resolução Fazemos um esboço do terreno e suas dimensões Como o perímetro de um polígono plano é a soma das medidas de todos os seus lados, somamos seus lados e igualamos ao perímetro fornecido pela questão, que é 11. x + 8 x x x + 8 ( x 8) ( x 8) x x 11 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

8 Resolução ( x 4x 4x 8) ( x 11 x 8) x x 11 x x = 4 = 4 a) Substituímos o valor encontrado 14 para x nas dimensões do retângulo. Verificamos que o terreno mede 14 m de frente e 4 m de comprimento. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

9 Resolução b) Sabemos as dimensões do retângulo e queremos saber sua área. Vimos que a área do retângulo é dada pelo produto das medidas da base e da altura, no caso, a base e a altura valem, respectivamente, 14 m e 4 m. Logo: A 14m.4m 588m² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

10 Exercício (UFF-RJ) Num terreno retangular com 104 m² de área, deseja-se construir um jardim, também retangular, medindo 9 m por 4 m, contornado por uma calçada de largura L, como indica a figura. Calcule o valor de L. CALÇADA JARDIM UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 10 L L

11 Resolução De acordo com as medidas fornecidas do jardim, sabemos que a área do terreno pode ser escrita em função de L da seguinte forma: 9 L 9 A 4 ( 9 L).(4 L) A = Largura x Altura L L 4 L UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 11

12 Resolução Como a questão nos fornece o valor da área total, igualamos esse valor dado à equação que montamos anteriormente para determinar L: A (9 9(4) L L).(4 18L 9(L) 6L L² L) 8L 4L² L² 104 L(4) 4L² 68 13L L(L) 6L 34 4L² 0 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 1

13 Resolução Resolvemos a equação de segundo grau e acharemos possíveis valores para L: L² 13L 13² ()( 34) L' () L'' () ,5 4 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 13

14 Resolução Depois de resolvermos a equação, achamos e -8,5 como possíveis valores para L, porém, o valor L é referente a medida, dimensão, e como não existem medidas negativas, desconsideramos o valor de -8,5. Então, o valor de L é de m. L' L'' () () ,5 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

15 Área do Paralelogramo Cortando um pedaço do paralelogramo, podemos encaixá-lo do outro lado, transformando-o num retângulo. Veja: h b Então, podemos definir que a área do paralelogramo é igual à área do retângulo: A paralelogramo = b. h Em que: b e h são números reais positivos. h UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 15 b

16 Área do Triângulo Toda região triangular é metade da região limitada por um paralelogramo de mesma base e altura. Como dividimos um paralelogramo em dois h triângulos iguais, a área b de cada um dos triângulos b. h é igual à metade da área A triângulo = do paralelogramo: Em que: b e h são números reais positivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 16

17 Exercício A vela de um barco tem a forma triangular, com 4m de base e 5 m de altura. Osmar quer pintar 35% dessa vela de azul, 5% de verde e o restante de branco. a) Qual a área da parte azul? b) Qual a área da parte verde? E da branca? UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 17

18 Resolução Sabemos que a área do triângulo é a metade do produto da base pela altura. Como temos esses valores, apenas aplicamos a definição: a) b. h A 10m² Como 35% dessa área será pintada de azul, multiplicamos 35/100 pelo valor da área total para saber a área azul que será pintada: A azul.10 3,5m² A área pintada de azul será 3,5 m². UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 18

19 Resolução b) 5% da vela será pintada de verde, então: 5 50 A verde.10,5m² A área pintada de verde será,5 m². Já foi pintada 60% da área da vela (35% de azul e 5% de verde). Como o restante será pintado de branco, esse restante será de 40% da área da vela (100% 60%): A branco m² A área pintada de branco será 4 m². UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 19

20 Exercício Para decorar seu quarto, Carol preparou bandeirinhas de papel. A partir do modelo abaixo, ela fez 40 bandeirinhas. Qual a área total de papel utilizado para fazer toda essa decoração no quarto dela? 4 cm 4 cm 4 cm UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 0

21 Resolução Para calcular a área total, achamos a área de uma bandeira, e depois multiplicamos pelo numero n de bandeiras. 4 cm 4 cm 4 cm 4² cm Aplicamos o teorema de 4 cm Pitágoras para achar a altura h do triângulo. ² h² 16 4 h² 1 h² h 1 h 3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 1

22 Resolução 4 cm cm 3 cm Agora acharemos a área da metade de uma bandeira, já que temos sua base e altura: A. 3 3cm² Como achamos a metade da área de uma bandeira, a área da bandeira será o dobro dessa área: A bandeira. A cm² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS

23 Resolução Achamos a área de uma bandeira, a área total será o número de bandeiras multiplicado por essa área. Como o número de bandeiras é 40, multiplicamos esse valor pela área de uma bandeira e acharemos a área total: A total 40. A cm² bandeira A área total de papel necessário para Carol fazer suas bandeirinhas foi cm². UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

24 Áreas Podemos, também, decompor uma figura plana em regiões cujas áreas já sabemos calcular. Assim, a área dessa figura será a soma das áreas das regiões em que a figura foi decomposta. Veremos exemplos a seguir! UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4

25 Área do trapézio Trapézio é todo quadrilátero com apenas um par de lados paralelos, que são suas bases. Vamos decompor a região limitada por um trapézio para encontrar sua área. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 5

26 Área do trapézio Considere um trapézio de bases b, B e altura a (números reais positivos). Primeiro, decompomos a região traçando uma de suas diagonais. Observe que temos agora regiões triangulares: a b a b B a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 6 B

27 Área do trapézio A área de uma região triangular nós já aprendemos a calcular, então temos: A A A A T T T T A 1 A b. a B. a b. a B. a ( b B). a b A a 1 A B Ou seja: A T ( B b) a Em que b, B e a são números reais positivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 7

28 Exercício Determine a área do terreno plano abaixo usando as medidas dadas. 1m 5m 6m 4m 9m 11m UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 8

29 Resolução Modelo matemático: decomposição do terreno em três regiões. 6m 1m Retângulo 4m Trapézio 9m 11m Triângulo Como já sabemos calcular a área destas figuras, temos que: A A A A A A terreno terreno terreno retângulo triângulo 56 (16) trapézio bh ( B b) h ( bh) 5m (9 11) 4 A terreno 17m² UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 9

30 Área do losango D Todo losango pode ser transformado num retângulo equivalente, com altura D e base d/. d/ Assim, a área da região limitada por um losango é dada pela metade do produto das medidas das diagonais. d A losango D. Em que D e d são números reais positivos. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 30

31 Exercício (Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (A r ) e a do losango (A L )? a) ½ b) c) 1/3 d) 4/3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 31

32 Resolução Temos a seguinte figura: D d A partir disso, calculamos a área de cada figura: A r Dd Dd A L Ar Dd A Dd L e, logo a razão A r /A L é: Dd 1 Dd UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 3

33 Exercício (Unicamp-SP) Os vértices de um losango são os pontos médios dos lados de um retângulo. Qual a razão entre a área do retângulo (A r ) e a do losango (A L )? a) ½ b) c) 1/3 d) 4/3 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 33

34 Área de um triângulo equilátero Observe o triângulo de vértices A, B e C com lados medindo l e altura h. A C l l h l B UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 34

35 Área de um triângulo equilátero Nesse caso não sabemos a medida da altura, que deverá ser calculada através do Teorema de Pitágoras. l = h + l l = h + l 4 h = l - l 4 4h = 4l l 4h = 3l h = 3l 4 h = l 3 h l l UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 35

36 Área de um triângulo equilátero De acordo com a medida da altura h calculada, determinaremos a área do triângulo equilátero com base na seguinte fórmula: A = b. h A = l. A = l 4 3 l 3 A = l 3 A = l 3. 1 UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 36

37 Área de um hexágono regular Um hexágono regular é formado por seis regiões triangulares equiláteras. Como a área de uma região triangular equilátera é dada por: A triânguloequilátero l² 3 4 A área do hexágono é dada por: A hexágono 6 Ou seja: l² 3 6l² A hexágono 3l ² 3 Em que l é um número real positivo. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 37

38 Área de um polígono regular Um polígono regular é aquele que tem todos os lados e todos os ângulos internos congruentes. Ele pode sempre ser inscrito em uma circunferência. Exemplos: Triângulo equilátero Quadrado Pentágono regular Polígono regular de 3 lados Polígono regular de 4 lados Polígono regular de 5 lados UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 38

39 Área de um polígono regular Pode-se perceber que se o polígono regular tem n lados, a região limitada por ele pode ser decomposta em n regiões limitadas por triângulos isósceles. Em cada um desses triângulos, a base é o lado (l ) e a altura é o apótema (a). Logo: Em que l : lado a: apótema A n la n: número de lados, (valores reais positivos). UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 39 A O l a B

40 Exercício Na figura, ABCD é um quadrado de lado a. Tomando-se E e G nos prolongamentos da diagonal AC e F e H nos prolongamentos da diagonal BD, com EA=AC=CG e FB=BD=DH, determine a área do octógono AFBGCHDE em função de a. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 40

41 Resolução Podemos perceber que o octógono é formado por 4 triângulos congruentes: Logo, a área total equivale a soma das áreas de cada triângulo. Sendo assim, vamos encontrar as medidas, calcular a área de um triângulo e multiplicar por 4. UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 41

42 Resolução x Primeiro considere o triângulo isósceles (hachurado), de medidas a, x e x. a. x E note que o valor de x corresponde a base dos triângulos maiores. Portanto, vamos calcular o valor de x (em função de a), aplicando o teorema de Pitágoras: a x x a x x a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 4 x a

43 Resolução 3x Sabendo o valor de x, podemos verificar as demais medidas dos triângulos maiores. x Para descobrir a altura do triângulo, voltamos para o enunciado da questão, que diz que DB=DH, por exemplo. Logo a altura do triângulo é o triplo de sua base. x x UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 43

44 Resolução Como x a, a base do triângulo é igual a e a altura é. 3a a 3a Por fim a área de cada triângulo é dada por: a 3a 3a Base altura 3a Atriângulo 4 a E a área do octógono: A total 4 3a 4 3a UNIVERSIDADE FEDERAL DE ALAGOAS 44

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