O uso de letras na linguagem matemática

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1 O uso de letras na linguagem matemática Vimos que a linguagem matemática utiliza letras para representar propriedades, como por exemplo a propriedade distributiva: a(b + c) = ab + ac De fato as letras a, b e c representam quaisquer números reais. A linguagem matemática também caracteriza situações gerais, como por exemplo: A soma de dois números é igual a cinco. a + b = Em geral, a letra minúscula recebe o nome de variável e é muito útil na formulação e resolução de problemas. Uma variável representa um número ou uma grandeza. Considere o seguinte problema: A soma de dois números consecutivos é igual a treze. Quem são esses números? O primeiro passo na resolução do problema consiste em determinar quem são as variáveis. Ou seja, o que se quer determinar de fato. Temos duas variáveis: x = um número y = o outro número O segundo passo consiste em identificar as hipóteses do problema. (i) Os números são consecutivos, ou seja, Se x é um número, então y = x + 1 é o seu número consecutivo 1

2 (ii) Sua soma é igual a treze: x + (x + 1) = 13 E finalmente resolvemos o problema, partindo de nossas hipóteses, Então os números são: x + (x + 1) = 13 x + x + 1 = 13 2x + 1 = 13 2x = x = 12 x = 12 2 x = 6 x = 6 e y = x + 1 = y = 7 Exemplo Ao vender um imóvel, um corretor ganhou de comissão % do valor da venda, recebendo R$2.00, 00. Qual foi o valor da venda? Identificando as variáveis envolvidas: Identificando as hipóteses: Resolução x = valor da venda do imóvel 2.00 é representado por % dex, ou seja, 200 = 100 x 200 = 100 x 100 x = 200 x = x = x = Então o valor da venda foi = reais. 2

3 As Equações de Primeiro Grau Uma equação de primeiro grau em uma variável é uma equação que contém somente uma variável e a variável tem expoente 1. Portanto, 2x + = 9 é uma equação de primeiro grau em uma variável e x 2 + = 9 não é. Vimos anteriormente que existem problemas que conduzem naturalmente à equações de primeiro grau. Vejamos os exemplos a seguir. (a) O dobro de um número é igual ao quintuplo do mesmo número decrescido de 81. Encontre o número. 2x = x 81 2x x = 81 3x = 81 ( 1) 3x = 81 x = 81 3 x = 27 O número corresponde ao número 27 (b) Três vezes um número decrescido por 8 é igual ao número aumentado de 12. Encontre o número. 3x 8 = x x 8 x = 12 3x x = x = 20 x = 20 2 x = 10 O número corresponde ao número 10 Resolvendo equações contendo uma fração ou frações tendo o mesmo denominador Resolva a equação: (a) x 3 + = 2x 3

4 Primeiramente precisamos eliminar a fração. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador da fração, que é o número 3. E depois resolvemos a equação resultante. ( ) x = 3 2x Resolva a equação. x + 1 = 6x x 6x = 1 x = 1 ( 1) x = 1 x = 1 x = 3 (b) x + 6 = 7x Primeiramente precisamos eliminar a fração. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo denominador da fração, que é o número. E depois resolvemos a equação resultante. ( x + 6 ) = ( x + 30 = 7x x 7x = 30 ) 7x 6x = 30 ( 1) 6x = 30 x = 30 6 x = Resolvendo equações contendo fraçẽos com denominadores diferentes: o menor denominador comum O menor denominador comum de duas ou mais frações é o menor número divisível pelos denominadores. 4

5 Portanto, na equação x 3 = 7 temos que o menor denominador comum é 4 o número 12; pois é o menor número divisível por 2, 3 e 4. Resolva a equação. (a) x 2 + x 3 = 20 Primeiramente precisamos eliminar a fração. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo menor denominador comum, que é o número 6. E depois resolvemos a equação resultante. Resolva a equação: (b) 10 x = 2 3x 1 3 ( ) x x 3 = x + 2x = 120 x = 120 x = 24 Primeiramente precisamos eliminar a fração. Para isso, multiplicamos ambos os lados da equação pelo menor denominador comum, que é 3x. E depois resolvemos a equação resultante. 3x Polinômios ( ) 10 x ( ) 2 = 3x 3x = 2 x x = 2 30 x = Um polinômio é uma expressão algébrica da forma: a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, onde n é um número inteiro não negativo. E a n é chamado o coeficiente líder; a 0 é uma constante.

6 Dizemos que um termo é um número, variável ou produto de um número e variávei(s). Como exemplo de termos podemos citar os seguintes: 3x, y 3, 2ab, z Cada número ou variável multiplicados é um fator do termo. Por exemplo, o termo xy consiste de três fatores:, x e y. Temos que polinômio é uma soma finita de termos onde os expoentes das variáveis são inteiros não-negativos. Observe que os termos são separados por + ou. Exemplo de polinômio = 3x 4 + x 2 + x 6 Uma expressão consiste de um ou mais termos. As expressões podem ser monônios ou polinômios. 1. Um monômio é uma expressão de um termo. 2. Um polinômio é uma expressão de dois ou mais termos. (a) Um binômio é um polinômio de dois termos. (b) Um trinômio é um polinômio de três termos. Combinando termos em comum Os termos comuns são os termos que têm exatamente as mesmas variáveis elevadas a exatamente os mesmos expoentes. Por exemplo, os termos 3x 2 e x 2 são termos em comum. Podemos citar também ab 2 e 4ab 2 como termos comuns. De fato podemos combinar somente os termos que são comuns, agrupando-os. Realize a operação indicada e simplifique: (10x 2 7x+)+(2x 2 +2x 1) (10x 2 7x + ) + (2x 2 + 2x 1) = 10x 2 7x + + 2x 2 + 2x 1 = (10x 2 + 2x 2 ) + ( 7x + 2x) + ( 1) = 12x 2 x 10 Realize a operação indicada e simplifique: (10x 2 7x+)+(2x 2 +2x 1) (3x y + 7x 3 y 10xy) ( x y + 10x 3 y + 10xy) = (3x y + 7x 3 y 10xy) + x y 10x 3 y 10x = (3x y + x y) + (7x 3 10x 3 ) + ( 10xy 10 = 8x 3x 3 y 20xy 6

7 Multiplicação de Polinômios Encontre os produtos: (a) 7 x 7 x = 3x (b) 4 (3a) (10b) 4 (3a) (10b) = a b = 120ab (c) (2ab)(3ac)(4ad) (2ab)(3ac)(4ad) = a a a b c d = 24a 3 bcd Ao multiplicar polinômios, nós usamos a propriedade distributiva. Em outras palavras, para encontrar o produto de um polinômio por outro polinômio, multiplicamos o polinômio por todos os termos do outro polinômio. Encontre o produto de dois fatores, um monômio e um polinômio. (a) 7x(x 2) 7x(x 2) = 7x 2 7 ( 2) = 7x (b) a(x y + 1) a(x y + 1) = ax ay a Encontre o produto dos dois polinômios: (d) (x 2 3x + )(x 2) (x 2 3x + )(x 2) = (x 2 (x) + x 2 ( 2)) + ( 3x(x) 3x( 2)) + (x) + ( 2) = x 2+1 2x 2 1x x + 2x 10 = x 3 2x 2 1x 2 + 6x + 2x 10 = x 3 17x x 10 7

8 Reduzindo Frações aos menores termos Uma fração é reduzida aos menores termos quando seu numerador e seu denominador não têm fatores em comum, exceto o número 1. Portanto, 3x não está 7x reduzida porque x é um fator comum ao numerador e ao denominador. Depois que x é eliminado por divisão, a fração resultante 3 está nos menores termos. 7 Exemplos: (a) 24x 2 3x = 24/ x2 x 1 3/ = 8x 2 1 = 8x (b) 9x 2 y 36xy 2 9xy = 9x2 y 9xy 36xy2 9xy = x + 4y 8

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