MATERIAL DE PROJETOS I

Transcrição

1 UNIVERSIDADE NOVE DE JULHO UNINOVE MATERIAL DE PROJETOS I PROF RENATA RIVAS 0. - TECNOLOGIAS

2 ) Conjuntos Numéricos.Conjunto dos números Naturais (N) IN = { 0,,,,4,5,... } Um subconjunto importante de IN é o conjunto IN*:,,,4,5,6,... o zero foi excluído do conjunto IN. IN* = { }..Conjunto dos números Inteiros (Z)...,,,0,,,,4,... Z = { } Além do conjunto IN, convém destacar os seguintes subconjuntos de Z: Z* = Z - { 0 } Z + = conjunto dos números inteiros não-negativos = { 0,,,,4,... } Z = conjunto dos números inteiros não-positivos = { 0,,,, 4,... } Observe que Z + = IN..Conjunto dos números Racionais(Q) Vamos acrescentar as frações positivas e negativas aos números inteiros e teremos os Números racionais. 5 Então: -,, -, -, 0,,,, por exemplo, são números racionais. 4 5 É interessante considerar a representação decimal de um número racional b a, que se obtém dividindo-se a por b: 5 75 = 0,5 - = -,5 =, Estes exemplos se referem às decimais exatas ou finitas. 7 6 = 0,... =, = 0, Estes exemplos se referem às decimais periódicas ou infinitas. Então, toda decimal exata ou periódica pode ser representada na forma de número racional b a. 0,5 = 0 5 = 0,...= 9 =.4.Conjunto dos números Irracionais(I) Consideremos por exemplo, os números e, e vamos determinar sua representação decimal: =, =, Observamos então, que existem decimais infinitas não periódicas, às quais damos o nome de números irracionais que não podem ser escritos na forma b a..5.conjunto dos números Reais(R) Dados Q e { irracionai s}, define-se o conjunto dos números reais como:

3 IR= Q U { irracionai s} = { x x é racional ou x é irracional } Assim, os números reais: Os números naturais, Os números inteiros, Os números racionais, Os números irracionais Como subconjuntos importantes de IR, temos: IR* = IR - { 0 } IR + = conjunto dos números reais positivos. IR = conjunto dos números reais negativos. Racionais Irracionais Inteiros Naturais ) Operações com os conjuntos numéricos.. Operações com números inteiros.. Expressões Numéricas As expressões numéricas são expressões matemáticas que envolvem numeros. Devemos lembrar de que existe uma ordem para resolvermos qualquer expressão numérica. Resumidamente: º Parênteses º Colchetes º Chaves 4º Potencia ou Raiz 5º Multiplicação e divisão 6º Soma e Subtração Veja o exemplo: {[6+(9/).(++4 )-7 0.(40:8-)]/}- {[6+.(4+6)-.(5-)]/}- {[6+.0-.]/}- {[6+60-]/}- {64/} Expressões Algébricas São expressões que apresentam números no lugar de letras..operações com Números Racionais.. Expressões Numéricas e Algébricas... Soma e Subtração

4 Quando as frações apresentam denominadores iguais, manteremos o denominador e somaremos ou subtrairemos o numerador 5 Exemplo: + = = Existem casos que os denominadores serão diferentes e com isto teremos que tirar o MMC(mínimo divisor comum) do denominador, que dividira o denominador e multiplicara o numerador Exemplo: + = = 5; ; 5; 5 ; 0 Quando tivermos um numero inteiro e um racional temos que lembrar que o denominador de um numero inteiro é sempre um, e com isto utilizamos a mesma técnica.... Multiplicação Para multiplicarmos números racionais devemos multiplicar o numerador com o numerador e o denominador com o denominador, lembrando que se tiver um numero inteiro o denominador dele corresponde a. 6 5 Exemplo: x = 5 5 x = =..4. Divisão Na divisão, multiplicamos o primeiro número pelo inverso do segundo, observe: Exemplo: : = x = = : = x = 5 5 5

5 . POTENCIAÇÃO.. Expoente inteiro maior do que a n = a. a. a... a n fatores =.. = 8 (- 7) = (- 7). (- 7) = 49-7 = - 49 (0,) = (0,). (0,). (0,) = 0,00 4 =... = =-49 Observação: Quando a base é negativa, o sinal da potência pode ser: - Positivo, se o expoente for par; - negativo, se o expoente for ímpar. (- ) = (- ). (- ) = 9 (-) = (-). (- ). (-) = - 8. Expoente inteiro negativo a -n = _ a n Sendo a um número real não-nulo e n um número inteiro. = _ = _ 4 ( - ) 4 = = _ (- ) 4 8 = =.. Expoente Zero a 0 = Sendo a um número real não-nulo. (0,65) 0 = 0 = 4

6 .4. Expoente a = a (0,5) = 0,5 (-,6) = -,6 5 5 = 8 8 (0,666...) = 0, Propriedades da potenciação.5. Produto de potências de mesma base (). () = () + = () 5 = () -. () 5 = () -+5 = () 4 = 6 () 7.() -5 = () 7+(-5) = () 7-5 = () =4 ().() - =() +(-) = - = ½ a m. a n = a m+n.5.divisão de potências de mesma base ( a 0 ) a m : a n = a m - n () 6 : () = () 6 = () 4 = 6 () : () 6 = () -6 =() -4 = ( ) 6 4 = () : () - = () ( - ) = () + = () 6 = Potência de potência [() ] = (). = () 6 =64 = 5 5 ( - ) - =() -.(-) = =4.( ) = 5 (a m ) n = a m. n 5 = 5 = = Distributiva da potenciação em relação à multiplicação

7 ( a. b ) m = a m. b m (. 5 ) = = Distributiva da potenciação em relação à divisão (b 0 ) ( a : b ) m = a m : b m ( 8 : ) = 8 : 4 4. = 6. 6 CUIDADO!!! a m + a n a m + n a m - a n a m n m ( ) n n m a a (a + b) n a n + b n (a b) n a n - b n

8 4.RADICIAÇÃO Define-se como raiz enésima de um número a expressão n a, onde dizemos que n é o índice da raiz e a o radicando(base). Só existirá o valor numérico da raiz quando satisfizer a relação: n m a = a m n Consideremos as igualdades: 4 = 8 = 5 = = = = = 8 = -, pois (-). (-). (-) = (-) = -8 = -, pois (-). (-). (-). (-). (-) = (-) 5 = - Dizemos que as expressões 5, 8, 4 8 e 5 representam respectivamente, a raiz quadrada de 4, a raiz quadrada de, a raiz quadrada de 8, a raiz cúbica de -8 e a raiz quinta de. 4.. Extração de valores inteiros da raiz:. Quando o índice da raiz é igual ao expoente da base; Resposta: será a própria base; Exemplo: 4 = = = =. Quando o índice da raiz for maior que o expoente da base; Resposta: não dará para extrair valor inteiro da raiz; Exemplo: = =. Quando o índice da raiz for menor que o expoente da base; Resposta: transformar o expoente da base em partes iguais ao índice (utilizando regra de potenciação). Exemplo: 8 = =. = 4.. Propriedades e Operações dos radicais 4.. n m a = = = 5 n. m 5 x = 5 x a 4.. n a. b = n a. n b 6. 4 = 6. 4 = 64 = 8

9 6. 4 = 4. x = 4. 4 y = 4. = 8 x. y = xy 6 9 a b c = a 6. b 9. c = a a. b b b. c = = a. a. b. b. b. c = = a.a.b.b.b.c = a b c 4.. Adição e subtração algébrica de radicais: serão efetuadas as operações quando os radicais forem iguais, devendo ser somados ou subtraídos somente os fatores externos aos radicais: n b + c n b = (a+c). n b + = (+). = 4-5 = ( 5). = x y + x y - 6 x y = x y + x y - x y 4 = = x y + x y -4x y = (x+x-4x) y = x y Obs: Não se define as operações de soma e subtração de radicais de índices diferentes, ficando apenas indicada a sua soma. Ex.: Multiplicação e Divisão de radicais: a) Mesmo índice: n a. n b = n n n a = n b b a a. b. =. = = 0 = 0. = 0. = 0 5 a b. 5 b 6 6 = = 96 = a = 5 a. a. b. b = 5 a 5 b = a 5 b 96 = 48 = 4. =.. = 6 b) Índices diferentes: quando ocorre estas operações envolvendo radicais com índices diferentes, devemos efetuar o m.m.c. entre os índices e aplicá-los aos expoentes dos radicandos de cada radical, por exemplo: 5. Índices: e m.m.c (,) = 6, dividimos o m.m.c. pelo índice e multiplicamos pelo expoente o radical, encontrando assim radicais equivalentes, de índice comum aos iniciais: Assim teremos: 5. = = 6 5. = = 6 500

10 . 5 = = 5 5. = = = = 0 5 = = = 6 = = Potenciação de Radicais: Ao elevarmos um radical de índice n a uma potência m, subentende-se que a potência m deve ser Aplicada somente ao radicando, permanecendo o índice com seu valor n. ( n a ) m = n a m ( 0 ) = 0 = 0 ( 7 ) 4 = 7 4 = 7. 7 = = 4..6.Simplificação n m a = n : p m: p a = 5 = 5 =. 6 6 = 6 4 = 6: 4: = = a = 0: a 6: = 5 a (xy = 5: 5 0: 5 (xy) = 5 4 (xy) 5 0 ) = Introduzindo um fator externo ao radical: quando introduzimos um fator externo para dentro do radical, devemos elevar esse fator ao expoente (índice) n e multiplicá-lo pelo radicando: a. n b = n a n b =. = 8. = 4 4 = 4 4. = 4 8. = 4 6 x y =. x. y = 8x y

11 5. EXPRESSÕES ALGÉBRICAS São expressões matemáticas que apresentam letras e podem conter números. São também denominadas expressões literais. Exemplos A = a + 7b B = (c + 4) 5 C = c + 4 As letras nas expressões são chamadas variáveis o que significa que o valor de cada letra pode ser substituída por um valor numérico. 5..Prioridades Nas operações em uma expressão algébrica, devemos obedecer a seguinte ordem: Potenciação ou radiciação / Multiplicação ou divisão / Adição ou subtração Antes de cada uma das três operações citadas anteriormente, deve-se realizar a operação que estiver dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. Muitas vezes devemos utilizar parênteses quando substituímos variáveis por valores negativos. Consideremos P=A+0 e tomemos A=5. Assim P = (5) + 0 P = P = 0 Aqui A é a variável da expressão, 5 é o valor numérico da variável e 0 é o valor numérico da expressão indicada por P. Observe que ao mudar o valor de A para 9, teremos: P = (9) + 0 P = P = 8 Quando A=9, o valor numérico de P=A+0 é igual a Operações Algébricas 5.. Adição e Subtração Podemos subtrair ou adicionar termos que sejam semelhantes. Ex: 7xy xy + 5xy. Os termos xy são semelhantes, portanto basta adicionar ou subtrair a parte numérica e conservar a parte literal. Solução: (7-+5).xy = xy. OBS: Quando a expressão algébrica tiver sinais de associação e for precedido por um sinal negativo, devemos trocar todos os sinais de dentro dos parênteses, colchetes ou chaves. Ex: a) 8x + ( -5x) = 8x 5x = x b) 7x ( 4x 5) = 7x 4x + 5 = x Multiplicação de monômio por polinômios Multiplicamos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: 4a. ( a x ) Propriedade distributiva 8 a ax

12 5.. Multiplicação de polinômio por polinômio Devemos multiplicar cada termo do polinômio por todos os termos do outro polinômio e a seguir reduzimos a termos semelhantes através das operações de adição e subtração. Ex: (x+).(4x-5) Propriedade distributiva 8x 0x + x 5 (Reduzindo a termos semelhantes) 8x + x Divisão de polinômio por monômio Dividimos cada termo do polinômio pelo monômio. Ex: (5x 4x ) : (- 5x) 5x 4x 5x 5x = 4x x + 5

13 6. PRODUTOS NOTÁVEIS 6.. Quadrado da Soma de Dois Termos: ( a + b ) = ( a + b ).( a + b ) = a + a. b + b. a + b = a + a. b + a. b + b = a +. a. b + b O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. ( a + b ) = a + ab + b (x + y) = x + xy + y a a + b ) = 5 5 a a +.. b + (b) = ab + 9b Quadrado da Diferença de Dois Termos: ( a - b ) = ( a - b ).( a - b ) = a - a. b - b. a + b = a - a. b - a. b + b = a -. a. b + b O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo. ( a - b ) = a - ab + b ( c d ) = c cd + d a - b ) = a a a -.. b + (b ) = 9-4ab + 4b Produto da Soma pela Diferença: ( a + b ). ( a - b ) = a - a. b + a. b - b = a - b O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. (bx + 5). (bx 5) = (bx) 5 = b x 5 k + ). k k - ) = 4 k - = 9 - ( a + b ). ( a - b ) = a - b

14 7. FATORAÇÃO Fatorar um número: significa decompor esse número em um produto de números primos(números que possuem apenas dois divisores distintos: o próprio número e o número um). a) Fatorar o número 60 b) Fatorar o número = = 5.5 Fatorar uma expressão algébric:a significa escrevê-la como uma multiplicação de duas ou mais expressões algébricas, quando for possível. Vamos considerar três situações envolvendo fatoração de termos algébricos. No entanto é importante observar que esses procedimentos representam o caminho inverso da obtenção do produto de expressões algébricas. As situações Fator comum em evidência Agrupamentos sucessivos Produtos notáveis 7.. Fator Comum em evidência Esse caso é aplicado a expressões algébricas que possuem fatores comuns a todos os termos. Assim dizemos que fatorar a expressão é colocar o fator comum em evidência. Vamos procurar o fator comum para a parte numérica e para a parte literal dos exemplos. a) 8x+4xy Parte numérica: 8= =.. e 4= =., portanto a parte comum é.=4 Parte literal:devemos considerar as letras que são comuns a todos os termos, como menor expoente, portanto a parte comum é x. Assim o fator comum da expressão é 4x. Divide-se cada termo da expressão dada pelo fator comum, obteremos: 4x.(+y) b) x+4y-6z Parte numérica:, 4=. e 6=., portanto a parte comum é Parte literal: x, y e z, portanto não tem fator comum. Logo a forma fatorada da expressão é (x+y-z) c) 7a b -5a b 4 +a b 5 Parte numérica: 7, 5 e, portanto não tem fator comum. Parte literal: a b =a.a.a.b.b, a b 4 =a.a.b.b.b.b e a b 5 =a.a.a.b.b.b.b.b, portanto a parte comum é a b.

15 Logo a forma fatorada é a b (7ª-5b +ab ) 7..Agrupamento Verifique a seqüência utilizada na fatoração de ax+bx+ay+by Agrupamos os termos com fatores comuns: (ax+bx)+(ay+by) Colocamos o fator comum de cada grupo em evidência: x(a+b)+y(a+b) Colocamos o polinômio comum (a+b) em evidência: (a+b). (x+y) Assim temos: ax+bx+ay+by = (a+b). (x+y) a) a-6b+ax-bx=.(a-b)+x(a-b)=(+x).(a-b) b) x +4ax+xy+6ay=x(x+a)+y(x+a)=(x+y).(x+a) 7.. Diferença de dois quadrados Em produtos notáveis, vimos que: (a+b).(a-b)=a -b. Logo podemos escrever que (a+b).(a-b) é a forma fatorada de a -b.que nada mais é, do que extrair a raiz quadrada dos dois termos e fazermos então o produto da soma pela diferença dos resultados. Do mesmo modo podemos fazer: Exemplos : a) a -5=(a+5). (a-5) b) 9a b -4b =(ab+b). (ab-b) c) m 4 -=(m +). (m -) 7.4. Trinômio do quadrado perfeito Vimos em produtos notáveis que: (a-b) = a -ab+b então, temos que (a-b) é a forma fatorada de a -ab+b Para reconhecer um trinômio do quadrado perfeito, proceda da seguinte forma: Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a e b ); Determine as raízes destes quadrados(a e b); Verifique se o terceiro termo é o dobro do produto dessas raízes(ab) Se todos os itens anteriores forem válidos temos um trinômio do quadrado perfeito e assim o resultado da fatoração será o resultado da primeira raiz, o sinal do termo que não tinha raiz exata e o resultado da segunda raiz, tudo isto elevado ao quadrado (a-b). a) 4x +x+9 Verificação:. x. = x x (x+) b) 4m n -4cmn + c Verificação:. mn. c = 4cmn mn c (mn-c)

16 8.Regra de três 8.. Regra de Três Simples 8... Diretamente Proporcionais Regra de três simples é um processo prático para resolver problemas que envolvem 4 valores, dos quais conhecemos deles. Exemplo: 0. Três retroescavadeiras transportam 00 m de areia. Para transportar 600 m de areia, quantas retroescavadeiras iguais a essa seriam necessárias? Quantidade de escavadeiras m 00 x x= x=4800 x=4800/00 x=4 escavadeiras Observe que, se aumenta a quantidade de areia, aumenta a quantidade de escavadeira, podemos afirmar então que as grandezas são diretamente proporcionais, por isto efetuamos a multiplicação em cruz. 0. Vou fazer uma aplicação a juros simples, sabendo que a taxa oferecida é de 4% ao ano. Qual a taxa mensal proporcional a taxa oferecida? Taxa período em meses 4 x x=4. x=4 x=4/ x= % ao mês 0. Dada a tabela referente ao peso de 40 atletas. Peso KG quantidade de atletas % de atletas que tem este peso 4 à á á á á ,5 58 á 60 7,5 Total Temos que: Atletas Porcentagem x 40x=00. 40x=00 x=00/40 x= 5 % e isto foi feito com cada quantidade de atletas Inversamente Proporcional 04. Um trem, rodando a velocidade de 45 Km/h, vai de uma cidade a outra em 8 horas. Em quantas horas percorreria o mesmo trajeto se rodasse a 60 Km/h? Velocidade tempo x 60x= x= 60 x=60/60 x= 6 horas Observe que, se aumenta a velocidade, diminui o tempo, podemos afirmar então que as grandezas são inversamentee proporcionais, por isto efetuamos a multiplicação linha reta.

17 05. Em um estacionamento o preço por dia de permanência é R$ 0,00, a este preço estacionam 50 veiculos. Seo preço cobrado for R$ 5,00 a procura passara a ser de quanto? Veículos preço 50 0 x 5 5x= x= 000 x= 000/5 x= 66,67 = 67 veículos 8. Regra de Três Composta 06. Se para imprimir exemplares 5 rotativas gastam 56 min, em que tempo 7 rotativas, iguais as primeiras, imprimirão desses exemplares? Impressão rotativas minutos x A primeira grandeza em relação a ultima são diretamente proporcionais, enquanto a segunda em relação a ultima são inversamente proporcionais, logo teremos que inverter o valor da segunda fileira, observe: x E assim teremos: = 6500x= x= /6500 x= 60 min ou h e 40min x 07. Quinze operários, trabalhando 9h por dia, construíram 6 m de muro em 6 dias. Em quanto tempo 8 operário farão 60 m do mesmo muro, trabalhando 8h por dia? Operários horas metros dias x Assim teremos: Operários horas metros dias x E o calculo ficara: = 584 x =9600 x = 9600/584 x = 5 dias x 9. PORCENTAGEM O cálculo de porcentagem é uma operação das mais antigas, em termos de cálculos comerciais e financeiros. A expressão por cento é indicada geralmente por meio do sinal %. Quando efetuamos um cálculo de porcentagem, na verdade estamos efetuando um simples cálculo de proporção. Vejamos o exemplo a seguir: Exemplo 0: Qual é a comissão de 0% sobre R$ 800,00? O raciocínio que se deve empregar na solução deste problema é exatamente este: - Se a comissão sobre R$ 00,00 é R$ 0, 00, quanto será sobre R$ 800,00? Neste caso teremos que:

18 00,00 0,00 800,00 X Aplicando a propriedade fundamental das proporções (o produto dos meios é igual ao produto dos extremos), teremos que: 00. X = X = 8000 X = 8000/00 X = R$ 80, Operações com Mercadorias Com base nos conceitos de porcentagem, é possível resolver várias situações que envolvem negociações com mercadorias, ou seja, cálculo do lucro, preço de venda, custo, etc. Para achar a soma de um número qualquer e a sua porcentagem, calculam-se primeiro a porcentagem e, em seguida, adiciona-se esta ao número dado. Exemplo 0: Por quanto se deve vender certa mercadoria que custou R$ 4.6,75, para obter uma rentabilidade (lucro) de 6%? Solução algébrica: 4.6,75 00% X 6% Onde: Lucro = 4.6,75. 6 = 4.760,5 = R$ 47, Então teremos: Lucro = R$ 47,60 Custo da mercadoria = R$ 4.6,75 Preço da venda = R$ 4.74,5 Observe que R$ 4.6,75 representa a parte inteira = 00% ou 00% = ; 00 Observe que R$ 47,60 representa a parte fracionária = 6% ou 6% = 0, Partindo deste raciocínio, teremos que: Preço de venda = parte inteira() + parte fracionária(0,06), ou seja, podemos deduzir que o índice para calcular o preço de venda neste exemplo será:,06.

19 0. EQUAÇÕES Equações são sentenças matemáticas abertas que apresentam o sinal de igualdade. a) x - = a variável (ou incógnita) é x. b) y + 7 = 5 a variável (ou incógnita) é y. A expressão à esquerda do sinal = chama-se º membro. A expressão à direita do sinal = chama-se º membro. c) x = x + 7 x -, é o º membro x + 7, é o º membro O grau de uma equação é definido pelo maior expoente da variável. De acordo com o grau da equação temos maneiras diferentes para encontrar o valor da variável. 0..EQUAÇÕES DO º GRAU Equação de º grau com o conjunto dos números reais, na incógnita X, é toda igualdade do tipo: ax + b = 0 Onde a e b são números reais e a é não nulo. Observe que a equação é de º grau pois a incógnita x tem maior expoente igual a. O valor da incógnita x, chama-se raiz ou solução da equação; é o número que, substituído no lugar do x, transforma a equação numa igualdade numérica. O conjunto formado pelas raízes de uma equação chama-se conjunto solução da equação e será indicado por S. Por exemplo, a solução ou raiz da equação x = 0 é x = 4 (pois. 4 = 0) e seu conjunto solução é então S = {4}. Para a resolução das equações de º grau, proceda da seguinte maneira: - Isole os termos que contêm x de um lado da igualdade e os demais no outro lado; termos que estão somando ou subtraindo passam para o outro lado com a operação contrária da anterior. - Reduza todos os termos com x a um só; - Termos que estão multiplicando ou dividindo a incógnita x passam para o outro lado com a operação contrária da anterior. Importante: Veja a equação x = 5 - Interessa-nos o valor de x e não o valor de x. Então, devemos multiplicar os dois membros da equação por -. - Observe: -x = 5 (-) x = -5-4x + = = x + 5x 9 = x x = 4 + 5x 4x=-9- -x=-5 5x-x=5+9 x-5x=4-4x=-0 -x=- x=4-4x= x=-0/4 x=-/- x=4/ x=/-4 x=-5 x= x=7 x=-0,5

20 5x + (4 x) = 9 (x 6) y 4(y 6) = y 8 5x+4-x=9-x+6 y-y+4=y-8 5x-x+x=9+6-4 y-y-y=-8-4 5x= -y=- x=/5 y=-/- x=, y=, EQUAÇÃO DO º GRAU Equação de º grau com o conjunto dos números reais, na incógnita x, é toda igualdade do tipo: ax² + bx + c = 0 ou redutível a esse tipo onde a, b e c são números reais e a é não nulo. A equação é chamada de º grau devido à incógnita x apresentar maior expoente igual a. Quando b e c não são zeros ( a é sempre não nulo), a equação é chamada completa. Se b = 0 ou c = 0, a equação diz-se incompleta. Podemos observar que a é o valor que multiplica a variável x, b multiplica x e c é o que chamamos de termo independente. Todos os casos podem ser resolvidos utilizando a formula de Baskara, onde teremos: Fórmula de Baskara x = - b ± Δ a onde Δ = b² - 4ac º equação completa x² + 4x 5 = 0 ºequação incompleta x² + 5x = 0 a =, b = 4 e c = -5 a =, b = 5 e c= 0 Δ = b² - 4ac Δ = b² - 4ac Δ= 4-4..(-5) Δ = Δ= 6+60 Δ = 5 Δ=76 x = - b ± Δ= -5± 5 = -5±5 = 0 e -5 x = - b ± Δ = - 4± 76 = -4± 8,7 = 0,79 e -, a. a. 6 º equação incompleta x² - 4 = 0 a=, b=0 e c= -4 Δ = b² - 4ac Δ= 0-4..(-4) Δ= 0+6 Δ=6 x = - b ± Δ = - 0± 6 = ± 4 = e - a.