4 ÁLGEBRA ELEMENTAR. 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações.

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1 4 ÁLGEBRA ELEMENTAR 4.1 Monômios e polinômios: valor numérico e operações Introdução: As expressões algébricas que equacionam os problemas conduzem logicamente à sua solução são denominados polinômios e são formuladas partindo da compreensão do enunciado de cada problema que pretendemos resolver. Pontos Principais: Monômio e polinômio. Equação polinomial na variável x. Valor numérico de um polinômio. Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão Monômio e polinômio. Monômio: expressão algébrica definida apenas pela multiplicação entre o coeficiente e a parte literal. Exemplo: 4x³y², -3x, 2z², xyz. Polinômios: expressão algébrica composta por dois ou mais monômios com a existência de operações entre eles. Exemplo: x³-3x²+5x-2 e 3x + 5. Polinômio é uma expressão algébrica com todos os termos semelhantes reduzidos. Polinômio é um ou mais monômios separados por operações. 3xy é monômio, mas também considerado polinômio, assim pode-se dividir os polinômios em monômios (apenas um monômio), binômio (dois monômios) e trinômio (três monômios). Como os monômios, os polinômios também possuem grau e é assim que eles são separados. Para identificar o seu grau, basta observar o grau do maior monômio, esse será o grau do polinômio. Com os polinômios podemos efetuar todas as operações: adição, subtração, divisão, multiplicação, potenciação Equação polinomial na variável x. Dada a equação: onde a o, a 1, a 2,..., a n são números reais, denominados coeficientes do polinômio. O coeficiente a o é o termo constante. Se os coeficientes são números inteiros, o polinômio é denominado polinômio inteiro em x. Em um polinômio, o termo de mais alto grau que possui um coeficiente não nulo é chamado termo dominante e o coeficiente deste termo é o coeficiente do termo dominante. O grau de um polinômio p=p(x) não nulo, é o expoente de seu termo dominante, que aqui será denotado por gr(p). Acerca do grau de um polinômio, existem várias observações importantes: Um polinômio nulo não tem grau uma vez que não possui termo dominante. Em estudos mais avançados, define-se o grau de um polinômio nulo mas não o faremos aqui. Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 17

2 Se o coeficiente do termo dominante de um polinômio for igual a 1, o polinômio será chamado mônico. Um polinômio pode ser ordenado segundo as suas potências em ordem crescente ou decrescente. Quando existir um ou mais coeficientes nulos, o polinômio será dito incompleto. Se o grau de um polinômio incompleto for n, o número de termos deste polinômio será menor do que n+1. Um polinômio será completo quando possuir todas as potências consecutivas desde o grau mais alto até o termo constante. Se o grau de um polinômio completo for n, o número de termos deste polinômio será exatamente n+1. Considerando que o grau de dois polinômios são: gr(p)=m e gr(q)=n então gr(p.q) = gr(p) + gr(q) e gr(p+q)<max{gr(p),gr(q)} Valor numérico de um polinômio. O valor numérico de um polinômio p=p(x) em x=a é obtido pela substituição de x pelo número a, para obter p(a). Exemplo: O valor numérico de p(x)=2x²+7x-12 para x=3 é dado por: p(3) = 2 (3)² = = 18+9 = Operações básicas: adição, subtração, multiplicação e divisão. a) Igualdade de polinômios Os polinômios p e q em P[x], definidos por: q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ b n x n são iguais se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n: tem-se que a k = b k Teorema: Uma condição necessária e suficiente para que um polinômio inteiro seja identicamente nulo é que todos os seus coeficientes sejam nulos. Assim, um polinômio: será nulo se, e somente se, para todo k=0,1,2,3,...,n: tem-se que a k = 0 O polinômio nulo é denotado por p o =0 em P[x]. O polinômio unidade (identidade para o produto) p 1 =1 em P[x], é o polinômio: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ a n x n Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 18

3 tal que a o = 1 e a k = 0, para todo k=1,2,3,...,n. b) Soma de polinômios Consideremos p e q polinômios em P[x], definidos por: p(x) = a o + a 1 x + a 2 x² + a 3 x³ a n x n q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ b n x n Definimos a soma de p e q, por: (p+q)(x) = (a o +b o )+(a 1 +b 1 )x+(a 2 +b 2 )x²+...+(a n +b n )x n A estrutura matemática (P[x],+) formada pelo conjunto de todos os polinômios com a soma definida acima, possui algumas propriedades: Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p + q) + r = p + (q + r) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p + q = q + p Elemento neutro: Existe um polinômio p o (x)=0 tal que p o + p = p, qualquer que seja p em P[x]. Elemento oposto: Para cada p em P[x], existe outro polinômio q=-p em P[x] tal que p + q = 0 Com estas propriedades, a estrutura (P[x],+) é denominada um grupo comutativo. c) Produto de polinômios Sejam p, q em P[x], dados por: q(x) = b o + b 1 x + b 2 x² + b 3 x³ b n x n Definimos o produto de p e q, como um outro polinômio r em P[x]: r(x) = p(x) q(x) = c o + c 1 x + c 2 x² + c 3 x³ c n x n tal que: c k = a o b k + a 1 b k-1 + a 2 b k-2 + a 3 b k a k-1 b 1 + a k b o para cada c k (k=1,2,3,...,m+n). Observamos que para cada termo da soma que gera c k, a soma do índice de a com o índice de b sempre fornece o mesmo resultado k. A estrutura matemática (P[x], ) formada pelo conjunto de todos os polinômios com o produto definido acima, possui várias propriedades: Associativa: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: (p q) r = p (q r) Comutativa: Quaisquer que sejam p, q em P[x], tem-se que: p q = q p Elemento nulo: Existe um polinômio p o (x)=0 tal que p o p = p o, qualquer que seja p em P[x]. Elemento Identidade: Existe um polinômio p 1 (x)=1 tal que p 1 p = p qualquer que seja p em P[x]. A unidade polinomial é simplesmente denotada por p 1 =1. Existe uma propriedade mista ligando a soma e o produto de polinômios Distributiva: Quaisquer que sejam p, q, r em P[x], tem-se que: p (q + r) = p q + p r Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 19

4 Com as propriedades relacionadas com a soma e o produto, a estrutura matemática (P[x],+, ) é denominada anel comutativo com identidade. Exemplo: Efetue a multiplicação (x + 2).(x + 3). (x + 2).(x + 3) = x.(x + 3) + 2.(x + 3) = x 2 + 3x + 2x + 6 = x 2 + 5x + 6 d) Algoritmo da divisão de polinômios Dados os polinômios p e q em P[x], dizemos que q divide p se existe um polinômio g em P[x] tal que p(x) = g(x) q(x) Se p em P[x] é um polinômio com gr(p)=n e g é um outro polinômio com gr(g)=m<n, então existe um polinômio q em P[x] e um polinômio r em P[x] com gr(r)<gr(g), tal que: p(x) = q(x) g(x) + r(x) Um caso particular importante é quando tomamos g(x)=x-c e Como para todo k=1,2,3,...,n vale a identidade: x k -c k = (x-c)( x k-1 + cx k-2 + c²x k c k-2 x+c k-1 ) então para temos que p(c) = a o + a 1 c + a 2 c² + a 3 c³ a n c n e tomando a diferença entre p(x) e p(c), teremos: p(x)-p(c) = a 1 (x-c) + a 2 (x²-c²) + a 3 (x³-c³) a n (x n -c n ) o que garante que podemos evidenciar g(x)=x-c para obter p(x)- p(c)=(x-c) q(x) onde q=q(x) é um polinômio de grau n-1. Assim, podemos escrever: p(x)=(x-c) q(x)+p(c) e é claro que r(x)=p(c) é um polinômio de grau Expressões algébricas: produtos notáveis e fatoração Introdução: As operações básicas com polinômios tratam algebricamente as proposições próprias das operações com números. Em especial, a multiplicação de polinômios tem características que permitem converter uma expressão algébrica formada por adição e subtração de monômios em um produto e vice-versa. Observar a expressão algébrica que corresponde ao enunciado de determinado problema nos permite escolher a forma mais conveniente de representá-la, seja por um produto ou pela adição de monômios. Pontos Principais: Produtos notáveis. Fatoração. Uma equação algébrica real na variável x é uma relação matemática que envolve apenas um número finito de operações de soma, subtração, produto, divisão e radiciação de termos envolvendo a variável x. Exemplos Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 20

5 2x²+3x+7=0 3x²+7x ½ =2x+3 A função exponencial exp(x)=e x pode ser escrita como um somatório com infinitos termos contendo potências de x: e x = 1 + x +x²/2! + x³/3! + x 4 /4! + x 5 /5! +... assim, a equação x²+7x=e x não é uma equação algébrica, o que equivale a dizer que esta equação é transcendente. Quando a equação é da forma: p(x) = 0 onde p é um polinômio real em P[x], ela será chamada equação polinomial. Quando uma equação possui a variável sob um sinal de radiciação ela é chamada equação irracional. Exemplo: 2x²+3x+7 =0 e 3x²+7x ½ =2x+3 são equações algébricas. A primeira é polinomial, mas a segunda não é polinomial. Esta segunda é uma equação irracional Produtos Notáveis a) Quadrado da Soma de Dois Termos Definição: O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, mais duas vezes o produto do primeiro pelo segundo, mais o quadrado do segundo. Exemplo: (x + 3y) 2 = x x.(3y) + (3y) 2 = x 2 + 6xy + 9y 2 b) Quadrado da Diferença de Dois Termos Definição: O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro, menos duas vezes o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo. Exemplo: (7x 4) 2 = (7x) 2 2.(7x) = 49x 2 56x + 16 c) Produto da Soma pela Diferença de Dois Termos Definição: O produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo menos o quadrado do segundo termo. Exemplo: (3a + x). (3a x)= (3a) 2 (x) 2 = 9a 2 x 2 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 21

6 Fatoração Lógica Matemática e Computacional Fatorar um número significa escrevê-lo como uma multiplicação de dois ou mais números. Quando todos os termos de um polinômio têm um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. A forma fatorada é o produto do fator comum pelo polinômio que se obtém dividindo-se cada termo do polinômio dado pelo fator comum. a) Diferença de Quadrados Considere o polinômio x 2 y 2. Nos produtos notáveis, vimos que essa diferença de quadrados é o resultado de (x + y).(x y). Portanto, x 2 y 2 = (x + y).(x y). Por isso, toda diferença de dois quadrados pode ser fatorada como acima. Exemplo: Fatorar x Como 25 = 5 2, x 2 25 = x = (x + 5)(x 5). b) Trinômio Quadrado Perfeito O polinômio x 2 +2xy + y 2 é um trinômio quadrado perfeito. É um trinômio porque tem três monômios; e é um quadrado perfeito porque ele é o quadrado de (x + y), ou seja, é o resultado de (x + y) 2. Outro trinômio quadrado perfeito é x 2 2xy + y 2, que é o resultado de (x y) 2. Assim, temos mais dois polinômios que sabemos fatorar: x 2 + 2xy + y 2 = (x + y) 2 x 2 2xy + y 2 = (x y) 2. Exemplo: Fatorar x x Neste caso x 2 e 36 são quadrados e suas bases são x e 6 e, além disso, 12x = 2.x.6. Assim, x x + 36 = (x + 6) Equações de primeiro grau Introdução: As equações da forma ax = b, com a, b ε R e a 0 são chamadas de forma reduzida das equações do 1 grau na incógnita x. Resolver uma equação significa determinar os valores de x que a tornam verdadeira. Equação é a sentença matemática expressa por uma igualdade na qual exista uma ou mais letras representativas de números desconhecidos dessa sentença. A igualdade é denominada Equação de Primeiro Grau quando a letra que representa o número desconhecido está elevada a um. Normalmente, as equações de primeiro grau correspondem a enunciados de problemas que envolvem grandezas em uma dimensão. Pontos Principais: Raiz de uma equação de primeiro grau. Solução de uma equação de primeiro em domínio determinado Raiz de uma equação de primeiro grau. A equação ax+b=0 com a diferente de zero, admite uma única raíz dada por: x = -b/a 4.4 Equações de segundo grau Introdução: Uma equação do 2 grau na variável x é toda equação da forma: ax 2 + bx + c = 0, onde a, b e c são os coeficientes da equação, representado por números reais, com a 0. Exemplo: Considere a resolução das seguintes equações do 2 grau: Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 22

7 a) x 2 7x = 0. Lógica Matemática e Computacional x(x 7) = 0 x = 0 ou x 7 = 0 x = 0 ou x = 7. Logo, S = {x ε R x = 0 ou x = 7}. b) x 2 25 = 0. x 2 = 25 x = ± 5. Logo, S = {x ε R x = 5 ou x = -5}. c) x 2 10x + 25 = 0. (x 5) 2 = 0 x = 5. Logo, S = {x ε R x = 5}. A igualdade é denominada Equação de Segundo Grau quando a letra que representa o número desconhecido na sentença matemática está elevada a dois. Normalmente, as equações de segundo grau correspondem a enunciados de problemas que envolvem grandezas em duas dimensões. Pontos Principais: Raiz de uma equação de segundo grau. Solução de uma equação de segundo em domínio determinado Raiz de uma equação de segundo grau. A equação ax²+bx+c=0 com a diferente de zero, admite exatamente duas raízes no conjunto dos números complexos, dadas por: x 1 =(-b+r[b²-4ac] / 2a x 2 =(-b- R[b²-4ac]/ 2a onde R[z] é a raiz quadrada de z A fórmula de Bhaskara Na equação do 2 grau, ax 2 + bx + c = 0, indica-se b 2 4ac por. Quando < 0, a equação não tem soluções reais. Quando 0, as soluções são obtidas pela fórmula: 4.5 Problemas: equações de primeiro e segundo graus Introdução: Ao interpretar os enunciados de problemas, distinguimos as grandezas nele envolvidas e optamos por representá-lo matematicamente por uma equação observando seu respectivo grau. A quantidade de raízes que uma equação admite está relacionada ao seu grau e determina métodos particulares de solução. Pontos Principais: Interpretação de problemas. Coerência nas respostas que representam a solução de problemas interpretados por equações de primeiro ou segundo graus. 4.6 Exercícios Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 23

8 4.7.1 Dada a expressão 9x 3 y 2 + 7x 3 y 2 14x 3 y 2 + 2x 3 y 2, pede-se: a) a forma mais simples de se escrever essa expressão b) o valor numérico da expressão, quando x = 2 e y = Escreva na forma mais simples: a) 7a 2 10a 2 + 6a 2 b) 29ax 33ax + ax c) 6bc 20bc 2bc + 9bc d) - 1,7xy + xy - 0,3xy + xy Calcule o resultados da operação dos polinômios: a) (x ) + (x 8) b) (5 y) + (7 + y) c) (5x 3 2x 2 + 7) + (3x 2 + 2x 4) d) (2y 2 + 3y + 1) + (3y 2 2y 11) Calcule o resultados da operação dos polinômios: a) (x + 10).(x 8) b) (5 y).(7 + y) c) (5x + 7).(3x 2 + 2x 4) d) (2y + 1).(3y 2 2y 11) Calcule o resultados do polinômio sabendo que x = 2 e y = 3: a) p(x) = (x + 10) b) p(y) = (7y 2 + y + 3) c) p(x) = (3x 2 + 2x 4) d) p(y) = (3y 2 2y 11) Desenvolver os produtos indicados: a) (2x 2 + 5) 2 b) (3x 2 + 4y 3 ) 2 c) (5x + 1).(5x 1) d) (2x 2 + 1).(2x 2 1) Desenvolva os itens abaixo usando as regras dos produtos notáveis: a) (a + b) 2 b) (2a + 3) 2 c) (3x + 4y) 2 d) (a b) 2 e) (2a 3) 2 f) (3x 4y) 2 g) (a + b) (a b) h) (2a + 3) (2a 3) i) (4x + 3y) (4x 3y) Fatorar as seguintes expressões: a) x 2 4 b) y 2 36 c) 9x 2 16 d) 81x 2 64 e) y 2 25x 2 Lógica Matemática e Computacional Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 24

9 No conjunto dos números reais (R), determine o conjunto solução de cada uma das seguintes equações: a) 4x 5 + 3x 2x = 9 2x b) 6 (3x 3) [2 (-4x 1)] = -(-3x + 2) c) 11(2x 3) 4(3x 2) = 4(-2x +1) Uma indústria produziu uma certa quantidade de determinado aparelho eletrônico. Vendeu 50% da produção par uma loja A, 30% para uma loja B e 1000 aparelhos para uma loja C. Tendo vendido toda a produção, quantos aparelhos essa fábrica produziu? Seis pessoas foram almoçar e todas pediram o prato do dia. Das seis, apenas quatro pediram sobremesa. Ao todo gastaram R$ 45,00. Sabendo que cada sobremesa custa R$ 2,50 a menos que o prato do dia, qual o preço do prato do dia? Resolva as seguintes equações do 2º grau: a) 2x 2 1 = 0 b) x 2 + x= 0 c) 10x 2 15x = 0 d) 2x 2 50 = 0 e) (x 10) 2 = 36 f) (x + 5) 2 = 4 Professor Walteno Martins Parreira Júnior Página 25