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1 Aviso Este material é apenas um resumo de parte do conteúdo da disciplina. O material completo a ser estudado encontra-se no Capítulo 11 - Seção 1.3 do livro texto da disciplina: Aritmética, A. Hefez, Coleção PROFMAT. Colaborou na elaboração desse resumo a professora Liane Mendes Feitosa Soares. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 1/24

2 Aritmética Classes Residuais Carlos Humberto Soares Júnior PROFMAT - SBM

3 Objetivo: Construir novas estruturas algébricas a partir da congruência módulo um número natural m > 1. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 3/24

4 Classes Residuais Dado um inteiro positivo m > 1, particionamos o conjunto Z em subconjuntos, cada um formado pelos números inteiros que deixam o mesmo resto quando divididos por m. Desta forma, obtemos os subconjuntos [0] = {x Z / x 0 mod m}, [1] = {x Z / x 1 mod m},. [m 1] = {x Z / x m 1 mod m}. Observe que paramos em [m 1] pois teremos repetições, isto é, [m] = [0], [m + 1] = [1],.... PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 4/24

5 Classes Residuais Definição Definimos a classe residual módulo m do elemento a Z, denotada por [a], como sendo o subconjunto [a] = {x Z / x a mod m}. O conjunto de todas as classes residuais módulo m será denotado por Z m, isto é, Z m = {[0], [1],, [m 1]}. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 5/24

6 Exemplos Exemplo 1: Para m = 2, temos: [0] = {x Z / x 0 mod 2} = {x Z / x é par}, e [1] = {x Z / x 1 mod 2} = {x Z / x é ímpar}. Além disso, [a] = [0] [a] = [1] a é par, e a é ímpar. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 6/24

7 Exemplos Exemplo 2: Para m = 3, temos: [0] = {3q / q Z}, [1] = {3q + 1 / q Z}, [2] = {3q + 2 / q Z}. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 7/24

8 Representante de uma classe residual Definição Dado [a] Z m, um inteiro x tal que [x] = [a] será chamado um representante de [a]. Observação Existe uma infinidade de representantes da classe [a] Z m. Basta tomar qualquer inteiro da forma b = mq + a, q Z. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 8/24

9 Classe residual Proposição 1 Para cada a Z tem-se que [a] = [r], para algum r {0, 1,, m 1}; 2 As classes [0], [1],, [m 1] são duas a duas distintas. Demonstração: a Z a = mq + r, 0 r < m a r mod m [a] = [r]. O ítem 2 segue da unicidade do resto. Obs.: Classe residuais transformam a congruência a b mod m na igualdade [a] = [b]. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 9/24

10 Operações em Z m Definição Em Z m definimos adição e multiplicação por: [a] + [b] := [a + b]; [a] [b] := [a b]. Obs.: Segue-se dos ítens (i) e (ii) da proposição 9.3 que as operações definidas acima independem da escolha dos representantes. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 10/24

11 Propriedades das operações em Z m Observemos que as operações em Z m foram definidas a partir das operações de seus representantes. Desta forma, as operações em Z m gozam das seguintes prorpiedades: Propriedades Propriedades da Adição: Dados [a], [b] e [c] Z m, temos [A1] Associatividade: ([a] + [b]) + [c] = [a] + ([b] + [c]); [A2] Comutatividade: [a] + [b] = [b] + [a]; [A3] Existência de zero: [0] + [a] = [a], [a] Z m ; [A4] Existência de simétrico: [a] + [ a] = [0]. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 11/24

12 Propriedades das operações em Z m Propriedades Propriedades da Multiplicação: Dados [a], [b] e [c] Z m, temos [M1] Associatividade: ([a].[b]).[c] = [a].([b].[c]); [M2] Comutatividade: [a].[b] = [b].[a]; [M3] Existência de unidade: [1].[a] = [a], [a] Z m ; [M4] Distributividade: [a].([b] + [c]) = [a].[b] + [a].[c]. Z m com as operações acima é um anel, chamado anel das classes residuais módulo m, ou anel dos inteiros módulo m. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 12/24

13 Tabuadas Definição Um elemento [a] Z m é dito invertível quando existir [b] Z m tal que [a].[b] = [1]. Neste caso diremos que [b] é o inverso de [a]. Tabelas de adição e multiplicação em Z 2 = {[0], [1]}. + [0] [1] [0] [0] [1] [1] [1] [0] [0] [1] [0] [0] [0] [1] [0] [1] PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 13/24

14 Tabuadas Tabelas de adição e multiplicação em Z 3 = {[0], [1], [2]}. + [0] [1] [2] [0] [0] [1] [2] [1] [1] [2] [0] [2] [2] [0] [1] [0] [1] [2] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [2] [0] [2] [1] Observação: Observe que todo elemento não nulo de Z 2 e de Z 3 é invertível. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 14/24

15 Tabuadas Tabelas de adição e multiplicação em Z 4 = {[0], [1], [2], [3]}. + [0] [1] [2] [3] [0] [0] [1] [2] [3] [1] [1] [2] [3] [0] [2] [2] [3] [0] [1] [3] [3] [0] [1] [2] [0] [1] [2] [3] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [2] [0] [2] [0] [2] [3] [0] [3] [2] [1] Observação: Observe que o elemento não nulo [2] Z 4 não é invertível. Além disso, [2].[2] = [0]. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 15/24

16 Divisor de zero Definição Um elemento não-nulo [a] Z m é chamado um divisor de zero se existir um elemento não nulo [b] Z m tal que [a].[b] = [0]. Observação (1): Z 2 e Z 3 não possuem divisores de zero; Observação (2): O elemento [2] Z 2 é um divisor de zero, pois [2].[2] = [0]; Observação (3): Um divisor de zero nunca é invertível. De fato, se [a] fosse um divisor de zero invertível, existiriam [b], [c] Z m tais que [a].[b] = [0] e [a].[c] = [1]; Neste caso, [0] = [c].[0] = [c].([a].[b]) = ([c].[a]).[b] = [1].[b] = [b], PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 16/24 o que é um absurdo.

17 Tabuadas Tabelas de adição e multiplicação em Z 5 = {[0], [1], [2], [3], [4]}. + [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [1] [1] [2] [3] [4] [0] [2] [2] [3] [4] [0] [1] [3] [3] [4] [0] [1] [2] [4] [4] [0] [1] [2] [3] [0] [1] [2] [3] [4] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [0] [1] [2] [3] [4] [2] [0] [2] [4] [1] [3] [3] [0] [3] [1] [4] [2] [4] [0] [4] [3] [2] [1] Observação: Observe que todo elemento não-nulo em Z 2, Z 3 e Z 5 são invertíveis. Entretanto isso não ocorre em todos os Z m, pois em Z 4 vimos que [2] é um divisor de zero. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 17/24

18 Exercícios Exercício Mostre que resolver em Z m a equação [a]z = [b] é equivalente a resolver a congruência ax b mod m. Solução: De fato [x] é solução da equação [a].[x] = [b] [a.x] = [b] a.x b mod m x é solução da congruência. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 18/24

19 Exercícios Exercício Resolva a congruência 3X 7 mod 5. (1) Solução: Pelo exercício anterior, essa congruência é equivalente a resolver, em Z 5, a equação Como, em Z 5, basta resolvermos a equação, [3]Z = [7]. [7] = [2], [3]Z = [2], em Z 5. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 19/24

20 Exercícios Consultando a tabuada de Z 5, observamos que [3] é invertível em Z 5 e [2].[3] = [1]. Portanto, [2].[3].Z = [2].[2] = [4] Z = [4]. Desta forma, concluímos que as soluções da equação (1) são do tipo x = 4 + 5t, com t Z. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 20/24

21 Invertíveis em Z m O exercício anterior ressalta a importância de determinarmos se um elemento é invertível em Z m. Esses elementos são caracterizados na proposição seguinte. Proposição Os elementos invertíveis em Z m são aqueles cujos representantes são primos com m. Demonstração: De fato: (a, m) = 1 x, y Z tais que ax + my = 1 ax 1 mod m [a].[x] = [ax] = [1] [a] é invertível. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 21/24

22 Corpo Corolário Se p Z é um número positivo primo, então todos os elementos não nulos em Z p são invertíveis. As estruturas algébricas, munidas de adição e multiplicação, satisfazendo as propriedades [A1], [A2], [A3], [A4], [M1], [M2], [M3], [M4] e o corolário anterior, são chamadas de corpos. Z 2, Z 3 e Z 5 são exemplos de corpos. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 22/24

23 Exercício Exercício Determine as raízes do polinômio p(x ) = X 2 + X, em Z 6. Demonstração: Calculando diretamente, temos: p([0]) = [0] 2 + [0] =[0]; p([1]) = [1] 2 + [1] = [2]; p([2]) = [2] 2 + [2] = [4] + [2] = [6] = [0]; p([3]) = [3] 2 + [3] = [3][3] + [3] = [12] = [0]; p([4]) = [4] 2 + [4] = [4][4] + [4] = [16] + [4] = [20] = [2]; p([5]) = [5] 2 + [5] = [5][5] + [5] = [25] + [5] = [30] = [0]. Portanto, [0], [1], [3], [5] são raízes de p(x ) = X 2 + X. Observe que o número de raízes excedeu o grau do polinômio. Isso ocorreu porque Z 6 não é um corpo. PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 23/24

24 Até a próxima... PROFMAT - SBM Aritmética, Classes Residuais slide 24/24

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