Polinômios. 02) Se. (x 1), então. f(x) (x 2) (x 1) 5ax 2b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da equação

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1 Polinômios 1. (Ufsc 015) Em relação à(s) proposição(ões) abaixo, é CORRETO afirmar ue: 01) Se o gráfico abaixo representa a função polinomial f, definida em por f(x) ax bx cx d, com a, b e c coeficientes reais, então f() 4. 0) Se f(x) (x ) (x 1) 5ax b, com a e b reais, é divisível por a b 1. 04) As raízes da euação 08) Se f(x) x (p )x e reais, então p. x 9x x ) Os valores reais de p para ue a euação.. (Pucpr 015) Se (x ) é um fator do polinômio igual a: a). b). c). d) 6. e) 6. (x 1), então estão em progressão aritmética de razão 1. g(x) x (p )x x são divisíveis por ( x), com p e x x p 0 admita uma raiz dupla são e x kx 1x 8, então, o valor de k é. (Uece 015) Se a expressão algébrica x 9 se escreve identicamente como a(x 1) b(x 1) c onde a, b e c são números reais, então o valor de a b c é a) 9. b) 10. c) 1. d) 1. Página 1 de 11

2 4. (Espcex (Aman) 015) O polinômio (x) x x deixa resto r(x). Sabendo disso, o valor numérico de r( 1) é a) 10. b) 4. c) 0. d) 4. e) f(x) x x x 1, uando dividido por 5. (Unicamp 015) Seja (a,b,c,d) uma progressão geométrica (PG) de números reais, com razão 0 e a 0. 1 a) Mostre ue x é uma raiz do polinômio cúbico p(x) a bx cx dx. b) Sejam e e f números reais uaisuer e considere o sistema linear nas variáveis x e y, a c x e. Determine para ue valores da razão esse tem solução única. d b y f 6. (Udesc 015) Um polinômio p(x) dividido por x 1 deixa resto 16; por x 1 deixa resto 1, e por x deixa resto 1. Sabendo ue o resto da divisão de p(x) por (x 1)(x 1)x é da forma ax bx c, então o valor numérico da soma das raízes do polinômio ax bx c é: a) 5 b) c) 15 d) 4 e) 7. (Unicamp 014) O polinômio p(x) x x 9x 18 tem três raízes: r, r e s. a) Determine os valores de r e s. b) Calcule p(z) para z = 1+i, onde i é a unidade imaginária. 8. (Pucrj 014) Sabendo ue 1 é raiz do polinômio p(x) é igual a: a) x x b) x x 1 x 1 c) x x d) x x 1 x 1 e) x x x 1 p(x) x ax x, podemos afirmar ue 9. (Pucrs 014) A representação gráfica da função dada por y f(x) ax bx c, sendo a 0, intercepta o eixo das abscissas no ponto em ue x. Então, o resto da divisão de f(x) por x é a) b) 0 c) d) c e) c Página de 11

3 10. (Espcex (Aman) 014) Sabendo ue é uma raiz do polinômio então o conjunto de todos os números reais x para os uais a expressão é: a) {x / 1 x } b) {x 1 / x } c) {x 1 / x 1 ou x } d) {x / x } e) {x / x e x 1} P(x) x 5x x, 11. (Uerj 014) Observe o gráfico da função polinomial de em definida por P(x) x 6x x. P(x) está definida Determine o conjunto solução da ineuação P(x) (Unesp 014) O polinômio P(x) a x x b é divisível por x e, uando divisível por x +, deixa resto 45. Nessas condições, os valores de a e b, respectivamente, são a) 1 e 4. b) 1 e 1. c) 1 e 1. d) e 16. e) 1 e (Pucrj 014) Assinale a alternativa correta: 4 a) x x x x 8 16 b) 4 c) 4 4 d) x x x x e) x x x x 4 8 x x x x 4x 8 16 x x x x 4x Página de 11

4 14. (Uepg 014) Ao dividir o Polinômio P(x) por x, obtém-se o uociente. Nessas condições, assinale o ue for correto. 01) P(x) é divisível por x 1. 0) P(x) é um polinômio do º grau. 04) P(x) 7. 08) O termo independente de x no polinômio vale 11. x 5 e o resto 15. (Unesp 014) Sabe-se ue, na euação x 4x x 6 0, uma das raízes é igual à soma das outras duas. O conjunto solução (S) desta euação é a) S = {,, 1} b) S = {,, + 1} c) S = {+ 1, +, + } d) S = { 1, +, + } e) S = {, + 1, + } 16. (Fuvest 014) Os coeficientes a, b e c do polinômio p(x) x ax bx c são reais. Sabendo ue 1 e 1 αi, com α 0, são raízes da euação p(x) 0 e ue o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8, determine a) o valor de α ; b) o uociente de p(x) por (x 1). i é a unidade imaginária, i (Espm 014) O trinômio a) 0 b) 1 c) d) e) (Ufrgs 014) Considere os polinômios p(x) x e euação p(x) (x), no conjunto dos números reais, é a) 0. b) 1. c). d). e) 4. x ax b é divisível por x e por x 1. O valor de a b é: (x) x x. O número de soluções da Página 4 de 11

5 Gabarito: Resposta da uestão 1: = 18. [01] Incorreta. Do gráfico, sabemos ue as raízes de f são, 1 e 1. Além disso, temse f(0). Desse modo, encontramos f(x) a(x )(x 1)(x 1) f(0) a 1. Portanto, segue ue f() ( )( 1)( 1) 1. [0] Correta. Sabendo ue pelo dispositivo prático de Briot-Ruffini, vem a 7 b a 7 5a b a f(x) x x (15 5a)x 7 b é divisível por Donde obtemos a e b 4. Em conseuência, segue ue a b 1. (x 1), então, [04] Incorreta. Por inspeção, concluímos facilmente ue x 1 é raiz da euação. Ademais, x 0 não é raiz e, portanto, se as raízes constituíssem uma progressão aritmética de razão 1, então elas seriam 1, e. Contudo, segue ue x não é raiz. [08] Incorreta. Se f e g são divisíveis por ( x), então f() g() 0. Porém, tem-se (p ) 0 p. [16] Correta. Toda raiz dupla de x x p 0 também é raiz da euação x 0. Portanto, como as raízes dessa euação são 1 e 1, segue-se ue p ou p. Resposta da uestão : [E] Se (x ) é fator do polinômio dado, então é raiz desse polinômio. Portanto: k k 4 k 6 Página 5 de 11

6 Resposta da uestão : [D] Desenvolvendo e agrupando termos semelhantes, obtemos a(x 1) b(x 1) c ax (a b)x a b c. Assim, para ue a 1 a 1 a b 0 b. a b c 9 c 10 x 9 seja idêntica a(x 1) b(x 1) c, deve-se ter Portanto, temos a b c 1 ( ) Resposta da uestão 4: [A] 5 4 x 0x x x 0x 1 x 0x x 5 4 x 0x x x x x x 0x 1 x 0x 6x 4 Portanto, x 6x r(x) x 6x e Resposta da uestão 5: a) Tem-se ue b a, c a e r( 1) ( 1) 6( 1) 10. d a. Logo, vem p a a a a a a a a 0. Por conseguinte, 1 x é uma raiz do polinômio p(x). b) De (a), obtemos a c x e a a x e. d b y f a a y f Sabendo ue a 0, 0 e, o sistema terá solução única se, e somente se, Página 6 de 11

7 a a a a 5 0 a a 0 a (1 )(1 ) 0. Portanto, além de 0, deve-se ter 1. Resposta da uestão 6: [C] Tem-se, pelo Teorema do Resto, ue p( 1) 16, p(1) 1 e p(0) 1. Além disso, sabemos ue p(x) (x 1)(x 1)x (x) ax bx c, com (x) sendo o uociente da divisão de p(x) por (x 1)(x 1)x. Desse modo, temos p( 1) a b c a b c 16, p(1) a b c 1 e p(0) c c 1. Resolvendo o sistema formado pelas euações a b 17 e a b 1, concluímos ue a 15, b. Portanto, vem ax bx c 15x x 1 e, assim, o resultado pedido é Resposta da uestão 7: a) Fatorando p(x), obtemos p(x) x x 9x 18 x (x ) 9(x ) (x )(x 9). Portanto, r e s. b) Se z 1 i, então p(z) (1 i )(i 9) i 9i i i. z (1 i) i. Logo, Página 7 de 11

8 Resposta da uestão 8: [B] Se p(1) 0, então 1 a Logo, a 0 e, portanto, p(x) x x x(x 1) x(x 1)(x 1). Resposta da uestão 9: [B] Como a função f intercepta o eixo x no ponto (,0), concluímos ue f() = 0. Considerando agora o teorema do resto, temos ue o resto da divisão de f(x) por (x ) é f(). Portanto, o resto é 0. Resposta da uestão 10: [C] Já ue é raiz, podemos utilizar do dispositivo de Briot-Ruffini para determinar as outras raízes e então fazer o estudo do sinal dessa função polinomial. Logo, P(x) ( x ) ( x x 1), fazendo outras duas raízes. x temos x = 1 ou x = -1/, ue são as x 1 0, Fazendo agora o estudo do sinal do polinômio P(x), temos: A expressão P(x) estará definida para P(x) 0, ou seja, 1 x / x 1 ou x Página 8 de 11

9 Resposta da uestão 11: O número é raiz, pois p() = 0. Dividindo p(x) por (x ), temos: Logo, P x x x x 1 Onde suas raízes são 1 x, x. Resolvendo, agora a ineuação P(x) 0 através do gráfico do polinômio P(x). Portanto, a solução da ineuação será dada por 1 1 S x / x ou x. Resposta da uestão 1: [E] De acordo com o Teorema do Resto e as informações do problema, temos ue: P() = 0 e P( ) = 45. Resolvendo o sistema abaixo, temos: 8a 4 b 0 7a 6 b 45 Multiplicando a primeira euação por 1 e somando com a segunda temos: 5a = 5, ou seja, a = 1. Substituindo a = 1 na primeira euação, temos: b = 0, ou seja, b = 1. Página 9 de 11

10 Resposta da uestão 1: [B] Tomando convenientemente x, é fácil ver ue as únicas opções possíveis são as identidades dos itens [A] e [B]. Agora, basta fazer x para concluir ue a identidade correta é a do item [B]. Resposta da uestão 14: = 06. O polinômio P(x) é dado por P(x) (x ) (x 5) x 4x 5x 7. [01] Incorreto. Note ue por x 1. [0] Correto. De fato, o grau de P é P. [04] Correto. Com efeito, tem-se ue P( 1) ( 1) 4 ( 1) 5 ( 1) Logo, P(x) não é divisível [08] Incorreto. O termo independente de x vale 7. Resposta da uestão 15: [B] P(0) Sejam r, s e t as raízes da euação x 4x x 6 0 e considere ue r = s + t. Utilizando a relação de soma de Girard, temos: 4 r s t 1 r r 4 r Concluímos então ue dois é uma de suas raízes. Dividindo, agora x 4x x 6 por (x ) x 4x x 6 (x ) (x x ) 0 x 0 x x x x ou x 1 Logo, S = {,, + 1}. Página 10 de 11

11 Resposta da uestão 16: a) Como os coeficientes de p(x) são números reais, segue-se ue suas raízes são 1, 1 αi e 1 αi. Logo, p(x) (x ( 1))(x (1 αi))(x (1 αi)) (x 1)(x x α 1). Sabendo ue o resto da divisão de p(x) por (x 1) é 8 e α 0, pelo Teorema do Resto, vem p(1) 8 (1 1)(1 1 α 1) 8 α 4 α. b) Utilizando os resultados obtidos em (a), segue ue o uociente de p(x) por x 1 é p(x) (x 1)(x x 5) x x 5. x 1 x 1 Resposta da uestão 17: [D] Tem-se ue x ax b (x )(x 1) x x. Daí segue ue a 1, b e, portanto, a b 1 ( ). Resposta da uestão 18: [D] p(x) (x) x x x x (x x 1) 0 Temos então duas euações: x 0 (já resolvida) ou x x 1 0 (com discriminante Δ 5, portanto, com duas raízes distintas). Portanto, o número de soluções da euação p(x) (x) é. Página 11 de 11