Polinómios. Integração de Fracções Racionais

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1 Polinómios. Integração de Fracções Racionais Escola Superior de Tecnologia e de Gestão, Instituto Politécnico de Bragança. Mário Abrantes / 17

2 Índice de Matérias 1. Polinómios Denição Factorização de Polinómios Divisão de Polinómios Teorema Fundamental da Álgebra 2. Fracções Racionais Integração de Fracções Racionais 2 / 17

3 Denição Polinómios Chama-se polinómio na variável x com coecientes reais a uma expressão na forma a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, sendo n o grau do polinómio (é um número inteiro não negativo). Os termos a i, 0 i n designam-se por coecientes do polinómio. A variável x pode tomar valores reais. 1 Exemplos 3 2 x 3 x : polinómio de grau 3 4 : polinómio de grau 0; é igual a 4x 0 x 2 x : não é um polinómio (o coeciente de x 1 não é um inteiro não negativo) yx 2 y : polinómio de grau 3 nas variáveis x e y ; estes apontamentos referem-se apenas a polinómios na variável x. 1 Uma função cuja fórmula é um polinómio designa-se por função racional inteira 3 / 17

4 Polinómios Raiz de um Polinómio Chama-se raiz ou zero do polinómio p(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 todo o valor de x tal que p(x) = 0. Exemplos x = 2 é uma raiz do polinómio p(x) = 2x 3 3x 2 4, porque p(2) = = 0. x = 1 não é uma raiz do polinómio p(x) = 2x 3 3x 2 4, porque p( 1) = 2 ( 1) 3 3 ( 1) 2 4 = 9 0. Factorização de Polinómios O polinómio p(x) diz-se factozizado no produto de k polinómios g 1 (x), g 2 (x),, g k (x), se aparece escrito como o produto destes k polinómios, p(x) = g 1 (x)g 2 (x) g k (x). Exemplos O polinómio p(x) = 2x 3 12x x 12 pode ser escrito na forma p(x) = 2(x 1)(x 2)(x 3). 4 / 17

5 Polinómios Os polinómios envolvidos na factorização de p(x) são g 1 (x) = 2, g 2 (x) = x 1, g 3 (x) = x 2, g 4 (x) = x 3. O polinómio q(x) = x 3 6x x 6 pode ser escrito na forma q(x) = (x 1)(x 2 5x + 6). Os polinómios envolvidos na factorização de q(x) são g 1 (x) = x 1, g 2 (x) = x 2 5x + 6. Divisibilidade de Polinómios O polinómio p(x) diz-se divisível pelo polinómio q(x) sse q(x) é um dos polinómios envolvido na factorização de p(x). O polinómio q(x) = x 3 6x x 6 é divisível pelo polinómio x 1, uma vez que q(x) = (x 1)(x 2 5x + 6). p(x) é tambem divisível por x 2 5x / 17

6 Polinómios O polinómio q(x) = x 3 6x x 6 não é divisível pelo polinómio x 5, uma vez que x 3 6x x 6 = (x 5)(x 2 5x + 6) Esta igualdade representa uma divisão da seguinte forma: x 3 6x x 6 é o dividendo; x 5 é o divisor; x 2 5x + 6 é o quociente; 24 é o resto da divisão - ver o vídeo seguinte. >Vídeo sobre a divisão de polinómios. Teorema de Bezout O resto da divisão de um polinómio p(x), de grau maior ou igual a 1, pelo binómio x a, é igual a p(a). Exemplo Dado o polinómio q(x) = x 3 6x x 6, temos q(5) = = 24 (ver exemplo anterior). 6 / 17

7 Polinómios Corolário Se r é uma raiz do polinómio p(x), isto é se p(r) = 0, então p(x) é divisível exactamente por x r e pode por isso ser escrito na forma de produto p(x) = (x r)g(x), sendo g(x) é um polinómio tal que grau(p(x)) = grau(g(x)) + 1. Exemplo O polinómio q(x) = x 3 6x x 6 anula-se para x = 1, isto é q(1) = 0. Então q(x) é divisível por x 1, x 3 6x x 6 = (x 1)(x 2 5x + 6). Teorema Fundamental da Álgebra Todo o polinómio p(x) de coecientes reais e de grau maior ou igual a 1 tem pelo menos uma raiz, real ou complexa. 2 2 O conjunto dos números complexos C é um conjunto de números no qual está contido o conjunto dos números reais R e outros números não reais como, por exemplo, 1. 7 / 17

8 Polinómios O polinómio q(x) = x 2 + x + 1 não tem raízes reais, facto rapidamente vericável usando a fórmula resolvente de Bhaskara, x = 1 ± = 1 ± 3. 2 q(x) não é factorizável num produto de polinómios de coecientes reais de grau menor que 2. Teorema Todo o polinómio q(x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0, de coecientes reais e de grau 1, se decompõe no produto de factores lineares na forma x r, sendo r uma raiz de q(x), ou de factores quadráticos na forma x 2 + bx + c (sem raízes reais) e do factor a n, sendo a soma dos graus dos factores igual a n. 8 / 17

9 Polinómios Exemplos O polinómio q(x) = x 2 2x + 1 tem uma raiz dupla x = 1, como pode ser vericado usando a fórmula resolvente de Bhaskara: Por esta razão temos x = ( 2) ± ( 2) = 2 ± 0 2 q(x) = x 2 2x + 1 = (x 1) 2 = 1.. O polinómio q(x) = 2x 2 4x + 2 tem igualmente a raiz dupla x = 1 (vericar!). Como o coeciente que multiplica x 2 é 2, temos q(x) = 2x 2 4x + 2 = 2(x 1) 2. Vericar que o polinómio q(x) = 3(x 1)(x 2)(x 3) pode ser escrito na forma 3x 3 18x x 18, e que esta última expressão se anula para x = 1, x = 2 e x = 3. 9 / 17

10 Polinómios Polinómios Idênticos Dois polinómios p(x), q(x) dizem-se idênticos sse têm os mesmos coecientes para as mesmas potências de x. Polinómios idênticos escrevem-se da mesma forma, isto é têm o mesmo grau e os mesmos coecientes. Para dois polinómios de grau n serem idênticos, basta tomarem valores iguais para n + 1 valores distintos da variável x. É o que diz o teorema seguinte. Teorema Se os valores de dois polinómios p(x), q(x), de grau n, coincidem para n + 1 valores diferentes r 1, r 2,, r n, r n+1 da variável x, então estes dois polinómios são idênticos, isto é têm os mesmos coecientes. 10 / 17

11 Fracções Racionais Fracção Racional Chama-se fracção racional a uma fracção cujos numerador e denominador são polinómios. 3 A fracção p(x) q(x) diz-se irregular. diz-se regular se grau(p(x)) < grau(q(x)). De contrário Exemplos x 4 x 2 + 2x + 1 x x 2 + 2x : fracção irregular : fracção regular : fracção irregular Uma fracção irregular pode ser escrita como a soma de um polinómio e de uma fracção regular. 3 Uma função cuja fórmula é uma fracção racional, diz-se função racional. 11 / 17

12 Fracções Racionais Tal pode ser conseguido efectuando a divisão do numerador pelo denominador. Exemplos x 4 3 x 2 +2x+1 = x 2 2x + 3 4x+6 x 2 +2x+1 (vericar!) x2 +5x 3 x = 2 2x x 6 x 2 2x+1 (vericar!) Decomposição em Fracções Parciais Uma fracção racional regular pode ser decomposta na soma de fracções parciais mais simples. Esta decomposição é útil para a integração de fracções racionais. Exemplos 1 (x+1)(x 2) = A + B, sendo A, B constantes que se podem x+1 x 2 determinar (ver vídeo abaixo). x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) = A (x+1) + 3 constantes que se podem determinar (ver vídeo abaixo) B (x+1) + C + D 2, sendo A, B, C, D x+1 x 2 12 / 17

13 Fracções Racionais Exemplos x 4 2 (x 2 +x+1)x = A 2 x + B 2 x + Cx+D + Ex+F x+1 x 2, sendo A, B, C, D, E, F +x+1 constantes que se podem determinar (ver vídeo abaixo) x 4 2 (x 2 +x+1) 2 x) = A x + Bx+C (x 2 +x+1) + Dx+E 2 x 2, sendo A, B, C, D, E +x+1 constantes que se podem determinar (ver vídeo abaixo) Notar que para a decomposição de uma fracção racional regular p(x) q(x) em fracções parciais A cada factor (x r) k ou (ax 2 + bx + c) no denominador q(x) correspondem k parcelas na decomposição; As fracções parciais cujo denominadores são potências de termos lineares, (x r) k, têm uma constante no numerador; As fracções parciais cujo denominadores são potências de termos quadráticos, (ax 2 + bx + c) k, têm uma expressão linear em x, do tipo Ax + B, no numerador. 13 / 17

14 Fracções Racionais >Vídeo sobre a decomposição de fracções racionais em fracções parciais. Integração de Fracções Racionais A integração de uma fracção racional p(x) q(x) consiste em 3 etapas: Dividir p(x) por q(x), se grau(p(x)) grau(q(x)); Decompôr em fracções parciais as fracções racionais resultantes da divisão (se uma divisão foi efectuada), cujos denominadores não sejam potências de termos lineares, (x r) k, ou potências de termos quadráticos, (ax 2 + bx + c) k ; se uma divisão não foi efectuada, efectuar a decomposição sobre a própria fracção p(x) q(x) ; Integrar a soma de fracções parciais resultante. Vamos ver alguns exemplos. 14 / 17

15 Exemplos Fracções Racionais x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) dx Como grau(x 2 + 2) = 2 4 = grau((x + 1) 3 (x 2)), a fracção racional é regular, pelo que não é preciso efectuar a divisão do polinómio no numerador pelo polinómio no denominador. A decomposição da fracção seguinte: x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) = x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) A (x+1) 3 + em fracçoes parciais é a B (x+1) + C + D 2 x+1 x 2. O cálculo dos coecientes A, B, C, D faz-se do seguinte modo: Multiplicar ambos os membros da igualdade por (x + 1) 3 (x 2). Obtém-se x = A(x 2) + B(x + 1)(x 2) + C(x + 1) 2 (x 2) + D(x 1) 3 x = ( 2A 2B 2C + B) + (A B 3C + 3D)x + (B + 3D)x 2 + (C + D)x 3 15 / 17

16 Fracções Racionais Para os polinómios nos dois membros serem idênticos, os coecientes nos termos com o mesmo grau devm ser iguais. Isto corresponde a vericarem-se as igualdades: C + D = 0 B + 3D = 1 A B 3C + 3D = 0 2A 2B 2C + D = 2 Resolvendo este sistema linear de 4 equações nas incógnitas A, B, C, D (pelo método de Gauss-Jordan, por exemplo), obtém-se: A = 1 B = 1/3 C = 2/9 D = 2/9 16 / 17

17 Fracções Racionais Podemos agora escrever x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) = A (x+1) 3 + B (x+1) + C + D = 2 x+1 x 2 = 1 (x+1) 3 + 1/3 (x+1) 2 2/9 x+1 + 2/9 x 2 O integral ca agora reduzido a casos imediatos. x 2 +2 (x+1) 3 (x 2) dx = ( 1 = 1 (x+1) dx (x+1) dx 2 1 dx x+1 9 = (x + 1) 3 dx (x + 1) 2 dx 2 9 (x+1) + 1/3 3 (x+1) 2/9 + 2/9 2 x+1 x 2 ) dx = 1 dx = x 2 1 x+1 dx = (x+1) (x+1) 1 2ln( x + 1 ) + 2 ln( x 2 ) + C = (x+1) 2 1(x ) 1 2ln( x + 1 ) + 2 ln( x 2 ) + C dx = x 2 17 / 17