Primitivação de funções racionais

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1 rimitivação de funções racionais Nesta folhas pretende-se apresentar o método de primitivação de funções racionais, ou seja, de funções que se podem escrever como quociente de dois polinómios. O procedimento consiste em efectuar a decomposição da função racional numa soma de fracções elementares(eventualmente, somadas com um polinómio) e seguidamente primitivar estas funções. Este método é, basicamente, um algoritmo, cujos passos irão ser ilustrados, ao longo das folhas, por meio das funções do exemplo que se segue. Exemplo:. f(x)= x + x ;. g(x)= x ; 3. h(x)= x + x 3 +x ; 4. j(x)= 4x +3x+5 x 3 +x +5x. Definição: Chama-se função racional a qualquer função que se possa escrevernaforma (x) Q(x),com(x)eQ(x)polinómiosdecoeficientesreais. A função racional diz-se própria se o grau de (x) é estritamente menordoqueograudeq(x)ediz-seimprópriacasocontrário. Notação: Representa-seporgr((x))ograudopolinómio(x). Exemplo: Todas as funções referidas no exemplo inicial são funções racionais. A primeira é uma função racional imprópria, as restantes são próprias. Regra Fundamental: Ao primitivar, trabalhar-se sempre com funções racionais próprias. asso : (x) Verifica-se se a função racional éprópria. Q(x) Seéprópria,segue-separaoasso. Senãoéprópria,escreve-seafunçãonaforma polinómio + função racional própria. Fica-se, assim, comasomade umaprimitivaimediataedeumaprimitiva duma função racional própria. Versãode9deDezembrode008

2 Qualquerfunçãoracionalimprópria (x) Q(x) podeescrever-secomosoma de um polinómio e uma função racional própria. Bastafazeradivisãode(x)porQ(x). roposição(regra da divisão): Sendo(x)umpolinómioeQ(x)umpolinómiodegrau,existem polinómios C(x) e R(x), univocamente determinados, tais que (x) Dividendo Então = Q(x). C(x) Divisor Exemplifique-se: Quociente + R(x), comgr(r(x))<gr(q(x)). Resto da div. (x) Q(x) =C(x) polin. + R(x) Q(x) f. racional própria Asfunçõesg,he j sãofunçõesracionaspróprias,peloque,naprimitivação, passa-se logo ao asso. Afunçãof éimprópria,peloquevaiserescritanaformaacimaindicada. Divide-se o numerador pelo denominador x + x x +x x+ x+ x+ temograuestritamentemenorqueq(x). Então, pelo que f(x)= x + x =(x )(x+)+ x f(x)= =x+ + x polin. f. rac. própria ( x++ )= x x +x+ln x +C, ondec éumaconstantereal. Como a função foi decomposta numa soma de primitivas imediatas, calculou-sejáaprimitiva(executou sejáoasso4dométodo). Versãode9deDezembrode008

3 Resta-nos ver como primitivar funções racionais próprias. Seja (x) Q(x) umafunçãoracionalprópria. asso : Decompõe-se Q(x), tanto quanto possível, como produto de factores mais simples. Tenha-se presente que: Qualquer polinómio Q(x), de grau, pode decompôr-se como produto de: - constantes, -factoresdaforma(x r) s,c/s N, factorescorrespondentes aos zeros reais -factoresdaforma (x } +bx+c {{} )k polin. degrau sem zeros reais,c/k N, factores correspondentes aparesdezeros complexos conjugados agrupando-se os factores correspondentes aos mesmos zeros. séamultiplicidadedozerorealr kéamultiplicidadedoszerosdex +bx+c(quesãodoiscomplexos conjugados) Então,Q(x)ficaescritonaforma Q(x)= a (x r ) s constante factores corresp. aos zeros reais ( x +b x+c ) k factores correspondentes a pares de zeros complexos conjugados Nota: Convém recordar a Regra de Ruffini, que poderá ser necessária, seograudopolinómioformaiorque. 3 Versãode9deDezembrode008

4 Exemplifique-se: Considerem-se os denominadores das funções g, h e j. As suas factorizações são: x =(x )(x+) opolinómiotemdoiszerosreais, e (ambos com multiplicidade ); x 3 +x = x (x+) opolinómio temdois zeros reais, 0 (com multiplicidade ) e (com multiplicidade ); x 3 +x +5x = x ( x +x+5 ) o polinómio inicial tem um zero sem zeros reais real, 0 (com multiplicidade ), e dois zeros complexos conjugados, ± i (ambos com multiplicidade ). asso 3: Decompõe-se a função racional própria numa soma de fracções elementares. Antes de expôr completamente o asso 3, veja-se a sua aplicação às funçõesg,hej,oquefacilitaráacompreensãodocasogeral. araafunçãog: g(x)= x =. (x )(x+) dois zeros reais c/ mult. Seráexplicadonocasogeralque,comooszerosdodenominadorsãodois reais, e, com multiplicidade, determinam-se dois números reais, A e B,taisque (x )(x+) = A x + B x+. Calculam se estes valores pelo método dos coeficientes indeterminados: (x )(x+) = A x + B x+ (x )(x+) = A(x+)+B(x ) (x )(x+) logo =A(x+)+B(x ) =(A+B)x+(A B). 4 Versãode9deDezembrode008

5 Note-sequenãoestamosàprocuradassoluçõesdaequação,masdosvaloresdeAeBparaosquaisosdoispolinómiossãoiguais,oqueéequivalente a { { A+B=0 B= ou seja A B= A=. Então, pelo que ondec éumaconstantereal. g(x)= x + x+. g(x)= ln x ln x+ +C, Determinou-se já a primitiva, pois g foi transformada numa soma de funções imediatamente primitiváveis(executou se já o asso 4 do método). araafunçãoh: h(x)= x + x 3 +x = x + x (x+) =. x + x (x+). Seráexplicadonocasogeralque,comooszerosdodenominadorsãodois reais,0e,oprimeirocommultiplicidadeeosegundocommultiplicidade,determinam-setrêsnúmerosreais,a,b ec,taisque x + x (x+) = A x + B C x + x+. Nota: Basicamente, para cada zero real consideram-se tantas parcelas quanto a sua multiplicidade, cujos numeradores são números reais. Determinam-se os valores de A, B e C, pelo método dos coeficientes indeterminados: x + x (x+) =A x + B C x + x+ x + x (x+) = Ax(x+)+B(x+)+Cx x (x+) logo x +=Ax(x+)+B(x+)+Cx x +=(A+C)x +(A+B)x+B. 5 Versãode9deDezembrode008

6 A partir do sistema de equações, conclui-se que pelo que A=, B= e C=3 x + x (x+) = x + x + 3 x+. ode-secalcularjáaprimitivadeh,executandooasso4dométodo: [ ] x + h(x)= = [ x (x+) x + 3 ] x + x+ portanto h(x)= ) ( ln x + x +3ln x+ +C= ln x x +3 ln x+ +C, ondec éumaconstantereal. araafunçãoj: j(x)= 4x +3x+5 x 3 +x +5x = 4x +3x+5 x ( x +x+5 ). sem zeros reais Será explicado no caso geral que, como o denominador tem um zero real, 0(com multiplicidade ), e dois zeros complexos conjugados, ± i(ambos com multiplicidade ), determinam-se três números reais, A, B e C, tais que 4x +3x+5 x ( x +x+5 ) sem zeros reais = A x + Bx+C x +x+5. Nota: Serávistonocasogeralque,talcomoseverificaparacadazeroreal, para cada par de zeros complexos conjugados(ou seja, para cada polinómio de grau dois, sem zeros reais) consideram-se tantas parcelas quanto a sua multiplicidade, com a diferença que no numerador temos que contar com umpolinómiodegraumenor ouigual a (éclaroque,casob sejazero,o numerador será um número real). Então 4x +3x+5 x ( x +x+5 ) = A(x +x+5)+x(bx+c) x(x +x+5) sem zeros reais 6 Versãode9deDezembrode008

7 dondeseconcluiquea=,b=3ec=,peloque Assim, j(x)=ln x + j(x)= 4x +3x+5 x 3 +x +5x = x + 3x+ x +x+5. 3x+ x +x+5 Noasso4veremos como calcular esta primitiva Vejamos,então,emqueconsisteoasso3. Sistematize-se o asso 3: Considera-se a decomposição do denominador obtida no asso e determina-se: - paracadafactor (x r) s umaexpressãodaforma A x r + A (x r) + + A s (x r) s no deparcelas=s= = multiplicidade do zero real r - paracadafactor (x +bx+c) k umaexpressãodaforma D +E x x +bx+c + D +E x (x +bx+c) + + D k+e k x (x +bx+c) k n o deparcelas=k=multiplicidadedoszeros complexosassociadosax +bx+c detalmodoque (x) Q(x) seja soma de todas estas parcelas. Definição: Chamam-se fracções elementares(ou fracções simples) às funções racionais da forma A D+Ex (x r) n ou ( x +bx+c ) m. sem zeros reais roposição: Toda a função racional própria pode ser decomposta, de modo único, numa soma de fracções elementares. Tal como se fez nos exemplos, esta decomposição pode ser obtida pelo método dos coeficientes indeterminados. 7 Versãode9deDezembrode008

8 asso 4 (e último!): Determinam-se as primitivas das fracções elementares. Talcomofoifeitoparaasprimitivasdasfunçõesg,heparaaprimeira parceladafunçãoj,éfácilverque: as zeros reais conduzem sempre a situações de logaritmo e/ou potência. De facto, [ A ]= (x r) n Aln x r +C, sen= [ A(x r) n] =A (x r) n+ n+ +C, sen>, com C constante real. Falta, apenas, ver como primitivar as parcelas associadas aos zeros complexos. Concluir-se-á que ospolinómiosdegrau semzerosreaisconduzemsempreasituações de logaritmo e/ou arcotangente. Considere-se uma parcela da forma D+Ex x +bx+c, em que x +bx+c não tem zeros reais. Nestecasoé,emgeral,útildecomporopolinómionaforma comepeqnúmerosreais. x +bx+c=(x+p) +q, A decomposição pode ser feita formando o quadrado (verificar-se-á que podeconsiderar-sep= c b eq= ( b )epodetambémserfeitaapartir ) doszerosdopolinómio-éfácilprovarqueoszerosdopolinómiosãoiguais a p±qi. 8 Versãode9deDezembrode008

9 Exemplifique-se: Considere-se o polinómio de grau, sem zeros reais, que se obteve na decomposição do denominador da função j. ode-se formar o quadrado, fazendo simplesmente x +x+5=x } +x+ {{} =(x+) (x+) 4 ode-se também decompor o polinómio recordando que os zeros de x +x+5 são ±i,peloquep= e q=,logox +x+5=(x+) +. rimitivação: A primitivação destas parcelas pode ser feita directamente(sabendo que será um logaritmo, um arcotangente ou uma soma de um logaritmo e um arcotangente) ou efectuando a mudança de variável x+p=qt. Estamos, finalmente, em condições de determinar e concluir a primitivação da função j. 3x+ x +x+5 o rocesso(fazem-sedirectamenteascontas): Tendoemcontaqueaderivadadodenominadoréx+,ascontassão feitasdemodoaquesurjamasparcelasdologaritmoedoarcotangente: 3x+ (x+) +4 = 3(x+) {}}{ 3x+3 3+ (x+) +4 =3 x+ = 3 ln (x+) +4 ondec éumaconstantereal. >0 (x+) +4 (x+) +4 = [ 4. ) ]= + ( x+ = 3 ln[ (x+) +4 ] + ( ) x+ = = 3 ln[ (x+) +4 ] ( ) x+ arctg +C, 9 Versãode9deDezembrode008

10 o rocesso(pormudançadevariável): Asugestãofeitaparaamudançadevariável, x+p=qt, conduza pelo que x+=t, x=t, ϕ(t)=t e ϕ (t)=. Fazendo a substituição na primitiva 3x+ x +x+5 = 3x+ (x+) + obtém-se a primitiva (. 3(t )+ ) ( ) 6t (t) =. + t + onde = 3t t + 3t t + = 3 t t + +t =3 ln( t + ) arctant+c. ortanto 3x+ x +x+5 =3 ln [ (x+ ) ( ) x+ +] arctan +C eloque foi feitonofinal doexemploilustrativo doasso3, conclui-se que j(x)=ln x + 3x+ x +x+5 =ln x +3 ln [ (x+ ) ( x+ +] arctan ) +C. Tal como já se referiu, e se verificou neste caso, as parcelas associadas apolinómiosdegrausemzerosreaisconduzemafunções logaritmo e/ou arcotangente. 0 Versãode9deDezembrode008

11 Éumbomexercícioprovarque sex +bx+céumpolinómiosemzerosreais,quesepodeescreverna forma(x+p) +q,então [ ] D+Ex x +bx+c = E ln( (x+p) +q ) ( ) + (D Ep) x+p arctg +C. q q Nota:. Na primitiva anterior tem-se que: -see=0,trata-sedeumarcotangente; -see 0,trata-sedeumlogaritmo,umarcotangenteouumasomade um logaritmo e um arcotangente.. Nãoháproblemascomodenominador,vistoqueq 0,senãonãose estarianocasodeumpolinómiosemzerosreais. Atenção: Nunca se deve aplicar um método cegamente! Considere-se 9x +x+5 x 3 +x +5x. Seria uma desagradável surpresa efectuar-se todo um trabalho análogo ao da primitiva de j e depois descobrir-se que bastaria fazer 9x +x+5 x 3 +x +5x =3 3x +4x+5 x 3 +x +5x =3ln x 3 +x +5x +C. Versãode9deDezembrode008

12 Termina-se com a situação que é, claramente, mais complicada, a qual se apresenta a título informativo. arcelas da forma D+Ex (x +bx+c) k, c/ k >, em que x +bx+c não tem zeros reais: Decompõe-se o polinómio como no caso anterior e efectua-se a mesma mudança de variável, comoque se reduz esta situação aocálculo de uma primitiva imediata e de uma primitiva da forma [ (+t ) k ]. Esta primitiva(c/ k > ) determina-se por partes do seguinte modo: (+t ) k = +t t (+t ) k = = (+t ) k (+t ) k t (+t ) k t t (+t ) k f g e baixa-se sucessivamente o grau do denominador. Assim,porexemplo,paraocasok=: [ ] (+t ) pois g= (+t ) = ( ) +t ( t ( ) = [ t +t = ( ) + t +t f t (+t ) )= g +t + ( )] = +t +t = arctgt+ t +t +C. Versãode9deDezembrode008