Cálculo Diferencial e Integral I - LEIC

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1 INSTITUTO SUPERIOR TÉCNICO Departamento de Matemática de Janeiro de Cálculo Diferencial e Integral I - LEIC ō Teste - Versão - Resolução. Indique uma primitiva para a função definida em ], e [ pela epressão log Resolução: Para determinar uma primitiva da função dada, omeça-se por tentar identificar a derivada de uma potência, isto é, uma epressão da forma u α u, para a qual se tem u α+ se α P u u α = α +. () log u se α = Neste caso, dada a epressão em causa, para ser a derivada de uma potência terá que se ter u = log. Nesse caso, u = e α =. Como a epressão dada se pode escrever na forma ( log ), () trata-se realmente da derivada de uma potência e tem-se ( log d = ) ( log ) ( log ) + d = + = log () sendo esta última epressão a primitiva pretendida.. Determine uma função definida em R + que satisfaça as seguintes condições: f () = 4 arctg, f( + ) = π Resolução: Visto que temos a derivada de f e pretendemos a função original temos que realizar o processo inverso da derivação, isto é, f tem que ser uma primitiva da epressão dada. Procurando, novamente, a derivada de uma potência conclui-se que a única possibilidade seria u = arctg. Como, nesse caso, seria u = 4 +, o que não se encontra na epressão dada, conclui-se que não deve ser uma primitiva imediata desse tipo. Como não parece ser imediata e envolve um arctg, a melhor opção deve ser a primitivação por partes. Para escolher o modo de aplicação do método, tem-se em conta que a operação de derivação simplifica bastante o arctg e este não é imediatamente primitivável. Assim escolhe-se derivar arctg e primitivar 4, vindo u = 4 u = = v = arctg v = ( ) + ( ) = 4 + (4) Aplicando a fórmula de primitivação por partes (P u v = uv P uv ) vem ( ) 4 arctg ( d = arctg ) ( ) ( ) 4 + d = arctg 9 d () +

2 Para determinar a primitiva correspondente ao último termo começa-se por verificar se se trata da derivada de uma potência. Par tal, a única hipótese viável é escolher u = +, e α =. Nesse caso viria u = 9 o que, a menos de uma constante, é eactamente o que se encontra no numerador. Tem-se, então (cf. ()), 9 + d = arctg 9 ( + ) d = log ( + ) (6) (note-se que o módulo que figura em () é desnecessário pois + > para todo o R). Substituindo na epressão anterior vem 4 arctg d = arctg log ( + ) (7) Obtem-se, assim, uma primitiva de f definida em R +. Como este conjunto é um intervalo e quaisquer duas primitivas de uma mesma função definidas num mesmo intervalo diferem de uma constante conclui-se que eiste um C R tal que f() = arctg log ( + ) + C (8) Para determinar o valor de C recorre-se à condição adicional f( + ) = π. Tem-se, então, f( + arctg ) = lim f() = lim + + log ( + ) + C = arctg log ( + ) + C = C, já que a função tem um prolongamento contínuo à origem. Logo, f( + ) = C = π e (9) f() = arctg log ( + ) + π (). Calcule o valor do seguinte integral π (4 sen ) cos ( sen + sen 6)( sen ) d Resolução: Dada a particular forma da epressão da função integranda (pode, evidentememte, ser escrita na forma f(sin ) cos ), deve utilizar-se a mudança de variável de integração t = sen. Assim, tem-se t = sen d t = ( sen ) d = cos d = t = sen = = π t = sen π =. () Note-se, ainda, que a função ϕ() = sen é uma bijecção de [, π ] em [, ]. Substituindo no integral vem π 4 sen ( sen + sen 6)( sen ) cos d = 4t (t + t 6)(t ) d t ()

3 Reduziu-se, portanto, o problema ao cálculo do integral de uma função racional. Constata-se que a função é uma fracção própria pois o grau do numerador é inferior ao grau do denominador, logo não é preciso fazer a divisão inteira dos dois polinómios. O passo a seguir é factorizar o polinómio do denominador. Para tal usa-se a fórmula reolvente para equações polinomiais do segundo grau vindo t + t 6 = t = t = () Então o polinómio no denominador tem uma raiz simple t = e uma raiz dupla t =, admitindo a decomposição (t ) (t + ). Para calcular o integral determina-se, em seguida, a epansão em fracções simples da fracção integranda, determinando A, B e C tais que 4t (t + t 6)(t ) = A t + B (t ) + C t + (4) (note-se que para a raiz dupla aparecem dois termos: um correspondente a t e outro a (t ) ). A esta decomposição está, naturalmente, associada a identidade polinomial 4t = A(t )(t + ) + B(t + ) + C(t ) () Como a igualdade deve ser verdadeira para todo o t R tem que ser verdadeira quando t assume os valores das raízes do denominador, isto é, para t = e t =. Substituindo obtêm-se as seguintes equações: { t = 4() = A() + B() + C() B = (6) t = 4( ) = A() + B() + C() C = Como ainda falta determinar o valor da constante A e já se usaram todas as raízes do denominador recorre-se a uma das equações obtidas pelo método dos coeficientes indeterminados, isto é, igualamse os coeficientes das potências de t do mesmo epoente em ambos os membros da identidade polinomial. Como só é necessária mais uma equação usa-se só uma das potências de t, escolhendose, por simplicidade, t isto é, os termos constantes de ambos os polinómios. Em (), o coeficiente constante do polinómio da esquerda é e o da direita é 6A + B + 4C. Reunindo as três equações obtidas vem B = B = C = C = (7) 6A + B + 4C = A = Substituindo em (4) obtém-se a decomposição pretendida e, por (), vem π 4 sen ( sen + sen 6)( sen ) cos d = t + (t ) + t + d t (8) Todas as fracções que figuram na epressão da integranda são imediatamente primitiváveis usando (), tendo-se t d t = (t ) d t = log t (t ) d t = (t ) (t ) + d t = = (9) + t t + d t = (t + ) d t = log t +

4 Usando a linearidade do integral e a Regra de Barrow vem = π 4 sen ( sen + sen 6)( sen ) cos d t d t [ = [log t ] t ( = (log log ) (t ) d t t + d t ] [log t + ] ) (log + log + ) ( = (log log ) ) (log 4 log ) = log log 4 = log 4 = log 8 e () 4. Determine a área da região do plano definida pelas seguintes condições: y +, y ( ) +, y +, Resolução: Para determinar a área pretendida deve começar-se por obter uma ideia da figura correspondente de modo a poder escrever uma epressão integral para essa área. Para tal, comece-se por notar que a linha de equação y = + é uma recta que cruza o eio das ordenadas no ponto (, ) e tem declive. Assim, a região correspondente a y + é um semi-plano que não intersecta o terceiro quadrante: Por outro lado, a curva de equação y = ( ) + é uma parábola com vértice em (, ) e virada para cima. Para determinar a posição relativa das duas curvas determinam-se os pontos que satisfazem as duas igualdades simultaneamente, isto é, resolve-se o sistema { y = ( ) + { ( ) + = + { = { = { = y = + y = + y = + y = y = Dado que se pretende a região acima de ambas as curvas tem-se que esta estará contida na região sombreada:

5 Como a terceira condição (a linha correspondente é uma hipérbole equilátera) é um pouco mais complicada que a última começa-se por determinar a intersecção desta com as restantes equações. Para a intersecção com a recta obtém-se = y =, no caso da intersecção com a parábola, = y = e no caso da hipérbole = y = (para determinar estas intersecções basta substituir = nas respectivas equações). Então, a região correspondente à conjunção destas três condições é Para terminar o esboço da região falta a curva que a delimita superiormente, isto é, o ramo superior da curva de equação y( + ) = (já que o semi-plano inferior se encontra ecluído da região). A intersecção dessa curva com a recta é dada pela solução do sistema { y( + ) = y = + = ± 4( )() ( ) y = + { ( + ) ( + ) = y = + = ± 4 y = + { + = y = + { = y = { = y = 8, () sendo que o último destes pontos não pertence à fronteira da região por se encontrar abaio da parábola. Por outro lado a intersecção da hipérbole com a parábola obtem-se resolvendo o sistema { y( + ) = { [ ( ) + ] ( + ) = { 7 + = y = ( ) + y = ( ) + y = ( ) + () A primeira equação do sistema é uma equação polinomial do terceiro grau o que a torna algo mais complicada de resolver. No entanto, a partir das intersecções anteriormente determinadas resulta imediato que o ponto (, ) pertence a ambas as curvas. Então, = tem que ser uma das soluções dessa equação do terceiro grau o que significa que é um zero do polinómio obtido e que é possível utilizar a regra de Ruffini para baiar o grau da equação. Usando esta regra com a raiz = vem

6 Logo a primeira equação do sistema é equivalente a = + = = = ± + = = ± () Usando a segunda equação do sistema obtêm-se os pontos ( (, ),, 6 7 (4 + ) ( ) e +, 6 7 (4 ) ). Por análise dos pontos obtidos conclui-se que os dois últimos pontos estão fora da região considerada pois encontram-se abaio da recta. Esta região é portanto definida pelas curvas dadas cruzando-se nos pontos (, ), (, ) e (, ): Pode-se, agora, escrever facilmente a epressão integral para o valor da área da região em causa, bastando em cada intervalo ], [ e ], [ verificar qual a função cujo gráfico delimita superiormente a região e qual a função cujo gráfico delimita inferiormente a região (bastava ter em conta as condições dadas e as intersecções mas o gráfico obtido permite visualizar melhor o problema), tendo-se A = = ( + ) d d + d + ( ) + d ( ) + d Todas as primitivas que é necessário calcular são imediatas bastando usar, repetidamente, a fórmula (), tendo-se + d = ( + ) = log + d = + + = () ( ) ( )+ ( ) + d = + = + + Usando, finalmente, a Regra de Barrow para determinar o valor dos integrais em (4) vem A = [ log + ] + [ ] [ ( ) + = [ log + log + ] + [ ( )] [ ( ) = log = log ] (4) ( )] ( ) + +

7 obtendo-se, assim, o valor da área que se pretendia calcular.. Seja f : R R definida pela epressão f() = e sen () + cos() a) Determine o polinómio de MacLaurin do terceiro grau para f. b) Estude quanto à eistência de etremo na origem a função f. c) Estude f quanto ao sentido da concavidade do seu gráfico na vizinhança da origem. Resolução: a) Para determinar o polinómio de MacLaurin de terceira ordem basta ter em conta que se trata do polinómio de Taylor centrado em e aplicar a forma geral dos coeficientes do polinómio de Taylor centrado em R: a n = f (n) ( ) (6) n! Neste caso, trata-se, portanto, de determinar as 4 primeiras derivadas (contando com a de ordem ) de f na origem. Comece-se por notar que, sendo f a soma e composta de funções de classe C (eponencial, seno, coseno e funções polinomiais), f é de classe C podendo, portanto, obter-se as suas derivadas de qualquer ordem por uso das regras de derivação. Vem f () () = e sen () + cos() f () () = + = f () () = e cos() sen () f () () = = f () () = 4 e + 4 sen () 4 cos() f () () = = (7) f () () = 8 e + 8 cos() + 8 sen () f () () = = 6 Basta, agora, escrever o polinómio centrado em com os coeficientes determinados por (6) sendo este o polinómio que se pretendia determinar. P () = +! +! + 6! = + 8, (8) b) Para estudar quanto à eistência de etremo na origem a função f, basta usar o Teorema de Taylor para os etremos, isto é, determinar as sucessivas derivadas na origem, até se determinar uma que não se anule, e estudar a ordem e o sinal dessa derivada. Neste caso a tarefa é particularmente simplificada por já se terem determinado as derivadas relevantes, concluindo-se de imediato que a primeira derivada que não se anula na origem é de ordem ímpar e positiva. O referido teorema permite, então, concluir que a função f não tem etremo na origem (derivada de ordem ímpar) e é crescente numa vizinhança desse ponto (derivada positiva). c) Para estudar f quanto ao sentido da concavidade do seu gráfico na vizinhança da origem utilizase o Teorema de Taylor para as concavidades, isto é, determinam-se as sucessivas derivadas na origem, até se determinar uma que não se anule, e estuda-se a ordem e o sinal dessa derivada. Como se viu na alínea anterior a primeira derivada que não se anula na origem é de ordem ímpar e positiva. O referido teorema permite, então, concluir que a função f tem um ponto de infleão na origem (derivada de ordem ímpar) tendo a concavidade virada para baio (concava) imediatamente à esquerda da origem e virada para cima (convea) imediatamente à direita desse ponto (derivada positiva).

8 6. Seja f a função definida pela epressão f() = no conjunto dos pontos onde eiste o integral. e t d t a) Justifique que f C (R) e determine f(). b) Prove que f( ) = f() para qualquer R. Estude f quanto à simetria e periodicidade. c) Mostre que, para qualquer R + eiste um c [, ] tal que f() = e c e que, também para R +, se tem e 4 f() e. Prove que f(+ ) = d) Determine todas as assíntotas rectilíneas de f. e) Verifique que f C (R) e que a sua derivada é dada por f () = e f) Estude o sentido da concavidade do gráfico de f. ( ) e Resolução: a) Dizer que f C (R) é, por definição, dizer que f é contínua em R logo, para garantir que assim é basta constatar que, sendo g a função integranda, g é contínua em R sendo, portanto, integrável em qualquer intervalo compacto de R o que se sabe significar que o integral indefinido de g é contínuo em R (independentemente da origem). Como f() = g(t) d t + g(t) d t = g(t) d t + g(t) d t, (9) f pode ser vista como a diferença entre a composta do integral indefinido de g com um polinómio e esse mesmo integral indefinido sendo, portanto uma função contínua. Para calcular f() basta ver que f() = g(t) d t = () pois trata-se de um integral num intervalo degenerado (reduzido a um ponto). b) Para provar que f( ) = f() começa-se por calcular o membro esquerdo da igualdade, vindo f( ) = ( ) ( ) g(t) d t = g(t) d t () Para relacionar esta epressão com o segundo membro da igualdade é necessário alterar os etremos do integral o que pode ser conseguido recorrendo a uma mudança de variável. Como se pretende transformar em e em a mudança a aplicar é, claramente u = t que é, trivialmente, uma bijecção entre os intervalos em causa. Aplicando a mudança vem: u = t d t = d u t = u = () t = u = Substituindo no integral resulta, para qualquer R, f( ) = e ( u) ( ) d u = e u d u = f(). ()

9 Logo a proposição é verdadeira. Para estudar f quanto à simetria basta ter em conta a propriedade que se acabou de demonstrar (f( ) = f() para todo o R) que equivale a dizer que f é ímpar. Para verificar que não é periódica basta constatar que, se >, f() é um integral de uma função estritamente positiva num intervalo não degenerado não sendo portanto nula. Como f() =, f não pode ser periódica. c) Como para > o comprimento do intervalo de integração é, é de esperar que a eistência do ponto c resulte da aplicação do teorema da média. Dado que g é contínua em R pode aplicar-se a versão do teorema da média para funções contínuas que garante que: f() = g(t) d t = ( )g(c) = e c, com c [, ] (4) Para verificar a segunda parte do resultado pasta ver que se < c então c 4 e, portanto 4 c. Como a eponencial é uma função crescente, para R +, < c 4 c e 4 e c e e 4 e c e Usando a propriedade (4) resulta imediato que, para qualquer R +, e 4 f() e. Quanto à última parte da pergunta resulta imediata de < f() e e do facto de lim e = lim + + correspondendo este último limite a um símbolo de indeterminação ( ) ao qual pode ser possível aplicar a Regra de Cauchy. Como as funções intervenientes satisfazem todas as condições de regularidade necessárias (quer o numerador quer o denominador são diferenciáveis em R e a derivada do denominador não se anula em R + ) para poder aplicar a dita regra basta que eista o limite do quociente das derivadas. Tem-se, então e () lim () ( e ) = lim e = = (6) Então pela Regra de Cauchy, o limite em + da função que majora f() é nulo logo, como f() > para R +, f(+ ) =. d) Pela alínea (a) f C (R) logo f não tem assíntotas verticais. Pela alínea (c) f(+ ) = logo f tem uma assíntota horizontal à direita, y =. Pela alínea (b) f é ímpar logo f( ) = f(+ ) = e, portanto, y = também é uma assíntota horizontal à esquerda. Como uma função contínua não pode ter mais do que uma assíntota não vertical à esquerda e uma à direita conclui-se que a única assíntota do gráfico de f é y =. e) Para garantir que f C (R), pode-se usar a Regra de Leibnitz, isto é, que a função g é contínua no intervalo de integração para qualquer no domínio de f (o que é imediato pois g é contínua em R) e que os etremos de integração são funções de classe C (o que é trivial pois trata-se de polinómios). Por essa mesma regra, ( ) ( ) f () = e t () e t () = e () () e () = e 4 e (7) t= t= Basta, agora, por em evidência a última eponencial e vem, para qualquer R, ) ) ( ) f () = e ( e 4 + = e ( e = e e que era o que se pretendia demonstrar. (8)

10 f) Para estudar o sentido da concavidade do gráfico de f para qualquer R deve-se fazer o estudo do sinal da segunda derivada de f a qual pode ser obtida através das regras de derivação a partir do resultado estabelecido na alínea anterior (já que f é obviamente de classe C por ser a soma, produto e composta de funções diferenciáveis - a eponencial e funções polinomiais). Tem-se, então, f () = ( ) ( ) ( ) e e + e e = e = e = e = e ( ) e + e (( ) e ) [ ( ) ] e 4 e ( 4 e + ) 4 e ( 6 e + ) = ( ) e 8 e + (9) Como f é uma função contínua, para trocar de sinal tem que se anular. Determinam-se, portanto, os zeros de f : f () = = e = 8 e + = (4) A primeira equação só tem a solução trivial =, a segunda é impossível e para a terceira tem-se 8 e + = e = 8 = log 8 = log 8 = ± log 8 (4) Constrói-se de seguida o quadro do sinal de f vindo log 8 log 8 8 e e f () + + Então o gráfico de f tem a concavidade virada para baio (é concava) em ], log 8[ e em ], log 8[ e virada para cima (é convea) em ] log 8, [ e em ] log 8, + [.