Por outras palavras, iremos desenvolver a operação inversa da derivação conhecida por primitivação.

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1 RIMITIVS Definições No caítulo anterior, centramos a nossa atenção no seguinte roblema: dada uma função, determinar a sua função derivada Neste caítulo, vamos considerar o roblema inverso, ou seja, determinar uma função sendo conhecida a sua derivada or outras alavras, iremos desenvolver a oeração inversa da derivação conhecida or rimitivação Definição : Seja F uma função derivável Diz-se que F é uma rimitiva da função f se F = f Definição : Diz-se que uma função f é rimitivável no intervalo [ a, b] se admite uma rimitiva no intervalo [ b] a, Notas: ) Existem funções que não são rimitiváveis No entanto, toda a função contínua num intervalo admite uma rimitiva nesse intervalo ) Uma dada função admite mais do que uma rimitiva Este resultado decorre do facto da derivada de uma constante ser zero

2 Teorema : Se F e F são duas rimitivas da função f no intervalo[ a, b] então C IR tal que F F + C x [ a, b] =, Notação: f( ou f dx Teorema 4: (i) dx = x + C, com C IR (ii) Sejam α e β números reais Se f e g são funções rimitiváveis então α f + βg é rimitivável e ( α f βg ) dx = α f dx ± β g ± dx rimitivas imediatas Esta secção é dedicada ao cálculo de rimitivas de certas funções elementares, conhecidas or rimitivas imediatas, que se obtêm (de imediato) or inversão das regras de derivação s regras de rimitivação imediata figuram no formulário Exemlo : Calcule a rimitiva das seguintes funções: x ) f 6 ( x ) = ; ) f ( x ) = ; ) x f = x e ; 5) f ( tg( x ) 4) x = ; 6) f f = ; 5x cos x = senx

3 rimitivação or artes O método de rimitivação or artes ermite calcular a rimitiva de um roduto de duas funções a artir do conhecimento da rimitiva de uma delas Teorema : Sejam f uma função contínua num intervalo I e g uma função continuamente derivável em I Então a função h : x f g( é rimitivável em I e tem-se f g( dx = F( g( F( g' dx, sendo F uma rimitiva de f em I Na rática, é necessário saber escolher a função a rimitivar e a função a derivar Existem algumas regras ara ajudar a escolher esses factores REGR : Se só um dos dois factores admite uma rimitiva imediata, designaremos este or f e o outro or g REGR : Se a função a rimitivar é o roduto de um olinómio or uma função trigonométrica ou exonencial deve-se começar a rimitivação or ela REGR : Se só temos uma função que não sabemos rimitivar escreve-se f dx = f dx e rimitiva-se o

4 REGR 4: ela alicação sucessiva da regra de rimitivação or artes, ode aarecer no segundo membro uma rimitiva igual à que se retende calcular Isola-se então essa rimitiva e trata-se a igualdade como uma equação, sendo a incógnita a rimitiva edida inicialmente + x x Exemlo : Calcule ( ) e dx ln + dx Exemlo : Calcule ( x ) Exemlo 4: Calcule x ( cos dx 4 rimitivação de funções racionais Nesta secção vamos arender uma técnica de rimitivação que envolve a decomosição de uma função racional na soma de várias funções racionais simles, designadas or elementos simles 4 Decomosição em elementos simles ara obter a decomosição, começa-se or factorizar o denominador Consideremos que o denominador só tem raízes reais (simles ou/e múltilas) 4

5 Sejam α as raízes reais do olinómio de multilicidade, =,,,n Temos a seguinte factorização: = a( x α ) ( x α ) n n, onde a reresenta o coeficiente do termo de maior grau Logo, = a( x α ) ( x α ) n cada factor do tio ( x α ) uma soma de elementos simles, ou seja, ( ) x α, com =,,,n corresonde , ( x α ) x α n com i IR Exemlo 5: Determine a decomosição em elementos simles da função x + x x Cálculo das constantes: Regra do Taa Seja x = α uma raiz real (não necessariamente única) do olinómio de multilicidade, com Temos = ( x α ) e α não é raiz do olinómio 5

6 Logo, = + ( x α ) ( x α ) x α E Então, = x= α ; ( ) = (! ; x=α ( x ) = ( ) ; ;! x=α n = ( ( )) ( n x ) ( n )! x= α, sendo = Exemlo 6: Calcule 4x dx x 4 rimitivação de funções racionais º caso: grau() < grau() Nesse caso, devemos decomor seguida rimitivar em elementos simles e de º caso: grau() grau() Nesse caso, devemos começar or efectuar a divisão de or Dessa forma, I é a arte inteira e R = I +, sendo grau(r) < grau() R é o resto da divisão 6

7 Então, ara calcular dx ( ) I dx + x R em elementos simles (º caso) = R ( dx dx, temos em rimeiro de decomor R Exemlo 7: Calcule Exercício 8: Calcule 5 x + x dx 4 x x dx x x 7