Cap. 6. Definição e métodos de resolução do problema de valores de fronteira

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1 Ca. 6. Definição e métodos de resolução do roblema de valores de fronteira 1. Pressuostos 2. Formulação clássica do roblema de elasticidade linear 2.1 Condições no interior 2.2 Condições de fronteira 2.3 Tios dos roblemas de valores de fronteira 2.4 Condições iniciais 2.5 Desvantagens da formulação clássica 3. Métodos de resolução do roblema de elasticidade 3.1 Método dos deslocamentos 3.1 Método das forças 4. Resolução dos roblemas simles 5. Princíio de aint-vénant

2 1. Pressuostos As equações e os métodos de resolução abordados neste caítulo, são válidos aenas ara uma classe restrita de roblemas: análise linear estática. No entanto, esta classe de roblemas aesar de ser a mais simles é também a mais utilizada, e tem inúmeras vantagens, como: 1. validade do rincíio de sobreosição 2. solução única Os ressuostos da análise linear estática são os seguintes: 1. linearidade 2. alicação estática de cargas não deendentes de temo O conceito de linearidade já foi exlicado nos caítulos anteriores e significa a validade de linearidade física (relação constitutiva linear), e igualmente de linearidade geométrica (cinemática). A linearidade geométrica corresonde à teoria dos equenos deslocamentos que imlica a teoria das equenas deformações, ou seja, a deendência linear de comonentes de deformação em derivadas de deslocamentos. Recorda-se, que na teoria de equenos deslocamentos é ossível desrezar as diferenças entre a forma do meio contínuo inicial e final, e assim, as equações de equilíbrio e outras escrevem-se na forma do coro não deformado. A alicação de cargas têm que se assumir na forma lenta e gradual ara se oderem desrezar os efeitos dinâmicos. Igualmente, as fases de descarga e carga seguinte são consideradas lentas, no entanto, devido à elasticidade, a história de carregamentos não é imortante. No entanto, os casos de análises não-lineares serão igualmente abordados nesta cadeira. A nãolinearidade faz arte de todos os roblemas de contacto, em que a tensão de contacto só ode existir quando é de comressão. No caso oosto as suerfícies searam-se, não há contacto e as tensões de suerfície são nulas. Neste caso, naturalmente não ode ser válida a roorcionalidade, orque o coeficiente 1 altera o tio do roblema. Outro tio de nãolinearidade bastante comum está ligado às tensões admissíveis. Por exemlo, cabos só fazem a sua função estrutural quando solicitados à tracção, no outro lado, o betão não armado raticamente não resiste à tracção, no entanto aguenta comressões. Nestes casos também não é ossível alicar a roorcionalidade or exemlo de coeficiente 1. A análise linear estática costuma-se designar de: roblema de elasticidade. O roblema de elasticidade faz arte dos roblemas de valores de fronteira. Os roblemas de valores de fronteira são roblemas definidos sobre um conjunto via equações diferenciais que têm que ser verificados nos ontos interiores. Assim, ara a resolução comleta do roblema, é reciso adicionar os valores na fronteira que se chamam, as condições de fronteira.

3 2. Formulação clássica do roblema de elasticidade linear Recorda-se a definição do meio contínuo, em que se esecificou que os ontos de suerfície mantém-se na suerfície aós da alicação do carregamento, e igualmente os ontos no interior mantém-se no interior. Isso ermite definir as equações que têm que se verificar nos ontos interiores, sem se reocuar com o facto que a necessidade desta verificação oderia ser alterada na forma deformada. As equações que é reciso verificar nos ontos interiores já foram estabelecidas, e chamam-se as equações fundamentais do roblema de elasticidade. O roblema define-se da seguinte maneira: encontrar,, u que verificam as equações fundamentais de elasticidade nos ontos internos do meio contínuo e condições de fronteira nos ontos de suerfície. 2.1 Condições no interior As equações fundamentais de elasticidade linear são: equações deformações-deslocamento (6): T equações de equilíbrio (3): f 0 equações constitutivas (6): C ou C 2.2 Condições de fronteira As condições de fronteira são de dois tios: estáticas e geométricas (cinemáticas) As condições de fronteira estáticas estabelecem equilíbrio de comonentes de vector das tensões com a carga alicada, ou seja t n 0 se for a carga definida em comonentes cartesianas As condições de fronteira geométricas definem deslocamentos do valor imosto, ou seja u u 0

4 Recorda-se que a necessidade de condições de fronteira é devido ao facto de equações no interior serem diferenciais. Assim, cada onto de suerfície tem que ter alguma condição definida. É or isso ossível searar a fronteira em duas artes e u que verificam u e u em que é a fronteira comleta, u define fronteira com condições geométricas e condições estáticas. As suerfícies livres ertencem à arte de com com carga nula. No mesmo onto não se odem definir ambas as condições. No entanto, esta exclusividade alica-se às comonentes indeendentes. Ou seja, é ossível definir num onto de suerfície carga na direcção do eixo coordenado 0x e deslocamento na direcção de 0y. 2.3 Tios dos roblemas de valores de fronteira Os roblemas de valores de fronteira costumam-se classificar em: O 1º roblema de valores de fronteira define-se como o roblema em que são definidas aenas as condições de fronteira estáticas, ou seja. Esta definição tem fundamentação matemática ligada ao método dos deslocamentos (exlicado a seguir). No método dos deslocamentos a incógnita base são os deslocamentos. As tensões e igualmente o vector das tensões corresondem a derivadas de deslocamentos, orque as deformações são derivadas de deslocamentos e relações constitutivas, não contém derivadas. Assim, o 1º roblema de valores de fronteira estabelece as condições de fronteira na forma de derivadas do camo de incógnita fundamental. O 2ª roblema de valores de fronteira define-se como o roblema em que aenas condições de fronteira geométricas são definidas, ou seja. Assim, o 2º roblema de valores de fronteira estabelece as condições de fronteira na forma de camo de incógnita fundamental (sem derivadas). O roblema de valores de fronteira misto, tem ambas as artes de fronteira diferentes de conjunto vazio, ou seja u e. 2.4 Condições iniciais u As condições iniciais definem-se em roblemas dinâmicos, em que há deendência no temo. Habitualmente indicam o camo de deslocamento em todos os ontos (interiores e de suerfície), no temo inicial. Visto tratar-se do roblema dinâmico, é igualmente reciso definir as velocidades. Estes roblemas não serão abordados nesta cadeira. No entanto o termo, a condição inicial, ode igualmente esecificar o estado inicial do meio contínuo, e é ossível estabelecer deformações ou tensões iniciais. As deformações iniciais têm que ser comatíveis e odem ser or exemlo de origem térmica.

5 2.5 Desvantagens da formulação clássica Devido à formulação em equações diferenciais, a formulação clássica tem várias desvantagens. Estas devem-se ao facto de se exigir demasiada continuidade, e or isso o camo de ossíveis soluções está restringido. Ver-se-á no róximo caítulo, que as formulações variacionais que rescrevem as equações fundamentais na forma de integrais, são muito mais flexíveis em termos de caacidade de se encontrar solução. Assim, a formulação clássica que exige envolvimento de equações de comatibilidade, exige deslocamentos contínuos, incluindo as derivadas de terceira ordem (comonentes são funções de classe 3 C ), deformações e tensões contínuas, incluindo as derivadas de segunda ordem 2 (comonentes são funções de classe C ). O raciocínio é o seguinte: as tensões e as deformações têm que ter semre o mesmo nível de continuidade, or serem ligados via equações constitutivas sem derivadas. As equações de comatibilidade envolvem segundas derivadas de deformações que são rimeiras derivadas de deslocamento, daí a continuidade dos deslocamentos e das deformações. A formulação clássica que não exige envolvimento de equações de comatibilidade, exige deslocamentos contínuos, incluindo as derivadas de segunda ordem (comonentes são funções de classe 2 C ), deformações e tensões contínuas, incluindo as derivadas de rimeira ordem 1 (comonentes são funções de classe C ). Agora as decisivas, são as equações de equilíbrio, que exigem rimeiras derivadas de tensões. 3. Métodos de resolução do roblema de elasticidade Como se viu neste caítulo, o roblema de elasticidade envolve resolução de 15 equações ara 15 funções esaciais que corresondem às comonentes de camos de incógnitas. Para se oderem simlificar os rocessos de resolução deste sistema, ode-se otar or redução do número de equações, escolhendo aenas algumas incógnitas base. 3.1 Método dos deslocamentos No método de deslocamentos, as incógnitas base são as comonentes de deslocamento. Neste caso, não é necessário envolver as equações de comatibilidade, orque resolvendo os deslocamentos as deformações calculadas usando o camo de deslocamento são semre comatíveis. O objectivo então será reduzir as equações, de modo a que outras incógnitas sejam eliminadas. Começa-se assim elas equações de equilíbrio. f 0

6 ubstitui-se as equações constitutivas C C f 0 e finalmente as equações deformações-deslocamento T T C u f 0 As equações resultantes chamam-se equações de Lamé. ão equações de equilíbrio em termos de deslocamentos e são 3. A rimeira equação tem a forma em baixo u v w x x y z u f 0 x as restantes odem-se obter ela ermutação ositiva de índices. As constantes de material usam as constantes de Lamé e o símbolo reresenta o oerador de Lalace na forma x y z A conclusão descrita é geral, ou seja, no método de deslocamentos definido ara equações reticulares (Análise de estruturas) ou outros tios de roblemas, as equações que ermitem a resolução de incógnitas são as equações de equilíbrio. Para se oder finalizar a resolução, é reciso igualmente alterar as condições de fronteira, eliminar as comonentes de tensão e deixam ermanecer aenas as comonentes de deslocamento. Naturalmente não é reciso adatar as condições de fronteiras geométricas. Nas condições de fronteira estáticas t n 0 tem que se substituir elas tensões de maneira semelhante como no início desta secção. No entanto nas condições de fronteira a tensão entra com comonentes na forma matricial, é or isso necessário alterar estas condições ara a forma t nˆ 0 A matriz ˆn tem que conter as comonentes do vector da normal exterior à fronteira, tem que ter dimensão 3x6 e tem que reservar as equações anteriores. Pelas simles comarações de equações t n n n x x x xy y xz z t n n n y xy x y y yz z

7 t n n n z xz x yz y z z é ossível colocar as comonentes na matriz ˆn e verificar que a forma é semelhante à matriz de oeradores x y n n n n n n x x xy y xz z x z y z n n n 0 n 0 n 0 n xy x y y yz z y z x yz n n n 0 0 n n n 0 xz x yz y z z z y x xz xy Deois é fácil substituir as equações constitutivas C ˆn C 0 e finalmente as equações deformações-deslocamento T T nˆ C u 0 Deois da resolução de camo de deslocamento, é ossível finalizar os cálculos e estabelecer deformações via T e finalmente as tensões via C 3.1 Método das forças