Aula # 8 Vibrações em Sistemas Contínuos Modelo de Segunda Ordem

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Leonor Lagos
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de Dinâmica SEM 504 DINÂMICA ESTRUTURAL Aula # 8

1 UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO ESCOLA DE ENGENHARIA DE SÃO CARLOS DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA MECÂNICA Laboratório de Dinâmica SEM 504 DINÂMICA ESTRUTURAL Aula # 8 Vibrações em Sistemas Contínuos Modelo de Segunda Ordem Res.: 1

2 Objetivos Os objetivos rinciais desta aula são os seguintes: Estudar os modelos contínuos ara vibração axial e rotacional de eixos e transversal de cordas. Estudar as condições de contorno ara diferentes roblemas. Determinar a solução dos roblemas contínuos e introduzir o conceito de auto funções e modos de vibrar. Estudar alicações. Bibliografia: -Craig, R., Structural Dynamics, An Introduction to Comuter Methods John Wiley, Caítulos 9 e 10.

3 1- EQUAÇÃO DE MOVIMENTO PROBLEMA AXIAL Consideramos inicialmente o roblema de deformação axial de um eixo longo e esbelto como mostra a figura abaixo: y u(x,t) (x,t) x x x A figura abaixo mostra um diagrama de coro livre de um elemento de comrimento x. Seja u(x,t) o deslocamento axial ao longo da linha de simetria, e, (x,t) o carregamento externo alicado or unidade de comrimento. P(x,t) (x,t) x P(x + x,t) A(x) A(x + x) Diagrama de coro livre 3

4 As seguinte hióteses são usadas da resistência dos materiais Seções transversais lanas ermanecem lanas e erendiculares ao eixo do elemento. O material aresenta um comortamento elástico linear. As roriedades do material (E, ρ) são constantes ao longo de uma dada seção transversal mas odem variar com x Baseados nesta hiótese, as seguintes equações são usadas: Deformação: ε = u x Eq. 1 Tensão-deformação: σ = Eε Eq. Carregamento: P = Aσ Eq. 3 4

5 Alicando a segunda lei do movimento de Newton ara o elemento mostrado, temos: F x = ( m) ax Eq. 4 Do equilíbrio de forças do diagrama de coro livre obtemos: x + P( x + x, t) P( x, t) = u ρa x t Levando a Eq. 5 ao limite ara x tendendo ao infinito temos Eq. 5 P( x + x, t) lim x x P( x, t) + u = ρ A t Eq. 6 De onde obtemos : 5

6 P x + = u ρa t Eq. 7 Agora, substituindo-se as Eqs. 1, e 3 na Eq. 7 temos finalmente x u AE x + u = ρ A t Eq. 8 E esta última Eq. 8 é a equação de movimento ara vibração axial de um eixo. trata-se de uma EDP de segunda ordem que descreve não somente a vibração longitudinal de eixos (também molas!) como também a vibração transversal de cordas e vibração torcional de eixos. Para o caso em que a área de seção Transversal A e o módulo de Young E são constantes ao longo de x temos u AE x + = u A t ρ Eq. 9 6

7 Esta última Eq. 9 também ode ser escrita como : u ρ A t u AE x = ( x, t) Eq. 10 Problemas físicos modelados elo modelo de segunda ordem: u (x,t) P axial eixos m, EA l torcional eixos u (x,t) P I, JG l y m, t transversal cordas u (x,t) x //\\//\\\// //\\//\\\// l 7

8 A solução desta equação de movimento requer que as condições de contorno sejam definidas. As condições de contorno reresentam valores assumidos or variáveis em função de x nos contornos do sistema em estudo. Por exemlo, duas condições de contorno freqüentemente usadas ara o roblema de vibração axial em um onto x = x e são ( x e, t) = 0 Extremidade livre de esforços externos Eq. 11 u ( x e, t ) = 0 Extremidade fixa Eq. 1 u x x e = 0 Extremidade livre Eq. 13 Para o roblema axial, somente uma das condições dentre as mostradas nas Eqs. 1 e 13 odem ser usadas em cada contorno! 8

9 Exemlo: Determinar condições de contorno ara os roblemas axiais abaixo m x k x (a) (b) a) Para a massa resa à extremidade do eixo temos (0,t) A equação de movimento ara m fica então Das Eqs. 1 a 3 temos u ( 0, t) m ( x = 0) t = Eq. 14 u ( 0, t) AE ( x = 0) x = Eq. 15 9

10 Portanto, na extremidade livre em x = 0 temos finalmente u u AE ( x = 0) = m ( x = 0) x t Eq. 16 b) Desenhando um diagrama de coro livre ara a mola temos k x (0,t) Então: ( 0, t) = ku( 0, t) Eq. 17 E da Eq. u AE ( x = 0) = ku( 0, t) x Eq

11 1.1- Vibração Livre não Amortecida Problema Axial Neste caso (x,t) = 0 e a Eq. 10 assume a seguinte forma: u u ρ E = 0 Eq. 19 t x A solução da Eq. 19 é encontrada utilizando-se o Método da Searação de Variáveis: Onde: u( x, t ) = U( x ) η( t ) Eq. 0 U(x) - forma esacial do movimento - modo de vibrar η(t) - variação temoral do movimento Imortante: U(x) deende das Condições de Contorno do roblema η(t) deende das Condições Iniciais do roblema 11

12 Substituindo-se a Eq. 0 na Eq. 19 temos Dividindo a Eq. 1 or U(x)η(t) temos d η d U ρu ( x) E η( t) = 0 Eq. 1 dt dx & Eq. η U '' ρ & E = 0 η U Com && η = d η dt Eq. 3 U '' = d dx U Eq. 4 1

13 Reescrevemos a Eq. or conveniência η U '' ρ & E = 0 η U O rimeiro termo da Eq. 5 deende somente do temo enquanto que o segundo termo deende somente da variável esacial x. Então, a Eq. 5 somente oderá ser satisfeita ara valores arbitrários de x e t se cada termo for uma constante ou seja: U '' ρ && η U = E η = λ Então odemos a artir da Eq. 6 escrever duas equações diferenciais ordinárias ara o roblema Eq. 5 Eq. 6 d U λ U = 0 Eq. 7 dx d η ω dt η = 0 Eq. 8 13

14 Portanto, transformamos o roblema da vibração axial (EDP) em dois roblemas desacolados, definidos or duas EDOs, obtidos a artir da variável de searação λ. Na Eq. 8 temos ω λ E ρ = Eq. 9 Os valores de λ são denominados autovalores do roblema axial enquanto que ωsão os valores das freqüências naturais dos modos de vibrar. As soluções das Eqs. 7 e 8 são exressas como [ λ λ ] U( x ) = A1 cos( x ) + A sen( x ) [ ] η( t ) = B cos( ω t ) + B sen( ω t ) 1 Onde as constantes B 1 e B deendem das condições inicias do roblema E as constantes A 1 e A deendem das condições de contorno. Eq. 30 Eq

15 A solução ara a vibração livre não amortecida é então exressao como ( ) u x,t = U ( x) η ( t) Eq. 3 = 1 Vemos então ela Eq. 3 que a resosta livre ara o sistema contínuo não amortecido de segunda ordem é dada or uma soma infinita de termos! Isto denota uma das rinciais características dos sistemas contínuos, ou seja, ossuem um número infinitos de graus de liberdade. Outra forma da Eq. 3 seria u ( x,t) = U ( x) ( B cos( ω t) + B sen( ω t ) = 1 1 Eq

16 Exemlo 1: Corda vibrante y m, t u (x,t) x //\\//\\\// //\\//\\\// l Neste caso, as condições de contorno são dadas or: u (0,t) = 0 U (0) = 0 ou u (l,t) = 0 U (l) = 0 Eq. 34 Estas condições de contorno requerem que A 1 = 0 A sen( λ l ) = 0 Eq. 35 Eq

17 Se A = 0, não temos vibração alguma, então, desta última equação, o termo sen (λl) = 0 e isto é verdade ara todo autovalor λ dado or λ π l = Eq. 37 As freqüências naturais são obtidos de: E ω = λ = ρ π l E ρ Eq. 38 Os modos de vibrar são dados or: U x sen x sen π ( ) = ( λ ) = x l E a corresondente vibração livre é dada or: N u( x, t ) = sen( λ x ) B cos( t ) + B sen ( t ) 1 ω ω = 1 Eq. 39 Eq

18 04 PRIMEIROS MODO OS DE VIBRAR DA CORDA U 1 (x) U (x) U 3 (x) U 4 (x) = 1 = =3 =4 Pontos de Medida Pontos Nodais 18

19 Exemlo : Frequências naturais e modos de vibrar ara uma barra engastada u(x,t) x L As condições de contorno ara a vibração axial são: ( x = 0) 0 U = Logo da Eq. 30 temos du dx ( x = L ) = 0 [ λ λ ] U( x ) = A1 cos( x ) + A sen( x ) du = A λ senλx + Aλ cos dx Das condições de contorno tiramos que 1 λ x Eq. 41 Eq. 4 Eq

20 ( 0) = A 0 U 1 = du dx E como A não ode ser zero, temos que ( x = L) = A λ cosλl 0 = Eq. 44 Eq. 45 cos λl = 0 Equação característica!!! Eq. 46 Resolvendo esta última equação temos os seguintes valores λl π 3π =,,..., 1 π Auto-valores Eq. 47 ω = λ E = ρ ( 1) L π E ρ Freq. Naturais Eq. 48 0

21 E a solução ara a -ésima auto-função (modo de vibrar) é U ( x) = Csenλ x = Csen 1 πx L Eq. 49 1º Modo º Modo 3º Modo 4º Modo 1

22 c = G ρ c = E ρ

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