Aula 26 Separação de Variáveis e a Equação da Onda.

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1 Aula 26 Separação de Variáveis e a Equação da Onda. MA311 - Cálculo III Marcos Eduardo Valle Departamento de Matemática Aplicada Instituto de Matemática, Estatística e Computação Científica Universidade Estadual de Campinas

2 Equação da Onda Considere uma corda elástica de comprimento L preza nas extremidades em suportes de mesmo nível horizontal. Vamos denotar por upx, tq o deslocamento vertical da ponta no ponto ď x ď L no instante t ě. Desprezando efeitos de amortecimento e supondo que a amplitude do movimento não é grande, u satisfaz a equação diferencial parcial a 2 u xx u tt, em que a é a velocidade de propagação de ondas ao longo da corda (depende da tensão e da massa por unidade de comprimento). Para descrever o movimento da corda, precisamos também das condições iniciais e de contorno.

3 Condições de Iniciais e de Contorno Como as extremidades da corda permanecem fixas, as condições de contorno são: up, tq e upl, tq. As condições iniciais são: Posição inicial: upx, q f pxq, ď x ď L. Velocidade inicial: u t px, q gpxq, ď x ď L. em que f e g são funções tais que f pq f plq e gpq gplq.

4 Corda Elástica com Deslocamento Não-Nulo Iniciaremos o estudo do problema de vibrações de uma corda elástica admitindo que a velocidade inicial é nula, ou seja, ď x ď L. Em outras palavras, considere o problema $ a 2 u xx u tt, & up, tq e upl, tq, upx, q f pxq, ď x ď L, % u t px, q, ď x ď L,. em que f pq f plq descreve a configuração inicial da corda.

5 Separação de Variáveis Vamos admitir que u pode ser escrita como upx, tq XpxqT ptq, em que X depende apenas de x e T depende somente de t. Derivando e substituindo na equação diferencial parcial, obtemos X 2 X 1 T 2 a 2 T λ, em que λ é uma constante de separação. Equivalentemente, temos as equações diferenciais ordinárias X 2 ` λx e T 2 ` a 2 λt.

6 Usando a condição de contorno, encontramos o problema X 2 ` λx, Xpq XpLq, cuja solução é X m pxq sen mπx L e λ m mπ 2, m 1, 2,.... L Com as constantes de separação acima, obtemos a EDO cujas soluções são T 2 ` ω 2 T, com ω mπa L, T ptq k 1 cospωtq ` k 2 senpωtq.

7 Como a velocidade inicial é nula, deduzimos u t px, q XpxqT 1 ď x ď L ùñ T 1 pq. Como temos T 1 ptq ωk 1 senpωtq ` ωk 2 cospωtq, T 1 pq ùñ k 2. Assim, as soluções fundamentais da equação da onda, com as condições de contorno e a segunda condição inicial, são mπx mπx ˆmπat u m px, tq sen cospωtq sen cos, L L L para m 1, 2,.... Note que u m é periódica no tempo com período 2L{ma.

8 A superposição das soluções fundamentais fornece upx, tq 8ÿ m 1 c m sen mπx cos L ˆmπat L. Finalmente, a condição inicial upx, q f pxq, fornece upx, q 8ÿ m 1 c m sen mπx f pxq. L Portanto, admitindo que f é uma função ímpar com período T 2L, concluímos que os coeficiente satisfazem c m 2 L ż L f pxq sen mπx dx, m 1, 2,.... L

9 Concluindo, a solução do problema $ a 2 u xx u tt, & up, tq e upl, tq, upx, q f pxq, ď x ď L, % u t px, q, ď x ď L,. é em que upx, tq c m 2 L ż L 8ÿ m 1 c m sen f pxq sen mπx cos L ˆmπat L, mπx dx, m 1, 2,.... L

10 Observações A solução é a superposição de funções periódicas no tempo com período 2L{ma. As quantidades mπa{l são chamadas frequências naturais da corda. O fator sen ` mπx L é chamado modo natural de vibração. O período do modo natural de vibração 2L{m é chamado comprimento da onda.

11 Exemplo 1 Considere uma corda vibrante de comprimento L 3 que satisfaz a equação da onda 4u xx u tt, ă x ă 3 e t ą. Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial da posição inicial # x 1, ď x ď 1, upx, q p3 xq 2, 1 ă x ď 3. Encontre o deslocamento upx, tq da corda.

12 Exemplo 1 Considere uma corda vibrante de comprimento L 3 que satisfaz a equação da onda 4u xx u tt, ă x ă 3 e t ą. Suponha que as extremidades da corda estão fixas e que a corda é colocada em movimento sem velocidade inicial da posição inicial # x 1, ď x ď 1, upx, q p3 xq 2, 1 ă x ď 3. Encontre o deslocamento upx, tq da corda. Resposta: upx, tq 9 π 2 A solução é 8ÿ m 1 1 mπ m 2 sen sen 3 mπx cos 3 ˆ2mπt 3.

13 t=

14 t=

15 t=

16 t=

17 t=

18 t=

19 t=

20 t=

21 t=

22 t=

23 t=

24 t=

25 t=

26 t=

27 t=

28 t=

29 t=

30 t=

31 t=

32 t=

33 t=

34 t=

35 t=

36 t=

37 t=

38 t=

39 t=

40 t=

41 t=

42 t=

43 t=

44 Corda Elástica com Velocidade Não-Nula Um problema semelhante ao discutido anteriormente, consiste no estudo das vibrações de uma corda que é colocada em movimento a partir do repouso com uma velocidade dada. Formalmente, temos o problema $ a 2 u xx u tt, & up, tq e upl, tq, upx, q, ď x ď L, % u t px, q gpxq, ď x ď L, em que gpxq é a velocidade inicial da corda no ponto x.

45 Procedendo de forma semelhante, concluímos que a solução é em que upx, tq k m 2 mπa ż L 8ÿ m 1 k m sen gpxq sen mπx sen L ˆmπat L, mπx dx, m 1, 2,.... L Esclarecemos que o fator 2{pmπaq multiplicando a integral acima aparece porque precisamos identificar a série de Fourier em senos da derivada u t px, tq 8ÿ m 1 mπa mπx L k m sen cos L com a série de Fourier em senos de g. ˆmπat L,

46 Problema Geral para a Corda Elástica Finalmente, a solução do problema geral $ a 2 u xx u tt, & up, tq e upl, tq, upx, q f pxq, ď x ď L, % u t px, q gpxq, ď x ď L, em que f pxq e gpxq descrevem, respectivamente, a posição e a velocidade inicial da corda no ponto x, é obtido superpondo as soluções dos problemas anteriores, ou seja, upx, tq vpx, tq ` wpx, tq, em que v e w são as soluções da corda elástica com deslocamento não-nulo e velocidade não-nula, respectivamente.