massa do corpo: m; constante elástica da mola: k; adotemos a aceleração da gravidade igual a g.
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- Regina Batista Cerveira
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1 Um corpo, de massa m, está suspenso pela extremidade de uma mola, de constante elástica, a outra extremidade da mola está presa ao teto. Afasta-se o corpo da posição de equilíbrio e libera-se o corpo. Desprezando a massa da mola e a resistência do ar com o sistema durante a oscilação determine: a) A equação de movimento do corpo; b) A velocidade em função do tempo; c) O módulo da velocidade máxima; d) A aceleração em função do tempo; e) O módulo da aceleração máxima; f) A energia cinética; g) A energia potencial; h) A energia total. Dados do problema massa do corpo: m; constante elástica da mola: ; adotemos a aceleração da gravidade igual a g. Esquema do problema Inicialmente a mola está presa ao teto, como o problema nos diz para desprezar a massa da mola seu comprimento é o mesmo que ela possui quando em equilíbrio sobre um plano horizontal (a mola não se estica sob a ação do seu próprio peso), a extremidade livre da mola está numa posição de equilíbrio z 0 (figura 1-A). A massa m é presa à extremidade livre da mola, a mola se estica até atingir uma nova posição de equilíbrio O onde a força peso do corpo e a força elástica de restauração da mola se anulem (figura 1-B). O corpo de massa m é puxado até uma posição z (figura 1-C) e solto, a forção elástica da mola atuará no sentido de restabelecer o equilíbrio. figura 1 Adota-se um sistema de referência com sentido positivo para a baixo, no mesmo sentido da aceleração da gravidade ( g ), no bloco atuam a força peso ( P ) e a força elástica ( F E ), conforme figura 1-D. 1
2 Solução a) Aplicando a. a Lei de Newton F = m d x (I) as forças que atuam no bloco a força elástica da mola ( F E ) e a força peso ( P ), dadas por F E = x e P = m g (II) o sinal de negativo na força elástica representa que ela atua contra o sentido do deslocamento do bloco (atua no sentido de restabelecer o equilíbrio). Substituindo as expressões de (II) em (I), obtemos x m g = m d x m d x x = m g esta é uma Equação Diferencial Ordinária Não-Homogênea de. a Ordem. Dividindo toda a equação pela massa m, temos d x m x = g fazendo a definição 0 m, escrevemos a solução desta equação será d x 0 x = g x = x h x p (III) onde x h é a solução da equação homogênea (igualando a zero) e x p é a solução particular levando em consideração o termo do lado direito da igualdade (no caso a aceleração da gravidade g). Solução homogênea d x h 0 x h = 0 A solução deste tipo de equação é encontrada igualando a zero e fazendo-se as substituições x h = e t d x h = e t d x h = e t e t 0 e t = 0 e t 0 = 0
3 0 = 0 e t 0 = 0 = 0 = 0 1, =± 0 i a solução será x h = C 1 e 1 t C e t x h = C 1 e 0 i t C e 0 i t onde C 1 e C são constantes de integração, usando a Relação de Euler (leia-se óiler) e i θ = cos θi sen θ x h = C 1 cos 0 ti sen 0 t C cos m 0 t i sen 0 t x h = C 1 cos 0 ti C 1 sen 0 tc cos 0 t ic sen 0 t coletando os termos em seno e cosseno, temos x h = C 1 C cos 0 t i C 1 i C sen 0 t x h = C 1 C cos 0 t i C 1 C sen 0 t definindo duas novas constantes α e β em termos de C 1 e C, ficamos com C 1 C e i C 1 C x h = cos 0 t sen 0 t multiplicando e dividindo esta expressão por x h = fazendo as seguintes definições x h = cos 0 t sen 0 t A, cos φ cos 0t sen 0t e sen φ x h = A cos φ cos 0 t sen φ sen 0 t Observação: lembrando da seguinte propriedade trigonométrica oos a b = cosa cos bsena senb x h = A cos 0 t φ (IV) Solução particular 3
4 d x p 0 x p = g A solução deste tipo de equação é encontrada tomando-se a equação igual à função do lado direito da igualdade. Como neste caso o lado direito é uma função constante (a aceleração da gravidade g) a solução particular deve ser uma constante C, fazendo as seguintes substituições x p = C d x h = C = g d x h = 0 C = g 0 usando a definição de 0 C = m g assim a solução particular será x p = m g (V) substituindo as expressões (IV) e (V) em (III), obtemos x = A cos 0 t φ m g Observação: o termo m g representa o deslocamento da posição de equilíbrio da mola sem o corpo (z 0 na figura 1-A) e a nova posição de equilíbrio depois de colocada a massa m (O na figura 1-B). A massa então oscila em torno da nova posição de equilíbrio proporcional a uma função cosseno da mesma forma que um corpo na horizontal oscila em torno da posição de equilíbrio da mola. b) A velocidade é dada por v = d x derivação de x = A cos 0 t φ m g a função x( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo d x [ut ] = d x com xu = cos u e ut = 0 t φ, assim as derivadas serão 4
5 d x = sen u = sen 0t φ e = 0 d x = A [ sen 0t φ. 0 ] = 0 A sen 0 t φ Como o termo m g é constante sua derivada é nula. v = 0 A sen 0 t φ 0 v = 0 A sen 0 t φ c) Na solução do item (b) a velocidade terá um valor máximo quando sen 0 t φ = 1, assim o módulo da velocidade máxima será v máx = 0 Asen 0 t φ 1 v máx = 0 A usando a definição de 0 v máx = A m d) A aceleração é dada por a = d v derivando a solução do item (b), temos derivação de v = 0 A sen 0 t φ a função v( t ) é uma função composta cuja derivada, pela regra da cadeia, é do tipo d x [ut ] = d x com v u = sen u e ut = 0 t φ, assim as derivadas serão d v = cos u = cos 0t φ e = 0 d v = 0 A [ cos 0 t φ. 0 ] = 0 A cos 0 t φ a = 0 A cos 0 t φ 5
6 e) Na solução do item (d) a aceleração terá um valor máximo quando cos 0 t φ = 1, assim o módulo da aceleração máxima será a máx = 0 A cos 0 t φ 1 a máx = 0 A usando a definição de 0 a máx = m A f) A energia cinética é dada por E C = mv (VI) substituindo a solução do item (b) na expressão (VI) E C = m [ 0 A sen 0 t φ ] E C = m 0 A sen 0 t φ substituindo a definição de 0 E C = m 0 A sen 0 t φ E C = m A sen 0 t φ m E C = A sen 0 t φ g) A energia potencial elástica é dada por = x (VII) substituindo a solução do item (a) na expressão (VII) [ A cos 0 t φ m g ] = = 1 [ A cos 0 t φ A cos 0 t φ m g m g ] = A cos 0 t φ A cos 0 t φ m g m g 6
7 podemos re-escrever a solução do item (a) como A cos 0 t φ = x m g = A cos 0 t φ x m g m gm g = A cos 0 t φ x m g m g m g, assim obtemos = A cos 0 t φ x m g m g h) A energia total será dada pela soma dos resultados dos itens (f) e (g) E T = E C E T = A sen 0 t φ A cos 0 t φ x m g m g E T = A [ sen 0 t φ cos 0 t φ ]x m g m g da Trigonometria temos que cos θsen θ = 1, assim obtemos E T = A x m g m g 7
massa do corpo: m; constante elástica da mola: k.
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