Reginaldo J. Santos. Universidade Federal de Minas Gerais 22 de novembro de 2007

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1 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais Reginaldo J. Santos Departamento de Matemática-ICE Universidade Federal de Minas Gerais de novemro de 7 Sumário Séries de Fourier Eercícios Equações Diferenciais Parciais 5. Equação do Calor em uma Barra Etremidades a Temperaturas Fias Barra Isolada nos Etremos Corda Elástica Com Etremidades Presas Com Velocidade Inicial Nula Com Deslocamento Inicial Nulo Caso Geral Equação de aplace num Retângulo Apenas k() Não Nula Apenas h() Não Nula Caso Geral Eercícios Respostas dos Eercícios

2 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 SÉRIES DE FOURIER Séries de Fourier Os conceitos de produto escalar e norma no R n podem ser estendidos a certos espaços de funções. Definição. Seja CP[a, ] o conjunto das funções reais contínuas por partes f : [a, ] R, considerando idênticas duas funções que diferem uma da outra apenas em um número finito de pontos. (a) Definimos o produto escalar ou interno das funções f e g pertencentes a CP[a, ], como f, g = a f(t)g(t)dt. () Para todo vetor f CP[a, ], definimos a norma de f denotada por f como sendo f = f, f. Por eemplo, se f(t) = t, g(t) = e t C [, ], então f, g = Além disso, f = f, f = t dt = t3 3 te t dt = te t e t dt =. = /3. Assim, f = f, f = 3/3. O produto interno satisfaz as seguintes propriedades, que são análogas às do produto escalar em R n : Proposição. (a) Para todos os f, g CP[a, ], f, g = g, f. () Para todos os f, f, g CP[a, ], f + f, g = f, g + f, g ; (c) Para todos os f, g CP[a, ] e todo escalar α, αf, g = α f, g ; (d) Para todo f CP[a, ], f e f = se, e somente se, f =.

3 3 (e) Para todo vetor f CP[a, ] e para todo escalar α, αf = α f ; (f) Para todos os vetores f, g CP[a, ], f, g f g (Desigualdade de Cauch- Schwarz); (g) Para todos os vetores f, g CP[a, ], f +g f + g (Desigualdade triangular); Demonstração. (a) f, g = f(t)g(t)dt = g(t)f(t)dt = g, f. a a () f + g, h = (f(t) + g(t))h(t)dt = f(t)h(t)dt + g(t)h(t)dt = f, h + g, h. a a a (c) αf, g = αf(t)g(t)dt = α f(t)g(t)dt = α f, g. a a (d) Se f, então eiste um suintervalo de [a, ], onde f é limitada inferiormente por um número maior do que zero. Assim, f, f = a (f(t)) dt >. (e) αf = αf, αf = α f, f = α f, f = α f. (f) A norma de f + λg é maior ou igual a zero, para qualquer escalar λ. Assim, f + λg = f + λg, f + λg = f + λ f, g + λ g = p(λ). Temos um polinômio do segundo grau que é maior ou igual a zero para todo λ. Isto implica que = 4( f, g ) 4 f g. ogo, f, g f g. (g) Pelo item anterior temos que f + g = f + g, f + g = f, f + f, g + g, f + g, g = f + f, g + g f + f, g + g f + f g + g ( f + g ) ; Tomando a raiz quadrada, segue o resultado. de novemro de 7 Reginaldo J. Santos

4 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 4 SÉRIES DE FOURIER Vamos, agora, estender ao espaço CP[a, ] o conceito de ortogonalidade. Definição. Seja CP[a, ]. Dizemos que um suconjunto não vazio X de CP[a, ] é ortogonal se para todo par f e g de elementos distintos de X, f, g =. Neste caso dizemos que os elementos de X são ortogonais. Eemplo. Seja um número real maior que zero. Seja CP[, ] o conjunto das funções contínuas por partes do intervalo [, ] em R com o produto interno definido por Vamos mostrar que o conjunto f, g = f(t)g(t)dt. {, cos πt πt πt πt nπt nπt, sen, cos, sen,..., cos, sen,...} é ortogonal. Como as funções do conjunto, eceto a primeira, são funções cujas primitivas são periódicas de período igual a /n, então a integral de a destas funções é igual a zero e portanto elas são ortogonais à função constante. cos nπt mπt, sen = = π cos nπt π π mπt sen dt = π cos ns sen msds π π [sen(m + n)s + sen(m n)s]ds = Para m n temos que cos nπt mπt, cos = sen nπt mπt, sen cos nπt π mπt cos dt = π cos ns cos msds π π = [cos(m + n)s + cos(m n)s]ds π π = π(m + n) sen(m + n)s π + π π(m n) sen(m n)s π = = π sen nπt π π sen mπt dt = π π π sen ns sen msds [ cos(m + n)s + cos(m n)s]ds = π =,

5 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Figura : Gráficos de, cos πt, cos πt, cos 3πt 4πt 5πt, cos, cos

6 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 6 SÉRIES DE FOURIER Figura : Gráficos de sen πt, sen πt, sen 3πt, sen 4πt 5πt 6πt, sen, sen

7 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos 7 Podemos estender a CP[a, ] o conceito de convergência de seqüência de números reais. Definição 3. (a) Uma seqüência de funções {f m } = {f, f, f,..., f m,...} de CP[a, ] converge para uma função f de CP[a, ] se Neste caso escrevemos lim m f m = f. () Uma série de funções lim f m f =. m f m de CP[a, ] converge para uma função f de CP[a, ] m= se o limite da seqüência das somas parciais converge para f, ou seja, lim m m f n = f. n= Proposição. Se uma seqüência de funções {f m } de CP[a, ] converge para uma função f de CP[a, ], então esta função é única a menos dos seus valores em um número finito de pontos. Demonstração. Vamos supor que lim f m = f e lim f m = g, então pela desigualdade m m triangular (Proposição na página ) temos que f g f f m + g f m. Passando ao limite otemos que f g = o que implica que f = g a menos de um número finito de pontos. Proposição 3. (a) Se uma seqüência de funções {f m } de CP[a, ] converge para uma função f de V, então para todo vetor g de V a seqüência de números reais { f m, g } converge para f, g. Ou seja, se lim f m = f, então m lim f m, g = lim f m, g. m m

8 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 8 SÉRIES DE FOURIER () Se uma série de funções f m de CP[a, ] converge para uma função f de CP[a, ], m= então, para toda função g de CP[a, ], f m, g = f m, g. m= m= Demonstração. (a) Seja f = lim f m. Pela desigualdade de Cauch-Schwarz (Proposição na página ), temos m que f m, g f, g = f m f, g f m f g. Passando ao limite otemos que lim = f, g. m lim f m, g f, g =. O que implica que m () É uma conseqüência imediata do item anterior. Proposição 4. Seja CP[a, ], o espaço das funções contínuas por partes no intervalo [a, ]. Seja {g, g, g,..., g n,...} um suconjunto de V de vetores ortogonais não nulos. Se f = c m g m, então m= c m = f, g m, para m =,,,... g m Demonstração. Seja f = n =,,..., otemos que c m g m. m= Fazendo o produto escalar de f com g n, para f, g n = c m g m, g n = m= m= c m g m, g n = c n g n,

9 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos 9 pois como os vetores g m são ortogonais g m, g n =, se m n. Assim, c n = f, g n, para n =,,... g n Eemplo. Seja um número real maior que zero. Seja CP[, ] o conjunto das funções contínuas por partes do intervalo [, ] em R com o produto interno definido por f, g = Já mostramos no Eemplo que o conjunto {, cos πt, sen πt, cos πt, sen πt f(t)g(t)dt. nπt nπt,..., cos, sen,...} é ortogonal. Vamos aplicar a Proposição 4 a este conjunto. Para isto vamos calcular as normas dos seus elementos., = cos nπt nπt, cos sen nπt nπt, sen = = dt = cos nπt dt = π π sen nπt dt = π π π π cos nsds = π sen nsds = π π π π π [ + cos ns]ds = [ cos ns]ds = Assim, para toda função f CP[, ] que possa ser escrita como a série m = f(t) = a + m= a m cos mπt + teremos que os coeficientes da série serão dados por f, cos mπt a m = cos mπt = f, sen mπt sen mπt = m= m sen mπt, () f(t) cos mπt dt, para m =,,,... () f(t) sen mπt dt, para m =,,... (3) A série () com os coeficientes dados acima é chamada Séries de Fourier.

10 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 SÉRIES DE FOURIER Na Proposição 4 fizemos a suposição de que a série c m g m convergia para a função f. Vamos considerar o prolema inverso. Dada uma função f CP[, ] podemos calcular os coeficientes a m e m usando () e (3) e nos perguntar se a série otida converge ou não. O teorema seguinte, cuja demonstração pode ser encontrada por eemplo em [3], afirma que para toda função f contínua por partes em [, ], a série de Fourier de f converge. m= Teorema 5. Seja um número real maior que zero. Para toda função f pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], a série de Fourier de f em que a m = m = a + m= converge para f na norma f = f(t) = a + a m cos mπt + m= m sen mπt, f(t) cos mπt dt para m =,,,... f(t) sen mπt dt, para m =,,... ( (f(t)) dt m= a m cos mπt ). Ou seja, podemos escrever + m= m sen mπt Se uma função f CP[, ] é par, isto é, f( t) = f(t), para todo t [, ], e pode ser escrita como a série f(t) = a + m= a m cos mπt + m= então os coeficientes otidos no Eemplo são dados por: a m = m = f(t) cos mπt dt = f(t) sen mπt dt = para m =,,... m sen mπt, f(t) cos mπt dt, para m =,,,...

11 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Analogamente, se uma função f CP[, ] é ímpar, isto é, f( t) = f(t), para todo t [, ], e pode ser escrita como a série f(t) = a + m= a m cos mπt + m= então os coeficientes otidos no Eemplo são dados por: a m = m = m sen mπt, f(t) cos mπt dt = para m =,,,... f(t) sen mπt dt = f(t) sen mπt dt, para m =,,... Para as funções f que são contínuas por partes em [, ] podemos prolongá-las de forma que elas se tornem par ou ímpar no intervalo [, ] (verifique!). Corolário 6. Seja um número real maior que zero. Para toda função f pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], a série de Fourier de cossenos de f a + e a série de Fourier de senos de f em que a m = m = convergem para f na norma f = f(t) = a + m= m= a m cos mπt, m sen mπt, f(t) cos mπt dt para m =,,,... f(t) sen mπt dt, para m =,,... ( ) (f(t)) dt m= a m cos mπt. Ou seja, podemos escrever = m= m sen mπt.

12 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 SÉRIES DE FOURIER Figura 3: A função f : [, ] R definida por f(t) =, se t [/4, 3/4] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de cossenos de f, para n =,, 6,, 4, 8 Eemplo 3. Seja um número real maior que zero. Considere a função f () c,d dada por : [, ] R {, se c t d, c,d (t) =, caso contrário, f () para c e d fios satisfazendo c < d. Vamos calcular as séries de Fourier de senos e de cossenos de f () c,d. Para a série de cossenos temos que a = a m = d c d c f(t)dt = d c f(t) cos mπt dt = dt = (d c), d c cos mπt dt = mπ sen s mπd, para m =,,... mπc

13 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Figura 4: A função f : [, ] R definida por f(t) =, se t [/4, 3/4] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de senos de f, para n =,..., 6 Assim a série de Fourier de cossenos de f é f () c,d (t) = a + m= a m cos mπt = (d c) + π m= sen mπd sen mπc m cos mπt. Oserve que a série de Fourier de cossenos da função constante igual a, f (),, tem somente o primeiro termo diferente de zero que é igual a. Para a série de senos temos que para m =,,..., m = d c f(t) sen mπt dt = Assim, a série de Fourier de senos de f () c,d f () c,d (t) = m= m sen mπt = π d c é dada por m= sen mπt dt = mπ cos s mπd mπc cos mπc cos mπd m sen mπt

14 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 4 SÉRIES DE FOURIER Figura 5: A função f(t) = em [, ] e as somas parciais da série de Fourier de senos de f, para n =, 3, 5, 7, 9, Oserve que para a função constante igual a, f (), os termos de índice par são iguais a zero e neste caso a série de senos de f (), é dada por f (), (t) = 4 π m= (m )πt sen m Eemplo 4. Considere a função f () c,d : [, ] R dada por { t, se c t d, c,d (t) =, caso contrário, f () para c e d fios satisfazendo c < d. Vamos calcular as séries de Fourier de senos e de cossenos de f () cd. Para a série de cossenos

15 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Figura 6: A função f(t) = t em [, ] e somas parciais da série de Fourier de cossenos para n =,, 3 temos que a = a m = d c d c f(t)dt = d c f(t) cos mπt dt = = m π (s sen s + cos s) mπd mπc Assim a série de Fourier de cossenos de f é f () c,d (t) = a + m= t dt = (d c ) d c a m cos mπt = (d c ) + π t cos mπt dt = mπd s cos sds m π mπc (s sen s + cos s) m= Oserve que para a função f () () c,d (t) = t, para t, f,, temos que a m = m π (( )m ). m mπd mπc cos mπt Assim os termos de índice par são iguais a zero e neste caso a série de cossenos de f (), é dada por f (), (t) = 4 π (m )πt cos, (m ) m=

16 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 6 SÉRIES DE FOURIER Figura 7: A função f(t) = t em [, ] e as somas parciais da série de Fourier de senos de f, para n =,..., 6 Para a série de senos temos que para m =,,..., d m = f(t) sen mπt c dt = = m π ( s cos s + sen s) mπd mπc Assim, a série de Fourier de senos de f () c,d f () c,d (t) = m= m sen mπt = π d c t sen mπt dt = é dada por ( s cos s + sen s) m= m mπd s sen sds m π mπc mπd mπc Oserve que para a função f(t) = t, para t, f (), temos que m = mπ ( cos mπ) = ( )m+ mπ sen mπt

17 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos 7 e neste caso a série de senos de f (), f (), (t) = m= é dada por m sen mπt = π ( ) m+ mπt sen m Com os coeficientes das funções destes dois eemplos podemos determinar as séries de Fourier de várias funções que são cominações lineares delas. Isto por que os coeficientes das séries dependem linearmente das funções, ou seja, a m (αf + βg) = αa m (f) + βa m (g) e a m (αf + βg) = αa m (f) + βa m (g). Por eemplo, a função m= { t, se t / f(t) = t, se / < t pode ser escrita como f = f () (),/ + f /, f () /,. Assim os coeficientes a m e m podem ser calculados como a m (f) = a m (f (),/ ) + a m(f () /, ) a m(f () /, ) m (f) = m (f (),/ ) + m(f () /, ) m(f () /, ) Coeficientes das Séries de Fourier de Funções Elementares f : [, ] R a m = f(t) cos mπt dt m = f(t) sen mπt dt {, se c t d c,d (t) =, caso contrário f () a = (d c) a m = sen s mπd mπ mπc m = mπ cos s mπd mπc { t, se c t d c,d (t) =, caso contrário f () a = (d c ) a m = (s sen s + cos s) m π mπd mπc m = ( s cos s + sen s) m π mπd mπc

18 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 8 SÉRIES DE FOURIER Figura 8: A função f : [, ] R, dada por f(t) = t se t [, /] e f(t) = t se t [/, ] e somas parciais da série de Fourier de cossenos para n =,, Figura 9: A função f : [, ] R, dada por f(t) = t se t [, /] e f(t) = t se t [/, ] e somas parciais da série de Fourier de senos para n =, 3, 5 Eercícios (respostas na página 56) Ache as séries { de Fourier de senos e de cossenos das funções dadas:, se < /,.. f() =, se /,.. f() = {, se /4 < 3/4,, caso contrário,.3. f() = {, se < /,, se / <,

19 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos 9 {, se < /.4. f() =, se /, se < /4.5. f() = /4, se /4 < 3/4, se 3/4 < Comandos do Matla R : >> V(i)=[] elimina a componente i do vetor V. >> sms t diz ao Matla R que a variável t é uma variável simólica. >> f=epr define uma função através da epr que deve ser uma epressão na variável simólica t definida anteriormente. Comandos do pacote GAA: >>proj(g,f,a,) calcula f, g g g(t) = ( a (g(t)) dt a f(t)g(t)dt Por eemplo: >>proj(cos(5*pi*t),f,-pi,pi) calcula ( ) π π cos(5πt)f(t)dt cos(5πt) = π (cos(5πt)) dt π ( π ) = cos(5πt)f(t)dt cos(5πt) π π = a 5 cos(5πt). >>plotfproj(f,proj,a,) desenha as funções f e proj(k), para k variando de até o tamanho do vetor proj, no intervalo [a,]. ) g(t).

20 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 SÉRIES DE FOURIER Figura : A função f : [, ] R definida por f(t) = t, se t [, /4], f(t) = /4, se t [/4, 3/4] e f(t) = t, se t [3/4, ] e somas parciais da série de Fourier de cossenos para n =,, Figura : A função f : [, ] R definida por f(t) = t, se t [, /4], f(t) = /4, se t [/4, 3/4] e f(t) = t, se t [3/4, ] e somas parciais da série de Fourier de senos para n =, 3, 5

21 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Figura : A função f : [, ] R definida por f(t) =, se t [/, ] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de cossenos de f, para n =,, 3, 5, 7, 9

22 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 SÉRIES DE FOURIER Figura 3: A função f : [, ] R definida por f(t) =, se t [/, ] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de senos de f, para n =,, 3, 5, 6, 7

23 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos Figura 4: A função f : [, ] R definida por f(t) = t, se t [/, ] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de cossenos de f, para n =,,, 3, 5, 6

24 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 4 SÉRIES DE FOURIER Figura 5: A função f : [, ] R definida por f(t) = t, se t [/, ] e f(t) =, caso contrário e as somas parciais da série de Fourier de senos de f, para n =,, 3, 4, 5, 6

25 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos 5 Equações Diferenciais Parciais. Equação do Calor em uma Barra.. Etremidades a Temperaturas Fias u t = u α u(, ) = f(), < < u(, t) = T, u(, t) = T Vamos inicialmente resolver o prolema com T = T =, que chamamos de condições homogêneas. Condições Homogêneas u t = u α u(, ) = f(), < < u(, t) =, u(, t) = Vamos usar um método chamado separação de variáveis. Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, t) = X()T (t) Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como α X ()T (t) = X()T (t) X () X() = T (t) α T (t) O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = α T (t) T (t) = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() =, X() = T (t) α λt (t) =

26 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS A primeira equação pode ter como soluções, Se λ > : X() = C e λ + C e λ. Se λ = : X() = C + C. Se λ < : X() = C sen( λ) + C cos( λ). As condições de fronteira X() = e X() = implicam que λ < (verifique!), mais que isso λ tem ter valores dados por λ = n π, n =,, 3,... ou seja, a solução da primeira equação com as condições de fronteiras tem solução X() = C sen nπ, para,,3,.... Assim a segunda equação diferencial tem solução T (t) = C e α n π t, para,,3,.... ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, t) = X()T (t) = c n sen nπ α n π e t Além disso, cominações lineares dessas soluções são solução u(, t) = N u n (, t) = N Mais que isso, pode-se provar que tamém séries u(, t) = u n (, t) = c n sen nπ α n π e t c n sen nπ α n π e t são soluções. Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = f(), temos que ter f() = u(, ) = c n sen nπ.

27 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Equação do Calor em uma Barra 7 u u u u u u Figura 6: Solução da equação do calor do Eemplo 5 tomando apenas 3 termos não nulos da série, para t =,,, 5,, 3 Esta é a série de Fourier de senos de f(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função f() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n = f() sen nπ d, n =,, 3... Oserve que quando t tende a mais infinito a solução tende a zero. Eemplo 5. Vamos considerar uma arra de 4 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente α =, com as etremidades mantidas a temperatura de C e tal que a temperatura inicial é dada por { f() =, se < 4, se 4 Temos que resolver o prolema u t = u u(, ) = f(), < < 4 u(, t) =, u(4, t) =

28 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 8 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS A solução é então u(, t) = c n sen nπ n π 4 e 6 t em que c n são os coeficientes da série de senos de f(), ou seja, c n = 4 f() sen( nπ 4 )d = c n (f (),/ ) + 4c n(f () /, ) c n(f () /, ) = 8 n π ( s cos s + sen s) nπ/ 8 nπ cos s nπ 8 nπ/ n π ( s cos s + sen s) nπ nπ/ = 6 n π ( nπ cos(nπ/) + sen(nπ/) ) + 8 = Portanto a solução é 6 sen nπ n π, n =,, 3... u(, t) = 6 π Condições Não Homogêneas = 6 π n= sen nπ n ( ) n (n + ) nπ cos(nπ/) sen nπ n π 4 e 6 t (n + )π sen 4 u t = u α u(, ) = f(), < < u(, t) = T, u(, t) = T e (n+) π 6 t Oserve que uma função somente de tal que a segunda derivada é igual a zero satisfaz a equação do calor. Assim, u(, t) = T + (T T ) satisfaz a equação do calor e as condições de fronteira u(, t) = T e u(, t) = T. O que sugere como solução do prolema inicial u(, t) = T + (T T ) + c n sen nπ α n π e t

29 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Equação do Calor em uma Barra 9 ou Para satisfazer a condição inicial u(, ) = f(), temos que ter f() = T + (T T ) + f() T (T T ) = c n sen nπ c n sen nπ. Esta é a série de Fourier de senos de f() T (T T ). Assim pelo Corolário 6 na página se a função f() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n = [ f() T (T T ) ] sen nπ d, n =,, 3... Oserve que quando t tende a mais infinito a solução tende a solução chamada solução estacionária. v(, t) = T + (T T ) Eemplo 6. Vamos considerar uma arra de 4 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente α =, com as etremidades mantidas a temperaturas de C e 3 C e tal que a temperatura inicial é dada por { +, se < f() = 7, se 4 Temos que resolver o prolema u t = u u(, ) = f(), < < 4 u(, t) =, u(4, t) = 3 A solução é então u(, t) = + + c n sen nπ n π 4 e 6 t

30 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS 5 4 u 5 4 u 5 4 u u 5 4 u 5 4 u Figura 7: Solução da equação do calor do Eemplo 6 tomando apenas 3 termos não nulos da série, para t =,,, 5,, 3 em que c n são os coeficientes da série de senos de { 3, se < f() / = 6 3, se 4 ou seja, c n = 3 c n(f (),/ ) + 6c n(f () /, ) 3 c n(f () /, ) = n π ( s cos s + sen s) nπ/ nπ cos s nπ nπ/ n π ( s cos s + sen s) nπ nπ/ = 4 ( nπ ) n π cos(nπ/) + sen(nπ/) + nπ cos(nπ/) = 4 sen nπ n π, n =,, 3... Portanto a solução é dada por u(, t) = π = π n= sen nπ n ( ) n (n + ) sen nπ n π 4 e 6 t (n + )π sen 4 e (n+) π 6 t

31 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Equação do Calor em uma Barra 3 Oserve que quando t tende a mais infinito a solução tende a solução estacionária v(, t) = +... Barra Isolada nos Etremos u t = u α u(, ) = f(), < < u (, t) =, u (, t) = Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, t) = X()T (t) Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como α X ()T (t) = X()T (t) X () X() = T (t) α T (t) O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = α T (t) T (t) = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X () =, X () = T (t) α λt (t) = A primeira equação pode ter como soluções, Se λ > : X() = C e λ + C e λ. Se λ = : X() = C + C. Se λ < : X() = C sen( λ) + C cos( λ).

32 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 3 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS As condições de fronteira X () = e X () = implicam que λ, mais que isso λ tem ter valores dados por λ = n π, n =,,, 3,... ou seja, a solução da primeira equação com as condições de fronteiras tem solução X() = C cos nπ, para n=,,,3,.... Assim a segunda equação diferencial tem solução T (t) = C e α n π t, para n=,,,3,.... ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, t) = X()T (t) = c n cos nπ t α n π e Além disso, cominações lineares dessas soluções são solução u(, t) = N u n (, t) = n= N n= c n cos nπ α n π e t Mais que isso, pode-se provar que tamém séries u(, t) = u n (, t) = c n cos nπ α n π e t n= são soluções. Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = f(), temos que ter f() = u(, ) = c n cos nπ. Esta é a série de Fourier de cossenos de f(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função f() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c = f()d, c n = n= n= f() cos nπ d, n =,, 3... Oserve que a solução tende a v(, t) = c, quando t tende a mais infinito, ou seja, a temperatura da arra vai tender a ficar constante e igual ao valor médio da temperatura inicial.

33 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Equação do Calor em uma Barra 33 u u u u u u Figura 8: Solução da equação do calor do Eemplo 7 tomando apenas 3 termos não nulos da série, para t =,,, 5,, 3 Eemplo 7. Vamos considerar uma arra de 4 cm de comprimento, isolada nos lados, com coeficiente α =, com as etremidades tamém isoladas, ou seja, u u (, ) = (4, t) = e tal que a temperatura inicial é dada por {, se < f() = 4, se 4 Temos que resolver o prolema A solução é então u = u t u(, ) = f(), < < 4 u (, t) =, u (4, t) = u(, t) = n= c n cos nπ n π 4 e 6 t

34 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 34 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS em que c n são os coeficientes da série de cossenos de f(), ou seja, c = 4 c n = = 8 Portanto a solução é dada por u(, t) = + 8 π = + 8 π = 8 π 4 4 f()d =, f() cos nπ 4 d nπ cos ( )n, n =,, 3... n π n= cos nπ ( )n cos nπ n π n 4 e 6 t ( ) n 4n (n + ) cos nπ n π e 4 t (n + )π cos e (n+) π 4 t Oserve que a solução tende a v(, t) =, quando t tende a mais infinito.

35 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Corda Elástica Com Etremidades Presas 35. Corda Elástica Com Etremidades Presas u t = a u u u(, ) = f(), (, ) = g(), < < t u(, t) =, u(, t) = A solução deste prolema é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f() e g() não nulas... Com Velocidade Inicial Nula u t = a u u u(, ) = f(), (, ) =, < < t u(, t) =, u(, t) = Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, t) = X()T (t) Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como a X ()T (t) = X()T (t) X () X() = T (t) a T (t) O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = a T (t) T (t) = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() =, X() = T (t) a λt (t) =, T () =

36 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 36 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS A primeira equação com as condições de fronteira foi resolvida no prolema do calor em uma arra e tem solução somente se λ = n π, n =,, 3,... ou seja, a solução da primeira equação com as condições de fronteiras tem solução X() = C sen nπ. A segunda equação diferencial com a condição inicial tem solução T (t) = C cos anπt ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, t) = X()T (t) = c n sen nπ anπt cos Além disso, pode-se provar que tamém séries u(, t) = u n (, t) = c n sen nπ anπt cos são soluções. Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = f(), temos que ter f() = u(, ) = c n sen nπ. Esta é a série de Fourier de senos de f(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função f() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n = f() sen nπ d, n =,, 3... Oserve que a solução u(, t) para cada é periódica com período a. As soluções u n (, t) = [cos anπt ] sen nπ

37 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Corda Elástica Com Etremidades Presas 37 u u u Figura 9: Modos naturais de viração sen nπ, para n =,, 3 podem ser vistas como senos com amplitude variando de forma cossenoidal A n (t) = cos anπt com freqüências anπ chamadas freqüências naturais da corda. Para cada n a função sen nπ nπ é chamada modo natural de viração e o período é chamado comprimento de onda do modo natural. Eemplo 8. Vamos considerar uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por {, se < f() = 4, se 4 Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) = f(), (, ) =, < < 4 t u(, t) =, u(4, t) = A solução é então u(, t) = c n sen nπ 4 cos nπt em que c n são os coeficientes da série de senos de f(), ou seja, c n = 4 f() sen nπ 4 d = 6 sen nπ n π, n =,, 3...

38 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 38 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS u u u u u u Figura : Solução do prolema da corda elástica do Eemplo 8 tomando apenas 3 termos não nulos da série, para t =, 5,, 5,, 5 Portanto a solução é dada por u(, t) = 6 π = 6 π n= sen nπ n sen nπ 4 cos nπt ( ) n (n + )π (n + )πt sen cos (n + ) 4.. Com Deslocamento Inicial Nulo u t = a u u u(, ) =, (, ) = g(), < < t u(, t) =, u(, t) = Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, t) = X()T (t)

39 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Corda Elástica Com Etremidades Presas 39 Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como a X ()T (t) = X()T (t) X () X() = T (t) a T (t) O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = a T (t) T (t) = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() =, X() = T (t) a λt (t) =, T () = A primeira equação com as condições de fronteira foi resolvida no prolema do calor em uma arra e tem solução somente se λ = n π, n =,, 3,... ou seja, a solução da primeira equação com as condições de fronteiras tem solução X() = C sen nπ, para n=,,,3,.... A segunda equação diferencial com a condição inicial tem solução T (t) = C sen anπt, para n=,,,3,.... ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, t) = X()T (t) = c n sen nπ anπt sen Além disso, pode-se provar que tamém séries são soluções. u(, t) = u n (, t) = c n sen nπ anπt sen

40 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Mas para satisfazer a condição inicial u (, ) = g(), temos que ter t g() = u t (, ) = anπ c n sen nπ. Esta é a série de Fourier de senos de g(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função g() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por anπ c n = g() sen nπ d, n =,, 3... Oserve que a solução u(, t) para cada é periódica com período a. u u u u u u Figura : Solução do prolema da corda elástica do Eemplo 9 tomando apenas 3 termos não nulos da série, para t =, 5,, 5,, 5 Eemplo 9. Vamos considerar uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a =, sem deslocamento inicial mas com uma velocidade inicial dada por {, se < g() = 4, se 4

41 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos. Corda Elástica Com Etremidades Presas 4 Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) =, (, ) = g(), < < 4 t u(, t) =, u(4, t) = A solução é então u(, t) = c n sen nπ 4 sen nπt em que nπc n são os coeficientes da série de senos de g(), ou seja, 4 nπ c n = g() sen nπ 4 d nπ 6 sen = n =,, 3... n π c n = 48 sen nπ, n =,, 3... n 3 π 3 Portanto a solução é dada por u(, t) = 3 π 3 = 3 π 3 n= sen nπ n 3 sen nπ 4 sen nπt ( ) n (n + )π (n + )πt sen sen (n + ) Caso Geral u t = a u u u(, ) = f(), (, ) = g(), < < t u(, t) =, u(, t) = Como dissemos antes a solução deste prolema é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f() e g() não nulas, ou seja, u(, t) = u (f) (, t) + u (g) (, t).

42 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 4 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Eemplo. Vamos considerar uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a =, com deslocamento inicial f() e com uma velocidade inicial g() dados por {, se < f() = g() = 4, se 4 Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) = f(), (, ) = g(), < < 4 t u(, t) =, u(4, t) = A solução é então u(, t) = c n sen nπ 4 nπt cos + d n sen nπ 4 sen nπt em que c n e nπd n são os coeficientes da série de senos de f() e de g(), respectivamente, ou seja, c n = 4 f() sen nπ 4 d = 6 sen nπ, n =,, 3... n π 4 nπ d n = g() sen nπ 4 d nπ 6 sen = n =,, 3... n π nπ 3 sen d n =, n =,, 3... n 3 π 3 Portanto a solução é dada por u(, t) = 6 sen nπ sen nπ nπt cos π n sen nπ π 3 n 3 = 6 π ( ) n (n + )π sen cos (n + ) 4 n= + 3 π 3 n= (n + )πt ( ) n (n + )π (n + )πt sen sen (n + ) 3 4 sen nπ 4 sen nπt

43 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 43.3 Equação de aplace num Retângulo Vamos considerar o prolema de valor de contorno em um retângulo gerado pela equação de aplace u + u = u(, ) = f(), u(, ) = g(), < < a u(, ) = h(), u(a, ) = k(), < < Este prolema é chamado prolema de Dirichlet. A solução deste prolema é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f(), g(), h() e k() não nulas. g() h() k() f() a Figura : Região onde é resolvido o prolema de Dirichlet

44 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 44 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.3. Apenas k() Não Nula u + u =, u(, ) =, u(, ) =, < < a u(, ) =, u(a, ) = k(), < < Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, ) = X()Y () Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como X ()Y () + X()Y () = X () X() = Y () Y () O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = Y (t) Y () = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() = Y () + λy () =, Y () =, Y () = A segunda equação com as condições de fronteira tem solução somente se λ = n π, para n =,, 3,... e neste caso a solução é da forma Y () = C sen nπ, n =,, 3,... A primeira equação diferencial com a condição X() = tem solução X() = C (e nπ e nπ ) = C senh nπ ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, ) = X()Y () = c n sen nπ senh nπ

45 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 45 Além disso, pode-se provar que tamém séries u(, ) = u n (, ) = c n sen nπ senh nπ são soluções. Mas para satisfazer a condição inicial u(a, ) = k(), temos que ter k() = u(a, ) = c n sen nπ senh nπa = [ c n senh nπa ] sen nπ. Esta é a série de Fourier de senos de k(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função k() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n senh nπa = k() sen nπ d, n =,, 3... z Figura 3: Solução da equação de aplace do Eemplo tomando apenas 3 termos não nulos da série

46 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 46 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Eemplo. Vamos considerar a equação de aplace num retângulo com A solução é então u + u = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) =, u(3, ) = k(), < < { k() = u(, ) =, se, se c n sen nπ senh nπ em que c n senh( 3nπ ) são os coeficientes da série de cossenos de k(), ou seja, c n senh 3nπ c n = Portanto a solução é dada por u(, ) = 8 π = 8 π n= sen nπ n senh 3nπ = = k() sen nπ d nπ 8 sen, n =,, 3... n π 8 sen nπ n π senh 3nπ, n =,, 3... ( ) n sen nπ (n + ) senh 3(n+)π senh nπ sen (n + )π senh (n + )π.3. Apenas h() Não Nula u + u = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) = h(), u(a, ) =, < <

47 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 47 Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, ) = X()Y () Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como X ()Y () + X()Y () = X () X() = Y () Y () O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = Y (t) Y () = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X(a) = Y () + λy () =, Y () =, Y () = A segunda equação com as condições de fronteira tem solução somente se λ = n π, para n =,, 3,... e neste caso a solução é da forma Y () = C sen nπ, n =,, 3,... A primeira equação diferencial com a condição X(a) = tem solução X() = C (e nπ ( a) e nπ ( a) ) = C senh( nπ ( a)) ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, ) = X()Y () = c n sen nπ Além disso, pode-se provar que tamém séries são soluções. u(, ) = u n (, ) = c n sen nπ senh( nπ ( a)) senh( nπ ( a))

48 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 48 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = h(), temos que ter h() = u(, ) = c n sen nπ senh nπa = [ c n senh nπa ] sen nπ. Esta é a série de Fourier de senos de h(). Assim pelo Corolário 6 na página se a função h() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n senh nπa = Podemos evitar o sinal de menos se escrevemos u(, ) = u n (, ) = c n sen nπ e neste caso c n senh nπa = h() sen nπ d, n =,, 3... senh( nπ (a )) h() sen( nπ )d, n =,, 3... z Figura 4: Solução da equação de aplace do Eemplo tomando apenas 3 termos não nulos da série

49 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 49 Eemplo. Vamos considerar a equação de aplace num retângulo com A solução é então u + u = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) = h(), u(3, ) =, < < { h() = u(, ) =, se, se c n sen nπ senh(nπ (3 )) em que c n senh( 3nπ ) são os coeficientes da série de senos de h(), ou seja, c n senh( 3nπ ) = c n = Portanto a solução é dada por u(, ) = 8 π = 8 π n= sen nπ n senh 3nπ = h() sen( nπ )d nπ 8 sen, n =,, 3... n π 8 sen nπ n π senh 3nπ, n =,, 3... ( ) n sen nπ (n + ) senh 3(n+)π senh nπ sen (n + )π senh (n + )π(3 ).3.3 Caso Geral u + u = u(, ) = f(), u(, ) = g(), < < a u(, ) = h(), u(a, ) = k(), < <

50 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Como dissemos anteriormente a solução deste prolema é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f(), g(), h() e k() não nulas, ou seja, u(, ) = u (f) (, ) + u (g) (, ) + u (h) (, ) + u (k) (, ). z Figura 5: Solução da equação de aplace do Eemplo 3 tomando apenas 3 termos não nulos da série Eemplo 3. Vamos considerar a equação de aplace num retângulo u + u = com A solução é então u(, ) = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) = h(), u(3, ) = k(), < < { h() = k() = c n sen nπ, se, se ( senh nπ ) nπ(3 ) + senh

51 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 5 em que c n senh 3nπ são os coeficientes da série de senos de k(), ou seja, c n senh 3nπ c n = = = k() sen nπ d nπ 8 sen, n =,, 3... n π 8 sen nπ senh( 3nπ, n =,, 3... )n π

52 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 5 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Eercícios (respostas na página 57).. Encontre a temperatura u(, t) em uma arra de metal com 4 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de C, supondo que α = e que suas etremidades são mantidas a temperatura de C... Encontre a temperatura u(, t) em uma arra de metal com 4 cm de comprimento, isolada dos lados e que está inicialmente a uma temperatura uniforme de C, supondo que α = e que suas etremidades são mantidas a temperatura de C e 6 C respectivamente. Qual a temperatura estacionária?.3. Considere uma arra de comprimento, α =, isolada dos lados e que está inicialmente a temperatura dada por u(, ) = 3/, 4 e que as etremidades estão isoladas. (i) Determine u(, t). (ii) Qual a temperatura estacionária?.4. Determine o deslocamento, u(, t), de uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por, se < f() =, se < 3 4, se 3 < 4.5. Determine o deslocamento, u(, t), de uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = solta do repouso de forma que o deslocamento inicial seja dado por sen(π/), para < < Determine o deslocamento, u(, t), de uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = com deslocamento inicial nulo solta de forma que a velocidade inicial seja dada por, se < g() =, se < 3 4, se 3 < 4.7. Determine o deslocamento, u(, t), de uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = com deslocamento inicial nulo solta de forma que a velocidade inicial seja dada por sen(π/), para < < 4.

53 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo Determine o deslocamento, u(, t), de uma corda de 4 cm de comprimento, presa nos lados, com coeficiente a = com deslocamento inicial f() solta de forma que a velocidade inicial seja g() em que, se < f() = g() =, se < 3 4, se 3 < 4.9. Resolva o seguinte prolema u + u = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) =, u(3, ) = k(), < < com, se < / k() = /, se / < 3/, se 3/ <.. Resolva o seguinte prolema u + u = u(, ) =, u(, ) =, < < 3 u(, ) = h(), u(3, ) =, < < com, se < / h() = /, se / < 3/, se 3/ <.. Resolva o seguinte prolema u + u = u(, ) =, u(, ) = g(), < < 3 u(, ) =, u(a, ) =, < <

54 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 54 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.. Resolva o seguinte prolema u + u =.3. Resolva o seguinte prolema u + u = u(, ) = f(), u(, ) =, < < 3 u(, ) =, u(a, ) =, < < u(, ) = f(), u(, ) = g(), < < a u(, ) = h(), u(a, ) = k(), < <.4. Vamos considerar o prolema de valor de contorno em um retângulo gerado pela equação de aplace u + u = u (, ) = f(), u(, ) = g(), < < a u (, ) = h(), u(a, ) = k(), < < Este prolema é chamado prolema de Neuman. A solução deste prolema é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f(), g(), h() e k() não nulas. (i) Resolva o prolema (ii) Resolva o prolema u + u = u (, ) =, u(, ) =, < < a u (, ) =, u(a, ) = k(), < < u + u = u (, ) =, u (, ) =, < < a u u (, ) = h(), (a, ) =, < <

55 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 55 (iii) Por analogia escreva a solução dos prolemas com somente f() diferente de zero, com somente g() diferente de zero e determine a solução do prolema de Neuman no caso geral u + u = u (, ) = f(), u (, ) = g(), < < a u u (, ) = h(), (a, ) = k(), < < (iv) Eplique por que este prolema não tem solução única. (v) Eplique por que o prolema só tem solução se k()d = h()d = a g()d = a f()d =

56 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 56 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS Respostas dos Eercícios. Séries de Fourier (página 8).. f() = sen mπ mπ cos π m = π m= m= f() = cos mπ ( )m sen mπ π m = m= = ( ) m sen mπ π m + π m + m= m= = (4m + )π sen + π m + π m=.. f() = + π f() = π m=.3. f() = f() = π m= m= cos mπ 4 π.4. f() = 4 + = 4 + π = 4 π f() = 4 π π m= m= m= mπ.5. f() = π f() = π sen 3mπ sen mπ 4 4 m m= m= cos 3mπ 4 m sen mπ m= cos mπ. cos mπ cos mπ mπ mπ sen m cos mπ mπ cos mπ sen mπ m cos mπ ( )m cos mπ m ( ) m 4m cos mπ (4m + )π cos. (m + ) sen mπ sen mπ m = 4 π m= m= sen mπ 4 cos mπ 4 + sen 3mπ 4 m m= ( ) m m + sen (m + )π (m + )π cos. = (m + )π sen m + cos mπ. sen mπ ( ) m (m + )π sen (m + ) 3mπ + cos ( ) m 4 cos mπ m. sen mπ

57 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 57. Equações Parciais (página 5).. Temos que resolver o prolema u t = u A solução é então u(, ) = f(), < < 4 u(, t) =, u(4, t) = u(, t) = c n sen nπ n π 4 e 6 t em que c n são os coeficientes da série de senos de f(), ou seja, c n = Portanto a solução é dada por u(, t) = 4 π 4 f() sen( nπ 4 )d = c n (f (), ) = nπ cos s nπ = 4 ( cos(nπ)) nπ = 4 nπ ( ( )n ), n =,, 3... = 8 π ( ) n n= n n +.. Temos que resolver o prolema u t = u sen nπ n π 4 e 6 t + )π sen((n )e (n+) π t 6 4 u(, ) = f(), < < 4 u(, t) =, u(4, t) = 6

58 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 58 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS A solução é então u(, t) = 3 + em que c n são os coeficientes da série de senos de c n sen nπ n π 4 e 6 t ou seja, f() 3 = 3 c n = c n (f (), ) 3 c n(f (), ) = 4 nπ cos s nπ n π ( s cos s + sen s) nπ = 4 nπ Portanto a solução é dada por (cos(nπ) ) ( nπ cos(nπ)) n π = 6(( )n /4), n =,, 3... nπ u(, t) = π ( ) n /4 n sen nπ n π 4 e 6 t Quando t tende a mais infinito a solução tende a solução estacionária v(, t) = (i) Temos que resolver o prolema u t = u u(, ) = f(), < < 4 u t (, t) =, u (4, t) = t A solução é então u(, t) = n= c n cos nπ n π 4 e 6 t

59 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 59 em que c n são os coeficientes da série de cossenos de f(), ou seja, c = 4 c n = Portanto a solução é dada por u(, t) = π = 3 6 π 4 4 f()d = 3, f() cos( nπ 4 )d = 8 ( )n n π, n =,, 3... n= ( ) n n (n + ) cos nπ n π 4 e 6 t + )π cos((n 4 (ii) A solução tende a v(, t) = 3, quando t tende a mais infinito..4. Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) = f(), (, ) =, < < 4 t u(, t) =, u(4, t) = A solução é então u(, t) = c n sen nπ 4 cos nπt em que c n são os coeficientes da série de senos de f(), ou seja, c n = Portanto a solução é dada por u(, t) = 8 π 4 = 8 sen nπ 4 π f() sen( nπ 4 )d sen nπ 4 + sen 3nπ 4 n, n =,, sen 3nπ 4 n sen nπ 4 )e (n+) π 6 t cos nπt

60 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.5. u(, t) = sen( π ) cos( π t).6. Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) =, (, ) = g(), < < 4 t u(, t) =, u(4, t) =.7. A solução é então u(, t) = c n sen nπ 4 sen nπt em que nπ c n são os coeficientes da série de senos de g(), ou seja, nπ c n = c n = 6 4 = 8 sen nπ 4 π π 3 Portanto a solução é dada por u(, t) = 6 π 3 sen nπ 4 g() sen( nπ 4 )d + sen 3nπ 4 n n =,, sen 3nπ 4 n 3, n =,, 3... sen nπ 4 + sen 3nπ 4 n 3 sen nπ 4 u(, t) = π sen( π ) sen( π t) sen nπt.8. Temos que resolver o prolema u t = u 4 u u(, ) = f(), (, ) = g(), < < 4 t u(, t) =, u(4, t) =

61 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 6 A solução é a soma das soluções dos prolemas com apenas uma das funções f() e g() não nulas. u(, t) = c n sen nπ anπt cos + d n sen nπ anπt sen em que c n e nπ d n são os coeficientes da série de senos de f() e de g(), respectivamente, ou seja, c n = 4 f() sen( nπ = 8 sen nπ 4 π 4 )d 3nπ + sen 4, n =,, 3... n nπ d n = 4 g() sen( nπ d n = 6 = 8 sen nπ 4 π π 3 Portanto a solução é dada por.9. A solução é então u(, t) = 8 π 6 π 3 u(, ) = sen nπ 4 sen nπ 4 4 )d 3nπ + sen 4 n =,, 3... n + sen 3nπ 4 n 3, n =,, 3... sen nπ 4 + sen 3nπ 4 n 3nπ + sen 4 n 3 c n sen nπ sen nπ 4 sen nπ 4 senh nπ 3 cos nπt + sen nπt em que c n senh( 3nπ ) são os coeficientes da série de senos de k(), ou seja, c n senh( 3nπ ) = = 4 π sen nπ 4 k() sen( nπ )d + sen 3nπ 4 n, n =,, 3...

62 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 6 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS c n = 4 sen nπ 4 π Portanto a solução é dada por u(, ) = 4 π.. A solução é então = 8 π n= sen nπ 4 + sen 3nπ 4 n senh( 3nπ), n =,, nπ + sen 4 ) sen nπ n senh( 3nπ senh nπ 3 ( ) n (n + )π sen senh( 3(n+)π )(n + ) u(, ) = c n sen nπ senh(nπ 3 (3 )) senh (n + )π 3 em que c n senh( 3nπ ) são os coeficientes da série de senos de h(), ou seja, c n senh( 3nπ ) = c n = 4 sen nπ 4 π Portanto a solução é dada por u(, ) = 4 π = 8 π n= sen nπ 4 = 4 π sen nπ 4 h() sen nπ d + sen 3nπ 4 n senh 3nπ 3nπ + sen 4 ) sen nπ n senh( 3nπ + sen 3nπ 4 n, n =,, 3..., n =,, 3... senh nπ 3 ( ) n (n + )π sen senh( 3(n+)π )(n + ) senh (n + )π(3 ) 3.. Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, ) = X()Y () Derivando e sustituindo-se na equação otemos X ()Y () + X()Y () =

63 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 63 que pode ser reescrita como X () X() = Y () Y () O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = Y (t) Y () = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() =, X(a) = Y () + λy () =, Y () =, A primeira equação com as condições de fronteira tem solução somente se λ = n π, a para n =,, 3,... e neste caso a solução é da forma X() = C sen nπ, n =,, 3,... a Assim a segunda equação diferencial com a condição Y () = tem solução Y () = C (e nπ a e nπ a ) = C senh nπ a ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, ) = X()Y () = c n sen nπ nπ senh a a Além disso, pode-se provar que tamém séries são soluções. u(, ) = u n (, t) = c n sen nπ a nπ senh a Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = g(), temos que ter g() = c n sen nπ nπ senh a a = [c n senh( nπ ] a ) sen( nπ a ). Assim pelo Corolário 6 na página se a função g() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n senh( nπ a ) = a a g() sen( nπ )d, n =,, 3... a

64 Séries de Fourier e Equações Diferenciais Parciais de novemro de 7 64 EQUAÇÕES DIFERENCIAIS PARCIAIS.. Vamos procurar uma solução na forma de um produto de uma função de por uma função de t, ou seja, u(, t) = X()Y () Derivando e sustituindo-se na equação otemos que pode ser reescrita como X ()Y () + X()Y () = X () X() = Y () Y () O primeiro memro depende apenas de, enquanto o segundo depende apenas de t. Isto só é possível se eles forem iguais a uma constante X () X() = Y (t) Y () = λ. Otemos então duas equações diferenciais ordinárias { X () λx() =, X() = ; X(a) = Y () + λy () =, Y () = A primeira equação com as condições de fronteira tem solução somente se λ = n π a, para n =,, 3,... e neste caso a solução é da forma X() = C sen nπ, n =,, 3,... a Assim a segunda equação diferencial com a condição Y () = tem solução Y () = C (e nπ a ( ) e nπ a ( ) ) = C senh nπ( ) a ogo o prolema formado pela equação diferencial parcial e as condições de fronteira tem soluções da forma u n (, ) = X()Y () = c n sen nπ a Além disso, pode-se provar que tamém séries u(, t) = u n (, t) = N c n sen nπ a senh nπ( ) a senh nπ( ) a

65 de novemro de 7 Reginaldo J. Santos.3 Equação de aplace num Retângulo 65 são soluções. Mas para satisfazer a condição inicial u(, ) = f(), temos que ter f() = c n sen nπ a senh(nπ a ) = [ c n senh( nπ a ) ] sen( nπ a ). Assim pelo Corolário 6 na página se a função f() pertencente ao espaço das funções contínuas por partes, CP[, ], então os coeficientes são dados por c n senh( nπ a ) = a a Podemos evitar o sinal de menos se escrevemos u(, t) = u n (, t) = f() sen nπ d, n =,, 3... a c n sen nπ a senh nπ( ) a e neste caso c n senh( nπ a ) = a a f() sen( nπ )d, n =,, 3... a.3. u + u = u(, ) = f(), u(, ) = g(), < < a u(, ) = h(), u(a, ) = k(), < < em que u(, ) = u (f) (, t) + u (g) (, t) + u (h) (, t) + u (k) (, t), u (f) (, ) = u (g) (, ) = u (h) (, ) = c (f) n c (h) n nπ nπ( ) sen senh a a c (g) n sen nπ a nπ senh a nπ nπ(a ) sen senh