Exercício 2. (F. 10.1, ex.2.1) Ache a função de Green do problema abaixo: v 0 (0) = 1

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1 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 PROF: PEDRO T P LOPES WWWIMEUSPBR/ PPLOPES/TMA Os eercícios a seguir foram selecionaos o livro o G Follan e as notas e João Barata F X, ey inica o eercício Y o capítulo X o livro o Follan e B X, ey inica o eercício Y o capítulo X as notas e J Barata Eercícios para achar a função e Green para problemas e valor inicial Eercício Este eercício poe ser útil para eterminar as soluções os problemas abaio: Seja aa a equação m u + a m u m m + + a m 0 u = 0 a Mostre que e λ é solução a equação acima se λ é raiz e λ m + a m λ m + + a 0 = 0 b Mostre que, para a equação u + a + a 0u = 0, se λ + a λ + a 0 = 0 tem apenas uma raiz λ 0, isto é, λ + a λ + a 0 = λ λ 0, então e λ0t e te λ0t são soluções o problema Resolução: a Basta observar que j e λ = λ j e λ Desta maneira, se u = e λ, temos j m u m + a m u m m + + a 0u = λ m + a m λ m + + a 0 e λ se λ é raiz e λ m + a m λ m + + a 0 = 0, então e λ é solução a equação b Neste caso, temos λ + a λ + a 0 = λ λ 0 = λ λ 0 λ + λ 0 a = λ 0 e a 0 = λ 0 λ 0 + λ 0 e λ0 = λ 0 λ 0 + λ 0 e λ 0 = 0 λ 0 + λ 0 e λ0 = λ 0 e λ0 + λ 0 e λ0 + λ 0e λ0 λ 0 e λ0 λ 0e λ0 + λ 0e λ0 = 0 Eercício F 0, e Ache a função e Green o problema abaio: u + 4u + 4u = f u 0 = u 0 = 0 Resposta: G, = e H H Para achar a função e Green, vamos resolver v 0 + 4v 0 + 4v 0 = 0 v 0 0 = 0 v 0 0 = Vamos procurar soluções a forma v 0 = e λ Substituino na equação, obtemos λ e λ + 4λe λ + 4e λ = 0 λ + 4λ + 4 λ = 0 evemos ter λ + 4λ + 4 = 0, ou seja, λ + = 0 e t é solução Pelo eercício vemos que te t é outra solução v 0 t = Ae t + Bte t Como v 0 0 = 0, concluímos que A = 0 v 0 t = Bte t Como v 0 0 =, concluímos que B = e v 0 t = te t Assim, v t = v 0 t = t e t a função e Green é igual a Gt, s = t s e t s H t s H s Eercício 3 F 0, e Ache a função e Green o problema abaio: u + 9u + 0u = f u 0 = u 0 = 0

2 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 Resposta: G, = e 4 e 5 H H Para achar a função e Green, vamos resolver v 0 + 9v 0 + 0v 0 = 0 v 0 0 = 0 v 0 0 = Vamos procurar soluções a forma v 0 = e λ Substituino na equação, obtemos λ e λ + 9λe λ + 0e λ = 0 λ + 9λ + 0 λ = 0 evemos ter λ + 9λ + 0 = 0, ou seja, λ + 4 λ + 5 = 0 e 4t e e 5t são soluções v 0 t = Ae 4t + Be 5t Para satisfazer as conições v 0 0 = 0 e v 0 0 =, evemos ter A = e B = v 0 t = e 4t e 5t Assim, v t = v 0 t = e 4t e 5t a função e Green é igual a G, = e 4 e 5 H H Eercício 4 F 0, e3 Ache a função e Green o problema abaio: u 4 + u = f u 0 = u 0 = u 0 = u 0 = 0 Resposta: G, = v H H, em que e a = v = a 3 [ e a cos a sen a + e a cos a + sen a ], Eercício 5 F 0, e4 Ache a função e Green o problema abaio: u + 4u + u = f u = u, = 0 para > 0 Resposta: G, = H H Para achar a função e Green, vamos resolver v + 4v + v = 0 v = 0 v = Vamos procurar soluções a forma v = λ Substituino na equação, obtemos λ λ λ + 4λ λ + λ = 0 λ λ + 4λ + λ = 0 evemos ter λ +3λ+ = 0, ou seja, λ = ou λ = Assim, v = a +b Usano as conições iniciais, vemos que a + b = 0 a b 3 = a = e b = Portanto v = A solução o problema será, então u = ˆ v = ˆ a função e Green é igual a H H v H H Eercícios para achar a função e Green para problemas e Contorno Eercício 6 B 8, e8, 8, 83 Verique que o problema: a u = 0 com u 0 = 0 e u = não tem solução b u = 0 com u 0 = 0 e u = 0 tem innita soluções c u + u = 0 com u0 = a e uπ = b tem innitas soluções se a = b e não tem solução se a b Resolução: a Vemos que se u = 0, então u = a + b Como u 0 = 0 e u =, concluímos que a = 0 e a = Absuro b Toa função constante é solução o problema

3 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 3 c Se u + u = 0, então u = Acos + φ u 0 = Acos φ = a e u = Acos π + φ = Acos φ = b para se a b, temos uma contraição e não eistem soluções Se a = b, então a cosφ cos + φ é solução para qualquer que seja φ Eercício 7 B 8, e8 Determine eplicitamente a função e Green para os seguintes problemas: a u = f, com u0 = 0 e u = b u = f, com u0 = 0 e u = 0 c u = f, com u0 = 0 e u + u = 0 u + u = f, com u0 = 0 e u = 0 e = f, com u = 0 e ue = 0 Resposta: a Note que a conição e contorno correta é u = 0 Vemos que u = 0 u 0 = 0 tem solução v 0 = e que u = 0 u = 0 tem solução v = W = v 0 v v 0 v = =, < G, =, > b Vemos que tem solução v 0 = e que u = 0 u 0 = 0 u = 0 u = 0 tem solução v = W = v 0 v v 0 v =, < G, =, > c Vemos que tem solução v 0 = e que u = 0 u 0 = 0 u = 0 u + u = 0 tem solução v = + W = v 0 v v 0 v = + = G, =, <, > Vemos que tem solução v 0 = sen e que u + u = 0 u 0 = 0 u = 0 u = 0 tem solução v = cos W = sen sen + cos cos = cos = cos sencos cos, < G, = sencos cos, >

4 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 4 e Se = 0, então tem solução v 0 = ln e que = C e u = Cln + D Vemos que = 0 u = 0 = 0 u e = 0 tem solução v = ln W = ln ln = Como p =, já que u + concluímos que G, = ln ln, < ln ln, > = Eercício 8 B 8, e83 Determine eplicitamente a solução os cinco problemas acima no caso em que f = Eercício 9 B 8, e80 Determine a função e Green para o seguinte problema e Sturm: u = f, com α ua + α u a = 0, β ub + β u b = 0, com [a, b], a < b Suponha que α, α, β e β são valores que permitam a construção e funções e Green Eercício 0 F 0, e5 Ache a função e Green o problema abaio: u u + u = f u = u = 0 Resposta: G, = 3, para > 3 Procurano soluções a forma u = λ, obtemos λ λ λ + λ = λ 3λ + λ = λ λ u = a + b u u + u = 0 u = 0 tem solução v = Vemos também que u u + u = 0 u = 0 tem solução v = W = = = G, = 4, para > 4 Eercício F 0, e6 Ache a função e Green o problema abaio: u + µ u = f u 0 = u π, = 0 em que µ, 3, 5, Resposta: G, = sen µ cosµ + π /µcos µπ A solução geral a equação u + µ u = 0 é u = Acos µ + Bsen µ u + µ u = 0 u 0 = 0 tem solução particular v 0 = sen µ A equação u + µ u = 0 u π = 0

5 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 5 tem solução particular v π = cos µ π W = µsen µ sen µ G, = π µcos µ cos senµcosµ π µcos µπ senµcosµ π µcos µπ, para > Eercício F 0, e7 Ache a função e Green o problema abaio: u + µ u = f u 0 = 0 e u = u, µ π = µcos µπ em que tan µ + µ 0 Resposta: G, = sen µ [senµ + µcos + ] / µsenµ + µ cosµ 3 Eercícios para achar a função e Green para problemas e Contorno com conições no Infinito Eercício 3 F 0, e9 Ache a função e Green o problema abaio: u + µ u = f u 0 = u = 0, em que Imµ > 0 Resposta: G, = µ senµ e iµ+ Vemos que u + µ u = 0 tem solução geral u = Acos µ + Bsen µ = Ce iµ + De iµ Assim, u + µ u = 0 u 0 = 0 tem solução particular v 0 = sen µ Por outro lao u + µ u = 0 u = 0 tem solução particular v = e iµ Vemos que W = iµsen µ e iµ µcos µ e iµ = µe iµ e iµ + e iµ = µ µe iµ G, = senµe iµ µ senµeiµ µ, para > Eercício 4 F 0, e0 Ache a função e Green o problema abaio: u + µ u = f u 0 = u = 0, em que Imµ > 0 Resposta: G, = iµ cosµ e iµ+ A equação u + µ u = 0 u 0 = 0 tem solução particular v 0 = cos µ Por outro lao u + µ u = 0 u = 0 tem solução particular v = e iµ Vemos que W = iµcos µ e iµ + µsen µ e iµ = µ i eiµ e iµ + e iµ + µe iµ i e iµ e iµ = iµ e iµ e iµ

6 LISTA DE EXERCÍCIOS 4 - TÓPICOS DE MATEMÁTICA APLICADA MAP 33 6 G, = senµe iµ iµ senµe iµ iµ, para > Eercício 5 F 0, e Ache a função e Green o problema abaio: u + u u = f u ± = 0 Resposta: G, = 3 e, < 3 e, > Vemos que se u = e λ e u + u u = 0, então λ + λ = 0, ou seja, λ λ + = 0 a solução geral é u = Ae + Be Assim, u + u u = 0 u = 0 tem solução particular v = e e u + u u = 0 u = 0 tem solução particular v + = e Desta maneira, W = e e e e = 3e e e G, = 3e e e 3e, para > Eercício 6 F 0, e4 Verique que e fato resolve u = v a em que α + α 0 e β + β 0 As funções v a e v b são tais que Resposta: Feito em sala e aula ˆ b ˆ v b f p W + v v a f b a p W Lu := p u + p u + p 0 u = f αua + α u a = 0 e βub + β u b = 0 L v a = 0, αv a a + α v aa = 0 L v b = 0, βv b b + β v b b = 0 4 Eercícios para achar a função e Green para Equações Diferenciais Parciais Eercício 7 F 0, e5 Ache a função e Green o problema o calor na forma e uma série e Fourier: u t t, k u t, = f t,, t > 0 e ]0, l[ u t, 0 = u t, l = 0, t > 0 u 0, = 0, ]0, l[ Resposta: G, t,, s = H t s n π n= e l kt s sen nπ l sen nπ l Feito em sala e aula Eercício 8 F 0, e8 Ache a função e Green o problema a cora vibrante na forma e uma série e Fourier: u t t, c u t, = f t,, t > 0 e ]0, l[ u t, 0 = u t, l = 0, t > 0 u 0, = u t 0, = 0, ]0, l[ Resposta: G, t,, s = H t s n= nπc sen nπct s l sen nπ l, sen nπ l Feito em sala e aula Eercício 9 F 0, e9 Ache a função e Green para o problema e Dirichlet na forma e uma série e Fourier: u, + u, = f,,, ]0, [ ]0, [ u, 0 = u, = u 0, = u, = 0, ]0, [ e ]0, [ Resposta: G,, t, s = 4 π n= m= m +n sen nπ sen mπ sen nπt sen mπs aula Feito em sala e