Cálculo III-A Lista 1

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1 Universidade Federal Fluminense Instituto de Matemática e Estatística epartamento de Matemática Aplicada Cálculo III-A Lista Eercício : Calcule as seguintes integrais duplas: a) b) c) dd, sendo [,] [,]. + dd na região compreendida entre as curvas, e. dd, onde é a região limitada pelas retas,, e. Solução: a) O esboço de está representado na figura que se segue. Como éumretângulocomosladosparalelosaoseioscoordenados, temos e. Pelo teorema de Fubini, o valor da integral dupla pode ser obtido por meio de qualquer uma das seguintes integrais iteradas: Usando a primeira delas, temos, + dd [ ] + + dd ou d 3 3 arctg arctg) 3 + dd + dd. dd + + d 3 [ ] arctg ) π 4 3π 8.

2 Cálculo III-A Lista b) O esboço de está representado na figura que se segue. Como é diferente de um retângulo com lados paralelos aos eios coordenados, devemos enquadrar como uma região do tipo I ou do tipo II. Solução : Vamos descrever como tipo I. Seja,). Então traçamos uma reta vertical por,).,) Vemosqueestaretaverticalcortaafronteirainferiorde noeio, onde,eafronteirasuperior de na parábola. Então,. Projetando a região sobre o eio, encontramos o intervalo fechado [,]. Então,. Portanto {,);, }. Temos, então, dd dd dd [ ] d [ 3 4 d 4 ] 4.

3 Cálculo III-A Lista 3 Observação: A integral do lado direito de uma integral dupla é uma integral iterada, cuja primeira integral definida indicada deverá ter limites de integração constantes, pois o valor da integral dupla será um número real. Solução Vamos descrever como tipo II. Então traçamos uma reta horiontal por,).,) Vemos que esta reta horiontal corta a fronteira da esquerda na parábola e a fronteira da direita na reta. Então,. Projetando sobre o eio, temos o intervalo [,]. Logo,. Então, {,);, }. Portanto, dd dd ] [ ) 4. [ ] d ) d c) O esboço de está representado na figura que se segue.

4 Cálculo III-A Lista 4 4,) Na figura vemos que a fronteira inferior é a reta e a fronteira superior é a reta. Então. Como a projeção de sobre o eio é o intervalo fechado [,], temos. Temos, então, {,);, }. Portanto, dd [ ln ln ln) d ] 3 ln. dd ln d dd [ ln ] d ln d ln d Observação: Podemos, também, enquadrar como tipo II. Haverá, no entanto, uma complicação adicional, se fiermos isso, pois a fronteira direita de é a reta e a fronteira esquerda de é constituída de duas partes, pela reta abaio da reta e pela reta, acima de. Então é necessário decompor em duas partes e :. Logo, dd dd + dd. Projetando sobre o eio, temos. A região é limitada à esquerda por e à direita pela reta. Logo,. Então {,);, }. Assim, [ dd dd ] dd d ) d [ ln) ln )] ) d [ ] ln 3 ln ) 3 4 ln.

5 Cálculo III-A Lista 5 / 4 / Projetando sobre o eio, temos 4. A região está limitada à esquerda pela reta / e à direita por. Logo, /. Então {,); 4, / } e [ dd / dd ] dd d / / Portanto, 4 ) 4 d 4 [ 4ln4 ) 4 4ln Obtivemos, assim, o mesmo resultado anterior. 4 ) d 4 )] 4ln 3 ] 4 [4ln 8 ) ln 3 4. dd 3 4 ln+ln ln Eercício : Esboce a região de integração e troque a ordem de integração em: a) c) + f, )dd b) f, )dd d) f,)dd f, )dd. Solução: { a) A região de integração é dada por : tipo I). Logo, está limitada pelas retas verticais eio ) e ; limitada inferiormente pela reta eio ) e superiormente pela reta. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue.

6 Cálculo III-A Lista 6 Para inverter a ordem de integração devemos descrever como região do tipo II. entra em sai em Vemos que está compreendida entre as retas horiontais e. Considerando uma reta horiontal no { interior de, vemos que ela entra em em e sai de em. Então, temos :. Logo, f,)dd f,)dd. { b) A região de integração é dada por : tipo II). Logo, está limitada pelas retas horiontais eio ) e. À esquerda é limitada pela curva e à direita pela curva. e ±, temos. Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. escrição de como região do tipo I Vemos que está compreendida entre as retas verticais e. Considerando uma reta vertical, no interior de, diferente do eio, vemos que ela entra em em e sai de em.

7 Cálculo III-A Lista 7 sai em entra em Então, temos : {. Logo, f,)dd f,)dd. { c) A região de integração é dada por : tipo I). Logo, está compreendida + entre as retas verticais e e está limitada inferiormente pela reta ou /) e superiormente pela reta + ou ). Assim, o esboço da região está representado pela figura que se segue. Como está limitada à esquerda pela curva e pela reta +, + concluímos que não é do tipo II. Mas podemos olhar para como a união de duas regiões do tipo II, isto é,. Vemos que está compreendida entre as retas horiontais e e que toda { reta horiontal, no interior de, entra em em e sai de em /. Logo, : /. Vemos que está compreendida entre as retas horiontais e e que qualquer reta horiontal, { no interior de, entra em em e sai de em /. Logo, : /.

8 Cálculo III-A Lista 8 entra em sai em / entra em sai em / Assim, + f,)dd / f,)dd+ / f,)dd. { d) A região de integração é dada por : tipo II). Logo, está compreendida entre as retas horiontais eio ) e. e, vemos que está limitada à esquerda pela reta ou +) e à direita pela reta ou )/). Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue. sai em + sai em entra em entra em Como a fronteira superior de é formada pela retas e, vemos que não é do tipo I. Mas, onde e são do tipo I. Vemos que está compreendida entre asretas verticais e e que qualquer { reta vertical no interior de entra em em e sai de em +. Logo : +. Vemos que está compreendida entre as retas verticais e e que qualquer reta vertical no interior de entra em em e sai de em )/. Logo, : { )/.

9 Cálculo III-A Lista 9 Assim, f,)dd + f,)dd+ )/ f,)dd. Eercício 3: Invertendo a ordem de integração, calcule: a) π π sen dd c) 3 /3 e 3 dd b) e dd d) dd Solução: { π a) A região de integração é dada por : tipo I). e π, vemos que π está compreendida entre as retas verticais eio ) e π. e π, vemos que está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela reta π. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. π π escrição de como uma região do tipo II Vemos que está compreendida entre as retas horiontais eio ) e π e que qualquer reta horiontal no interior de entra em em e sai de em. π sai em entra em π Logo : { π. Assim, π π π sen sen dd d π π sen dd π sen d [ cos ] π. sen[ ] d

10 Cálculo III-A Lista { b) A região de integração é dada por : tipo II). e vemos que está compreendida entre as retas horiontais eio ) e. e vemos que está limitada à esquerda pela reta e à direita pela reta. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. escrição de como uma região do tipo I Vemos que está compreendida entre as retas verticais eio ) e. Logo. Vemos, também, que está limitada inferiormente pela reta e superiormente pela reta. Então,. Assim, e dd e dd [ e ] d [e e ) d e d ] [ ] e e. d c) A região de integração é dada por : { 3 tipo I). e 3, vemos que 3 está compreendida entre as retas verticais eio ) e 3. e 3, vemos que está limitada inferiormente pela curva 3 ou 3, com ) e superiormente pela reta. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. 3

11 Cálculo III-A Lista escrição de como uma região do tipo II Vemos que está compreendida entre as retas horiontais eio ) e. Logo,. Considerando uma reta horiontal, { no interior de, vemos que ela entra em em e sai de em 3. Logo, : 3. Então, 3 /3 e 3 dd 3 e 3 dd e 3 [ ] 3 d e ) 3 3 d [e 3] e. d) A região de integração é dada por : { 8 3 tipo I). e 8, vemos que está compreendida entre as retas verticais e 8. e 3, vemos que está limitada inferiormente pela curva 3 ou 3 ) e superiormente pela reta. Assim, o esboço de está representado na figura que se segue. 8 escrição de como região do tipo II Vemos que está compreendida entre retas horiontais e. Vemos, também, que qualquer reta horiontal no interior de entra na região em e sai da região em 3. entra em sai em 3 8

12 Cálculo III-A Lista Logo, : { 3. Assim, dd d 4 +) dd d [ ] ln 4 +) 4 ln7 ln) 4 ln7. Eercício 4: Em cada caso calcule, por meio de integral dupla, a área da região do plano delimitada pelas curvas indicadas. a) 3, + e. b) + e + 3. c),, e. Solução: a) e 3 e +, temos 3 + portanto. Logo, a interseção ocorre em,). O esboço da região está representado na figura que se segue. 3 + escrição de como uma região do tipo II Vemos que está compreendida entre as retas horiontais eio ) e. Considerando uma reta horiontal qualquer, no interior { de, vemos que ela entra em em 3 /3 e sai de em. Então temos : /3. Como a área de é dada por A) dd temos, A) /3 dd /3 ) d [ 3 ] 4 4/ u.a. b) e + e + 3, temos +, portanto ou. Logo, as interseções são 5, ) e,). Assim, o esboço da região está representado na figura que se segue.

13 Cálculo III-A Lista 3 5 sai em 3 entra em + escrição de como uma região do tipo II Vemos que está compreendida entre as retas horiontais e. Considerando uma reta horiontal qualquer no interior de, diferente { do eio, vemos que ela entra em em + e sai de em 3. Então, temos : + 3. Portanto, 3 A) dd dd 3 ) d ) d ) 3 + ] [ ) u.a. c) O esboço da região está representado na figura que se segue. sai em entra em escrição de como uma região do tipo I Vemos que está limitada entre as retas verticais e. Vemos, também, que qualquer reta vertical no interior de, diferente do eio, entra em em e sai de em.

14 Cálculo III-A Lista 4 { Assim :. Então, A) dd [ 3 ] 3 + dd + ) d 3 ) + 3 ) 8 3 u.a. Eercício 5: Calcule o volume do sólido W, no primeiro octante, limitado pelo cilindro parabólico 4 e pelos planos +,, e. Solução: Vamos faer o esboço, no primeiro octante, da superfície de equação 4 dita cilindro parabólico. No plano, traçamos o arco de parábola 4, com e. Como esta equação não depende da variável, consideramos, por pontos da parábola, as semirretas paralelas ao eio. 4 Agora, vamos faer o esboço, no primeiro octante, da porção do plano de equação +. No plano traçamos o segmento de reta + que liga A,,) a B,,). Como esta equação não depende da variável, traçamos por pontos do segmento as semirretas paralelas ao eio.

15 Cálculo III-A Lista 5 A B VemosqueA,,)eC,,4)sãopontoscomunsàsduassuperfícies. Então, acurvadeinterseção é a curva obtida ao ligar esses dois pontos. Considerando que o sólido é limitado pelos planos, e, temos o esboço de W representado na figura que se segue. 4 C teto : f,) 4 W Temos VW) triangular. B A piso f,)dd, onde f,) 4, e está representado na seguinte região sai em + entra em

16 Cálculo III-A Lista 6 escrevendo como uma região do tipo I, temos : VW) 4 )dd {. Então, 4 )dd ) [ 4 d ] 4 ) )d 3 u.v. Eercício 6: Esboce o sólido, no primeiro octante, limitado pelo cilindro + e pelos planos, e, e encontre o seu volume. Solução: Vamos faer o esboço, no primeiro octante, da superfície de equação + dita cilindro circular. No plano, traçamos o arco de circunferência +, com e. Como esta equação não depende da variável, consideramos, por pontos do arco as semirretas paralelas ao eio. Agora, vamos faer o esboço, no primeiro octante, da porção do plano. No plano, traçamos a semirreta, com. Como esta equação não depende da variável, por pontos da semirreta, traçamos semirretas paralelas ao eio.

17 Cálculo III-A Lista 7 A B VemosqueA,,)eB,,)sãopontoscomunsàsduassuperfícies. Então, acurvadeinterseção é obtida ao ligarmos tais pontos. Considerando que W é limitado pelos planos e, temos que o esboço de W está representado na figura que se segue. A sai em W teto : f,) piso B entra em Temos VW) f,)dd dd, onde, como tipo I, é dado por : VW) {. Então, dd d ) / )d 3 [ ) 3/] 3 ) 3 u.v. Eercício 7: Seja V o volume de um sólido delimitado pelo cilindro parabólico 8 e pelos planos, 8 e. Calcule V.

18 Cálculo III-A Lista 8 Solução: Inicialmente traçamos, no plano, a parábola 8. Como esta equação não depende da variável, consideramos, por pontos da parábola, as retas paralelas ao eio. Como o sólido está limitado pelos planos, 8 e, temos o esboço do sólido W representado na figura que se segue. 8 teto : f,) 8 W 8 8 piso Portanto, VW) 8 f,)dd 8 )dd ] [ ) 5 3 u.v. 8 8 )dd Eercício 8: Calcule o volume do sólido W delimitado pelas superfícies, 4, e 4. Solução: No plano, esboçamos a parábola. Como esta equação não depende da variável, traçamos, por pontos da parábola, as retas paralelas ao eio. Considerando que o sólido está limitado pelos planos, 4 e 4, temos o esboço de W representado na figura que se segue.

19 Cálculo III-A Lista 9 4 teto : 4 4 sai em 4 W entra em Portanto, piso VW) f,)dd )d 4 4dd ] [ ) dd u.v. Eercício 9: Encontre o volume do sólido no primeiro octante, limitado pelos planos coordenados, pelo plano 3 e pelo cilindro parabólico 4. Solução: Esboço do sólido W no primeiro octante No plano ), traçamos a parábola 4 com e. Como esta equação não depende da variável, consideramos, por pontos da parábola, as semirretas paralelas ao eio, com. Obtemos, assim, o cilindro parabólico. Agora, traçamos o plano vertical 3 que intercepta o cilindro parabólico segundo uma curva que contém os pontos A 3,,4) e B 3,,). Considerando que o sólido W está limitado pelos planos coordenados, temos o esboço de W representado na figura que se segue.

20 Cálculo III-A Lista 4 A W teto de W : f,) 4 3 B piso : 3, Por integral dupla, temos VW) f,) dd 3 [4 3 3 ] d 3 4 ) dd 8 8 ) d d ) dd 3 6u.v. Eercício : Use uma integral dupla para calcular o volume do sólido W, no primeiro octante, compreendido pelas superfícies, e +. Solução: Para esboçar o plano +, desenhamos inicialmente, no plano, a reta +. Como esta equação não contém a variável, consideramos, por pontos da reta, as retas paralelas ao eio. Obtemos, assim, o esboço do plano +. S Para esboçar a superfície de equação dita cilindro parabólico, pela ausência da variável ), desenhamos, inicialmente, a parábola, no plano, e, por pontos da parábola, consideramos as retas paralelas ao eio, pois a equação não contém a variável. Obtemos, assim, o esboço da superfície de equação.

21 Cálculo III-A Lista S Observemos que A,,), A,,) e A 3,,) são pontos comuns às duas superfícies. Portanto, ao ligarmos A, A e A 3 temos a curva interseção das duas superfícies. A W A 3 A Considerando que o sólido W está limitado pelo plano plano ), temos o esboço de W. Vemos que o teto de W é o gráfico de e que o piso de W é a região dada por:

22 Cálculo III-A Lista Entra em Sai em : {,) R ;, }. Logo, VW) ) dd [ ) [ ] ) dd )] ) 4 d + 4 d ) u.v. ] [ d