MAT EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Aulas 14-17

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1 MAT EQUAÇÕES DIFERENCIAIS ORDINÁRIAS - Aulas Bulmer Mejía García 2010-II Universidade Federal de Viçosa

2 EDO de Cauchy-Euler É uma EDO da seguinte forma a n (ax+b) n y (n) (x)+a n 1 (ax+b) n 1 y (n 1) (x)+...+a 1 (ax+b)y (x)+a 0 y(x) = 0 onde a i R e a n 0 A mudança de variável ax + b = e t transforma a EDO acima em b n y (n) (t) + b n 1 y (n 1) (t) b 1 y (t) + b 0 y(t) = 0 onde b i R e b n 0. Nesta última EDO podemos aplicar o que foi estudado nas aulas anteriores.

3 EDO de Cauchy-Euler Considerando o caso particular n = 2, a = 1 e b = 0, devemos estudar o P.C. associado b 2 λ 2 + b 1 λ + b 0 = 0. Suponha que uma das raizes seja λ 1 o que geraria a solução y 1 (t) = y 1 (x(t)) = e λ1t, de onde y 1 (x) = x λ1 seria uma solução da EDO original. Portanto, uma forma direta de procurar uma solução para a EDO a 2 x 2 y (x) + a 1 xy (x) + a 0 y(x) = 0 é propor uma solução da forma y(x) = x λ, para λ a ser determinado. Derivando e substituindo, a EDO transforma em: x λ [a 2 λ(λ 1) + a 1 λ + a 0 ] = x λ [a 2 λ 2 + (a 1 a 2 )λ + a 0 ] = 0 De onde, basta estudar = (a 1 a 2 ) 2 4a 2 a 0

4 EDO de Cauchy-Euler CASO 1. Se > 0, temos duas raizes reais distintas de onde φ 1 (x) = x λ1 e φ 2 (x) = x λ2 e a solução geral é φ(x) = c 1 φ 1 (x) + c 2 φ 2 (x) CASO 2. Se = 0, temos raiz repetida λ 1 = λ 2 = a 2 a 1, o que nos 2a 2 dá φ 1 (x) = x λ1. Aplicando o método de redução de ordem obtemos φ 2 (x) = x λ1 ln(x). Portanto, a solução geral é φ(x) = c 1 φ 1 (x) + c 2 φ 2 (x) = c 1 x λ1 + c 2 x λ1 ln(x) CASO 3. Se < 0, temos raizes complexas λ 1 = α + iβ e λ 2 = α iβ, o que nos dá solução na forma x α±iβ = e (α+iβ) ln(x) = x α [cos (β ln(x)) ± isen (β ln(x))] De onde φ 1 (x) = x α cos (β ln(x)) e φ 2 (x) = x α sen (β ln(x)), e a solução geral segue a partir daqui.

5 EDO de Cauchy-Euler Exemplos 1. x 2 y + 5xy + 4y = 0 2. x 2 y + xy y = 0 3. x 2 y + 3xy + y = 0 4. (x + 2) 2 y + 3(x + 2)y 3y = 0 5. x 2 y xy + y = 2x 6. x 2 y 2xy + 2y = x 2 2x x 2 y xy + 2y = x ln(x) 8. Resolver xy + 2y xy = 2e 2x, se y 1 = x 1 e x e y 2 = x 1 e x são soluções da EDO homogênea. 9. x 2 y + xy + y = x(6 ln(x)) 10. x 2 y xy 16 ln(x) 3y = x

6 EDO LINEARES DE 1RA E 2DA ORDEM: APLICAÇÕES As equações diferenciais tem muitas aplicações em diferentes campos do saber, tais aplicações modelam situações de cada área levando em consideração leis que regem os fenómenos que queremos modelar. A correta modelação da lugar a equações diferenciais muitas vezes complicadas, principalmente em derivadas parciais, para as quais não temos método de solução. Por esta razão um estudo qualitativo torna-se mais apropriado do que um estudo quantitativo a não ser que estejamos interessados em valores númericos aproximados, em cujo caso técnicas de cálculo numérico vem em nosso auxilio. Entre as aplicações das equações diferenciais ordinárias lineares podemos citar:

7 EDO LINEARES DE 1RA E 2DA ORDEM: APLICAÇÕES EDO PRIMEIRA ORDEM 1 Trajetorias ortogonais 2 Mecânica e circuitos elétricos do tipo LR e RC em série 3 Química: Desintegração radioativa e problemas de misturas 4 Biología: Problemas de Crescimento de decrescimento. EDO DE SEGUNDA ORDEM 1 Movimento harmônico simples 2 Oscilações livres e forçadas 3 Circuitos LRC em série 4 Vigas horizontais 5 Péndulo simples 6 Economia

8 APLICAÇÕES - PROBLEMAS 1. Determine as π 4 -trajetórias da família de curvas x 2 + y 2 = c. Solução: O ângulo θ em que duas curvas f e g se cortam em um dado ponto é dado por tan(θ) = tan(α β) = tan(α) tan(β) 1 + tan(α) tan(β) = f g 1 + f g Derivando a família de curvas dada, obtemos x + yy = 0 ou y = x y, logo tan( π 4 ) = y + x y 1 xy de onde obtemos a EDO homogênea y (x y) + (x + y)y = 0, cuja solução é x 2 + y 2 = ce 2 arctan( y x ), que é a família procurada.

9 APLICAÇÕES - PROBLEMAS 2. Um assado pesando cinco libras, inicialmente a 50 F, é posto no forno a 375 F às cinco horas da tarde. Depois de 75 minutos a temperatura T (t) do assado é de 125 F. Em que instante a temperatura do assado será de 150 F, isto é, mal passado? Solução: A lei de resfriamento de Newton: a taxa de variação temporal da temperatura T (t) = T de um corpo é proporcional à diferença entre T e a temperatura do ambiente A em volta De onde a EDO dt = k(t A), k > 0 dt Com os dados do problema obtemos t 105min. para o assado alcançar a temperatura de 125 F.

10 APLICAÇÕES - PROBLEMAS 3. A taxa de crescimento da população de uma certa cidade é proporcional ao número de habitantes. Se a população em 1950 era de e em 1980 de , qual a população esperada em 2010? Solução: Seja N a população. Do enunciado temos dn(t) dt = kn(t), cuja solução é N(t) = ce kt Usando os dados do problema chegamos a que em 2010 a população esperada será de habitantes.

11 APLICAÇÕES - PROBLEMAS 4. Um estudante portador de um virus de gripe retorna ao campus univeristário (isolado), que tem 1000 estudantes. Suponha que a velocidade de propagação do virus da gripe é proporcional tanto ao número de estudantes infestados como aos que não estão infestados. Determine o número de estudantes infestados com o virus após 6 dias, se é observado que o número de infestados após 4 dias chegou a 50. Solução: Seja x(t) o número de infestados após t dias, então dx dt = x(1000 x), de onde x(t) = 1000Ae1000kt 1 + Ae 1000kt Pelas condições do problema: x(t) = Portanto x(6) = e 0,990578t

12 APLICAÇÕES - PROBLEMAS 5. Numa excavação achou-se um osso antigo que contem 1 8 da quantidade original de C 14 que um osso atual contem. Determine a antiguidade do fóssil. Solução: Seja x(t) a quantidade de C 14 presente no osso no tempo t e seja x(0) = x 0. A meia-vida do carbono é 5568 anos, pelo que x(5568) = x 0 2 A velocidade de desintegração é proprocional a quantidade x(t), de onde dx = kx. Levando em consideração os dados k = 0, e dt x(t) = x 0 e 0, t. Desejamos saber quando ocorre x(t) = x 0 8, o que nos dá t = anos.

13 MOVIMENTO OSCILATÓRIO LIVRE 6. De forma experimental verificou-se que um peso de 4lb expande uma mola em 6 polegadas. Suspende-se o peso até a posição de equilibrio da mola e se deixa cair livremente a uma velocidade de 4pol/s.. Determine: O PVI que descreve o movimento. A equação do movimento. A posição, velocidade e aceleração do peso após 2 segundos. O periodo, a frequência e o gráfico da solução. Solução: 6pol = 1/2pe. Pela lei de Hooke F = kd, de onde k = 8lb/pe e m = W /g = 4/32 = 1/8slug. A condição de equilibrio dá mg = ks. O processo descrito e a segunda lei de Newton nos dá m d 2 x dt 2 = mg k(x + s), logo m d 2 x dt 2 = kx. a) d 2 x dt x = 0, x(0) = 0 e x (0) = 1/3. Os itens restantes se seguem imediatamente.

14 MOVIMENTO OSCILATÓRIO LIVRE AMORTECIDO m d 2 x dt 2 dx = ks β dt ou d 2 x dt 2 + 2λdx dt + ω2 x = 0 onde 2λ = β m e ω2 = k m O P.C. associado é r 2 + 2λr + ω 2 = 0, com raizes r 1 = λ + λ 2 ω 2 e r 2 = λ λ 2 ω 2 CASO 1. λ 2 ω 2 > 0, o movimento é super-amortecido = movimento suave e não oscilatório. CASO 2. λ 2 ω 2 = 0, o movimento é criticamente amortecido, há movimento oscilatório. CASO 3. λ 2 ω 2 < 0 o movimento é oscilatório, com amplitude indo a zero a medida que o tempo cresce infinitamente.

15 MOVIMENTO OSCILATÓRIO LIVRE AMORTECIDO 7. De forma experimental verificou-se que um peso de 4lb expande uma mola em 6 polegadas. O meio oferece resistência ao movimento do corpo em 2,5 vezes a velocidade instantânea. Determine a equação do movimento se o peso se desloca 4 polegadas por baixo da posição de equilibrio e se deixa livre. Solução: A equação diferencial do movimento é 4 d 2 x 32 dt 2 ou equivalentemente d 2 x dt dx + 64x = 0, com condições iniciais dt x(0) = 1/3 e x (0) = 0. Resolvendo a EDO temos = 8x 2, 5dx dt x(t) = 4 9 e 4t 1 9 e 16t

16 MOVIMENTO OSCILATÓRIO FORÇADO Consideramos forças externas que variam com o tempo. Para este caso consideramos f (t). Da segunda lei de Newton m d 2 x dt 2 dx = kx β dt +f (t) ou equivalentemente d 2 x dt 2 +2λdx dt +ω2 x = F (t) Onde 2λ = β m, ω2 = k m e F (t) = f (t) m

17 MOVIMENTO OSCILATÓRIO FORÇADO 8. Uma mola vertical com constante de 6lb/ft tem suspensa no seu extremo uma masa de 1/2slug. Aplica-se uma força externa dada por f (t) = 40sen (2t), t 0. Suponha que sobre a mola atue uma força amortecedora igual a duas vezes a velocidade instantânea e que inicialmente o corpo está no reposo na posição de equilibrio. Determine a posição do corpo em qualquer instante de tempo t. Solução: De acordo ao enunciado k = 6lb/ft, m = 1/2slug e β = 2, portanto a EDO que modela este problema é: d 2 x dt 2 + 4dx + 12x = 80sen (2t) dt Para a qual φ c (t) = e 2t (c 1 cos (22t) + c 2 sen (2 2t)) e φ p (t) = 5cos (2 2t) + 5sen (2 2t). As condições iniciais x(0) = x (0) = 0, proporcionam x(t) = 5e 2t cos (2 2t) + 5(sen (2t) cos (2t)

18 OUTRAS APLICAÇÕES Queremos estudar a deformação de uma viga horizontal. O momento é dado por M = EI d 2 y, onde E é a elasticidade da viga, I é o momento dx 2 de inércia. 9. Uma viga de 8m de comprimento está apoiada em duas colunas verticais. Se a viga tem uma carga uniforme de 500kg/m e uma carga central de 5000kg. Qual é a equação da curva elástica da viga? Solução: - Uma força aplicada no extremo direito a x m de P apontando para cima e igual a 1 ( ) 2 - Uma força de 500x apontando para baixo concentrada no ponto meio de OP - O momento flector é: M = F 1 d 1 F 2 d 2 = 2( )x 500x( x 2 ) = 4500x 250x A EDO é: EI d 2 y 2 = 4500x 250x dx 2 - Portanto y(x) = 1 EI (225 3 x 3 ) x x, é acurva elástica da viga.