Aula 18. Carlos Amaral Fonte: Cristiano Quevedo Andrea

Transcrição

1 Aula 8 Carlos Amaral Fonte: Cristiano Queveo Anrea UTFPR - Universiae Tecnológica Feeral o Paraná DAELT - Departamento Acaêmico e Eletrotécnica Curitiba, Junho e

2 Comparação entre técnicas e controle Técnica Número e Entraas Número e Saías Necessiae e Integrar e erivar Número e Circuitos e Controle Observação Lugar as Raízes Laplace Frequência Boe 3 e Nyquist sim sim Incerteza o controle para plantas acima e seguna orem Tempo Ziegler- 4 Nichols sim Espaço e Estaos infinito infinito não = número e varíaveis

3 Resumo Formas Canônicas 3 4

4 Consiere um sistema efinio por, seno ut o sinal e entraa e y t o sinal e saía. Esta equação poe ser escrita como, Levano em conta as uas epressões apresentaas anteriormente serão apresentaas as formas canônicas controlável, observável e iagonal. Formas Canônicas Poemos utilizar as formas canônicas para encontrar a representação em espaço e estao para uma aa função e transferência.

5 FORMA CANÔNICA CONTROLÁVEL Zeros ientiae

6 FORMA CANÔNICA OBSERVÁVEL

7 Consiere a seguinte função e transferência, A forma canônica iagonal para este sistema é aa por,

8 Na forma canônica e Joran consieramos a seguinte função e transferência, e a forma canônica e Joran é aa por

9 Um sistema é ito ser controlável em um instante t se for possível, por meio e um vetor e controle, transferir o sistema e qualquer estao inicial t para qualquer outro estao num intervalo e tempo finito. Seja o sistema contínuo tempo ao por: t = A t + But O estao a equação escrita acima é ito ser controlável em t = t se for possível construir um sinal e controle não-restrito capaz e transferir o sistema o estao inicial para um estao final em um intervalo e tempo finito t < t < tf. Se toos os estaos forem controláveis o sistema é ito ser e estaos completamente controláveis.

10 A conição para que o sistema escrito em seja controlável é que a matriz e controlabiliae aa abaio seja e posto completo. Para ser e posto completo, basta a matriz ΦCrt possuir toas as colunas linearmente inepenente.

11 Verifiquem se o sistema escrito abaio é controlável. Resposta: A B AB et crt. et AB et Logo o sistema não é controlável!

12 No Matlab utilizamos o comano ctrb: CO = crtba, B >> A = [ ; -] A = - >> B = [ ; ] B = >> CO = crtba, B

13 Eemplo Formas Canônicas &feature=plcp

14 EXERCÍCIOS Petrobras Formas Canônicas >> A=[ ; ; -4]; >> B = [;;5]; >> ctrba,b Resp. ans =

15 EXERCÍCIOS Formas Canônicas a u Resp: et et crt. = O sistema não é controlável! b u Resp: et. et crt, if e, logo o sistema é controlável! Verifique se os sistemas são é controláveis

16 Um sistema é ito ser observável no instante t se, com o sistema num estao t qualquer, for possível eterminar este estao a partir a observação a saía urante um intervalo e tempo finito. Consiere o sistema contínuo invariante no tempo escrito na forma e espaço e estao ao por, t = A t 3 y t = C t O sistema é ito observável se qualquer estao t poe ser eterminao a partir a observação e y t urante um intervalo e tempo finito t < t < tf.

17 A conição para o sistema escrito em 3 ser observável é que a matriz e observabiliae escrita abaio possua posto completo. 4 Para ser e posto completo, basta a matriz ΦObs possuir toas as colunas linearmente inepenente.

18 Verifique se o sistema escrito abaio é observável. Resposta: A B CA C 4 et Obs. et Logo o sistema é observável!

19 No Matlab utilizamos o comano obsv: OB = obsv A, C A B >> A = [ ; - -] >> OB = obsv A, C C 4 A = OB = ΦObs - - >> C = [ ] C = >> etob ans = % Sistema observável

20 4MInFYA&ine=8&feature=plcp

21 EXERCÍCIOS Formas Canônicas Verifique se o sistema é observável u y Resp: 3 et et L O sistema é observável!

22 Dao um sistema em espaço e estao: D = maioria as aplicações

23 Dao um sistema em espaço e estao: Aplicano-se um controle e malha fechaa:

24 A lei e controle e realimentação os estaos é aa por, Número e entraas m Então para um sistema ao em ut = K t 5 mn Número e estaos n temos, t = A BK t 6

25 DIAGRAMA DE BLOCOS Formas Canônicas Caso o sistema seja controlável, poemos alocar os pólos e malha fechaa em qualquer posição o plano compleo s esquero. Neste processo poemos obter um sistema em malha fechaa estável e também garantir esempenho transitório e em regime.

26 ETAPAS PARA O PROJETO DE REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS C é igual à ientiae, o que significa que a saía mee iretamente toos os estaos o sistema - Verificar se o sistema é controlável. Se o sistema for completamente controlável seguir os próimos passos. - Utilizano os valores esejaos para os autovalores pólos e malha fechaa esejaos, escrever o polinômio característico, s µs µ s µn = sn + αsn + + αn s + αn 7 eterminar os valores e α, α,, αn. 3- Igualar et si A + BK = sn + αsn + + αn s + αn 8 e encontra o valor os ganhos Ks que formam o controlaor K.

27 Eercício : Daa a função e transferência Gs = S + 4s + Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s:

28 Eercício u 4

29 Eercício u 4 Verificano a controbabiliae: 4 4 AB 4 et et. et AB crt Resposta: SIM! O sistema é controlável

30 Eercício u 4 ut = K.t = -[k k].t 4 k k

31 Eercício 4 k k 4 k k Gs = S + 4+ks + + k Os ganhos k e k me permite colocar os polos em qualquer ligar o plano S!!!

32 Eercício Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s: ln P. O./ =.69 ln P. O./ Wn = 4.46 Gs = esejao S + s + 9

33 Eercício Igualano Gs esejao com Gs original + ganhos Gs = S + 4+ks + + k = Gs = esejao S + s + 9 Logo K = 9 = 8 K = -4 = 6

34 Eplicação o Eercício

35 Eercício Daa a função e transferência Nise pg: 5 Eemplo.: Gs = s+5 ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: Verificar se o sistema é controlável primeiro! Resposta: SIM!

36 s+5 Gs = Eercício ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: Usano a função RLTOOL o MatLab Ponto: -5,4 -+7,i Logo já temos uas raízes, como o sistema é e 3ª órem ss + s + 4 = s s + 4 s Deve-se escolher outro polo. Como eiste um zero em -5 vamos Escolher um polo também em -5

37 s+5 Gs = Eercício ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: A equação característica final esejaa eve ser: s - -5,4 +7,i. s - -5,4-7,i.s + 5 = s s + 35 s + 45

38 Eercício Gs = ss + s + 4 s+5 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: u 5 4 y ss + s + 4 s3 + 5 s + 4 s s+5 s + = s+5 s +

39 Eercício Gs = ss + s + 4 s+5 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: ut = K.t = -[k k k3].t u 5 4 3] [ 5 4 k k k

40 Eercício Gs = ss + s + 4 s+5 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: 3] [ 5 4 k k k k k k k k k

41 Eercício Gs = ss + s + 4 s+5 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: k k k Gs = S 3 +S 5+k3 + 4+ks + k Gs =

42 s+5 Gs = Eercício ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: Outra opção para o cálculo seria por força bruta: et si A + BK = sn + αsn + + αn s + αn 8

43 s+5 Gs = Eercício ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: s 3 +s 5+k3 + 4+ks + k = s s + 35 s + 45 Logo: K = 45 k = 35-4 = 3 K3 = 5,8 5 =,8

44 s+5 Gs = Eercício ss + s + 4 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: s+5 Gs = s s + 35 s + 45 >> g = *s+5/s^3+5.8*s^+35*s Step Response Transfer function: s s^ s^ + 35 s + 45 >> stepg Amplitue Time sec

45 Eercício 3 Daa a função e transferência Nise pg: 5 Eercício e Avaliação.: Gs = s+ ss + 3s+ Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s:

46 Eercício 3 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s: >> s = tf's'; >> g = *s+/s*s+3*s+ Transfer function: s s^3 + 5 s^ + 36 s u 5 36 y

47 Eercício 3 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s: >> s = tf's'; >> g = *s+/s*s+3*s+ Transfer function: s s^3 + 5 s^ + 36 s

48 Eercício 3 Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 5% e um tempo e pico e,3 s:

49 FÓRMULA DE ACKERMANN Outro métoo para o projeto o controlaor K éutilizar a fórmula e Ackermann. An B ] φa seno φ o polinômio característico o sistema em malha-fechaa. 9 Esta técnica é bastante usaa principalmente caso o sistema tenha mais e variáveis! Projeto e via Matlab K =ackera,b,p, p é o vetor que contém a posição os pólos e malha fechaa.

50 Eercício 4 Dorf pg: 5 Eemplo. Daa a função em espaço e estao: Gs = s Calcule a matriz e ganhos k o sistema através a fórmula e Ackermann para a os pontos - +-i: A equação característica final esejaa eve ser: s - + i. s i = s + s +

51 Eercício 4 Formas Canônicas Gs = Calcular os ganhos para uma ultrapassagem e 9,5% e um tempo e assentamento e,74 s: s s + s + u

52 Eercício 4 Verificar se o sistema é controlável primeiro! Resposta: SIM! É controlável! A B AB et et. et AB crt u

53 Eercício 4 A B s s A A A Substituino S por A na equação característica final esejaa s + s + A Ientiae A u

54 Eercício 4 ] [ %MatLab >> [ ; ]^- ans = A B u

55 Eercício 4 ] [ ] [ k A B u

56 Eercício 4 % Resolveno no MatLab >> A = [ ; ] A = u A B >> B = [;] B = >> p = [-+j*; --j*]; % Desire Pole Location >> K =ackera,b,p K =

57 Eercício 5 Daa a função em espaço e estao: Calcule a matriz e ganhos k o sistema através a fórmula e Ackermann para a um tempo e estabelecimento e segunos Ts e um amortecimento e.77: u

58 Eercício 5 u Tempo e estabelecimento e segunos Ts Amortecimento e.77 RLTOOL no MatLab Ponto: - -+i A equação característica final esejaa eve ser: s - - +i. s - - -i = s + 4 s + 8

59 Eercício 5 u Verificar se o sistema é controlável primeiro! Resposta: SIM! É controlável! A B AB et et. et AB crt

60 Eercício 5 u A B s s A A A Substituino S por A na equação característica final esejaa s + 4 s A Ientiae A Diferente a internet!!!!

61 Eercício 5 u A B ] [ et ] [ t Aj

62 Eercício 5 Utilizano o MatLab função ACKER : u >> A = [ ; - ] >> B = [;-] >> p = [-+j*; --j*]; % Desire Pole Location >> K =ackera,b,p K =

63 Eercício 5 Utilizano o MatLab função PLACE: u >> A = [ ; - ] A = - >> B = [;-] B = - >> p = [-+j*; --j*]; % Desire Pole Location >> K=placeA,B,[p] K =

64 Eercício 5 u Verificano os Resultaos: ut = K.t = -[k k].t k k

65 Eercício 5 Verificano os Resultaos: u %Calculao >> = eig[.5 6.5; ] = -5 %YOUTUBE >> = eig[ ;-.4.6] = i i

66 FÓRMULA DE ACKERMANN MInFYA&ine=5&feature=plcp

67 Eercício 6 Determine um controlaor K e realimentação os estaos para o seguinte sistema pela fórmula e Ackermann, o sistema em malha fechaa eve responer com um P.O. % e um tempo e estabelecimento e segunos.