Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace

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1 Sinais e Sistemas Unidade 5 Representação em domínio da frequência para sinais contínuos: Transformada de Laplace Prof. Cassiano Rech, Dr. Eng. rech.cassiano@gmail.com Prof. Rafael Concatto Beltrame, Me. Eng. rcbeltrame@gmail.com

2 Conteúdo da unidade Introdução Definição da Transformada de Laplace Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Função de Transferência Conceito de pólos e zeros Estabilidade de sistemas Sistemas com atraso de transporte Análise da resposta transitória Análise da resposta em regime permanente Resposta em frequência e Diagrama de Bode Aulas 01 e 02 Aula 03 Aula 04 Aulas 05 e 06 2

3 Aula 02 Definição da Transformada de Laplace Transformada Inversa de Laplace Expansão em Frações Parciais F(s) com pólos simples F(s) com pólos múltiplos F(s) com pólos múltiplos Emprego do MATLAB Solução de equações diferenciais lineares e invariante no tempo Exemplos de solução Aplicação à análise de circuitos elétricos 3

4 Transformada Inversa de Laplace Seja c = abscissa de convergência Número real e constante superior a àparte real de todos os pontos singulares de F(s) Definição 1 1 c j L F s f t F s e ds, para t 2πj c j st 0 O percurso de integração éparalelo ao eixo imaginário jω e deslocado deste do valor c Percurso situado a direita de topos os pontos singulares Na prática, raramente a Transformada Inversa éobtida pela definição 4

5 Transformada Inversa de Laplace Observações Em função da complexidade da solução da integral, na prática, raramente a Transformada Inversa éobtida pela definição Recorre se a tabelas de pares de Transformada de Laplace Frequentemente, a função em pauta pode não figurar na tabela Expandir F(s) em frações parciais Escrever F(s) em termos de funções simples de s para as quais as transformadas inversas já são conhecidas 5

6 Expansão em Frações Parciais Normalmente F(s) encontra se sob a seguinte forma Onde A(s) e B(s) são polinômios em s O grau de A(s) deve ser superior ao grau de B(s) Se F(s) puder ser decomposta em componentes Então F s B s A s F s F s F s F s 1 2 n n f t f t f t f t L F s L F s L F s L F s 1 2 n 6

7 Expansão em Frações Parciais F(s) com pólos simples Seja F(s) escrita sob a forma fatorada 1 2 m B s K s z s z s z Fs, para mn A s s p s p s p 1 2 n Onde p 1, p 2,..., p n e z 1, z 2,..., z n são quantidades reais ou complexas Para cada p i ou z i complexo ocorrerá o respectivo complexo conjugado 7

8 Expansão em Frações Parciais Frações Parciais F s B s a1 a2 an A s s p sp sp 1 2 Onde a k (k = 1, 2,..., n) são constantes Os coeficiente a k échamado de resíduo no pólo s = p k n Cálculo de a k ak sp k B s As s p k 8

9 Expansão em Frações Parciais Observar que a L ake a pk p t 1 k k Logo p t p t pnt 1 2 n, para 0 f t L F s a e a e a e t 9

10 Expansão em Frações Parciais Exemplo Achar a Transformada Inversa de Laplace de Expansão em Frações Parciais F s s 3 a1 a2 s 1 s2 s1 s2 Cálculo dos resíduos a a 1 2 s1 s2 F s s3 s3 s1 2 s 1 s 2 s 2 s1 s3 s3 s2 1 s 1 s 2 s 1 s2 s 3 s 1s 2 10

11 Expansão em Frações Parciais Assim 1 t f t L F s L L s1 s2 2t 2e e, para t0 11

12 Expansão em Frações Parciais Exercício Achar a Transformada Inversa de Laplace de F s Solução s 2s s 5 t t, para f t 5e sen 2t 2e cos 2t t0 12

13 Expansão em Frações Parciais F(s) com pólos múltiplos Frações Parciais F s Bs b1 b2 bn n 1 2 spspspsp n Cálculo dos resíduos b k 1 d bk sp, para k 12,,, n n k! ds A s nk n Bs nk sp 13

14 Expansão em Frações Parciais Exercício Achar a Transformada Inversa de Laplace de F s Solução s 2 2s 3 S 1 2 t, para 3 f t 1t e t0 14

15 Expansão em Frações Parciais F s Emprego do MATLAB 3 2 B s 2s 5s 3s6 3 2 As s 6s 11s6 num = [ ] % Numerador da função de transferência den = [ ] % Denominador da função de transferência [r, p, k] = residue (num, den) % Função para expansão em frações parciais r = p = Fs s3 s2 s1 2 K =

16 Solução de Equações Diferenciais Transformada de Laplace Fornece a solução completa (complementar e particular) Automaticamente considera as condições iniciais Procedimento 1) Aplicar a Transformada de Laplace a cada um dos membros e equação diferencial, convertendo a numa equação algébrica de s 2) Rearranjar a equação, isolando a variável dependente, por exemplo X(s) 3) A solução da equação diferencial em função do tempo éobtida achando se a Transformada Inversa de Laplace da variável dependente 16

17 Solução de Equações Diferenciais Exemplo Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial, com a e b constantes x 3x2x0, x 0 a, x 0 b Aplicando se a Transformada de Laplace a cada termo Substituindo se as condições iniciais 2 sx s sx0 x0 3sX sx0 2X s 0 2 sx s sab 3sX sa2x s 0 17

18 Solução de Equações Diferenciais Resolvendo se para X(s) 2 s 3s2 X s asb3a X s asb3a 2 s 3s s Expandindo se em frações parciais X s as b3a asb3a 2a b a b 2 s 3ss s 1 s2 s1 s2 Obtendo se a Transformada Inversa de Laplace 1 t 2t, para x t L X s 2ab e ab e t0 18

19 Solução de Equações Diferenciais Exercício Obter a solução x(t) da seguinte equação diferencial Solução x 2x5x3, x 0 0, x t 3 t xt e sen2t e cos2t, para t

20 Solução de Equações Diferenciais Análise de Circuitos Elétricos Resistor v t Ri t R R Aplicando a Transformada de Laplace L vr t VR s RIR s 20

21 Solução de Equações Diferenciais Indutor d 1 v tl i t ou i t v tdt L 1 L L L dt L1 Aplicando a Transformada de Laplace 0 0 L v t V s L si s i sl I s L i L L 1 L L 1 L 1 L 1 VL s 1 VL s il LiLtI Ls vltdt L 1 s s t0 sl1 s 0 21

22 Solução de Equações Diferenciais Capacitor d 1 ictc vct ou vct ictdt dt C Aplicando a Transformada de Laplace 0 0 Li t I s CsV s v scv s Cv C C C C C C 1IC s 1 IC s vc LvCtV Cs ictdt C s s t0 sc s 0 22

23 Solução de Equações Diferenciais Exemplo Encontrar v o (t) para o seguinte circuito (filtro passa baixas) com as seguintes condições iniciais: i L (0) = 0 e v C (0) = 0 Exercício Relatório individual impresso contendo: Simulação no MATLAB da função v o (t) obtida. Incluir código fonte Comparação com a simulação no PSIM ou OrCAD (Vi = 100 V; L = 1 mh, C = 100 μf, R = 10 Ω) 23

24 Bibliografia [1] OGATA, K. Engenharia de controle moderno. 3ª ed. Rio de Janeiro: Prentice Hall, [2] CHAPARRO, L. F. Signals and systems using MATLAB. Oxford: Elsevier, [3] ALEXANDER, C. H.; SADIKU, M. N. O. Fundamentals of Electric Circuits. McGraw Hill,