Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos. Prof. Cassiano Rech

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1 Controle de Conversores Estáticos Retroação de estados: Projeto por alocação de pólos 1

2 Projeto por alocação de pólos Na abordagem convencional, usando por exemplo o método do lugar das raízes, projetamos um compensador para um sistema SISO tal que os pólos dominantes de malha fechada tenham um coeficiente de amortecimento e uma freqüência natural desejadas Nessa abordagem admitimos que os efeitos na resposta dos pólos não dominantes de malha fechada sejam desprezíveis No projeto por alocação de pólos, os pólos de malha fechada do sistema poderão ser alocados em qualquer posição desejada por meio de uma realimentação de estado, empregando uma matriz de ganho apropriada Contudo, essa alocação requer que todas as variáveis de estado possam ser medidas ou observadas com sucesso. Ainda, o sistema deve ser completamente controlável. 2

3 Projeto por alocação de pólos Sistema de controle Sinal de controle x = Ax + Bu y = Cx + Du u = Kx onde a matriz K, de ordem 1 x n, é denominada matriz de ganho de realimentação de estado, sendo n o número de estados. OBJETIVO DESSE SISTEMA DE CONTROLE Levar a saída para zero (sistema regulador) 3

4 Projeto por alocação de pólos Substituindo u(t) na equação de estados do sistema tem-se que: A solução desta equação é: = ( ) x A BK x x ( t ) = e A BK t x ( 0 ) onde x(0) é o estado inicial causado por distúrbios externos. A estabilidade e a característica da resposta temporal são determinados pelos autovalores da matriz A-BK (pólos de malha fechada do sistema). Se a matriz K for escolhida corretamente, a matriz A-BK poderá ser assintoticamente estável e, para todo x(0) 0, será possível fazer x(t) tender a 0, à medida que t tender a infinito. 4

5 Condição necessária Para que seja possível alocar arbitrariamente todos os pólos do sistema em malha fechada é necessário que o sistema seja completamente controlável. Um sistema será dito controlável no instante t 0 se for possível, por meio de um vetor de controle não limitado, transferir o sistema de qualquer estado inicial x(t 0 ) para qualquer outro estado, em um intervalo de tempo finito. Um sistema é completamente controlável se, e somente se, os vetores B, AB,..., A n-1 B forem linearmente independentes, ou seja: posto ( n 1 B AB... A B ) = n 5

6 Determinação da matriz K Método de substituição direta Para sistemas de ordem baixa (n 3), a substituição da matriz K no polinômio característico pode ser realizada. Por exemplo, se n = 3, a matriz de ganho K é: K = [ k k k ] Deve-se substituir a matriz K no polinômio característico desejado: si A BK = s µ s µ s µ onde µ 1, µ 2 e µ 3 são os pólos desejados do sistema em malha fechada. Como ambos os lados da equação característica são polinômios em s, igualando os coeficientes de mesma potência em s em ambos os lados é possível determinar os valores de k 1, k 2 e k 3. 6

7 Determinação da matriz K Fórmula de Ackermann Existe uma fórmula bem conhecida, denominada de fórmula de Ackermann, para a determinação da matriz de ganho K: n 1 1 [ ]... K = B AB A B φ A onde: n n 1 n 2 φ A = A + α A + α A α A + α I 1 2 n 1 n si A BK = s µ s µ s µ = s + α s + α s α s + α = 0 n n 1 n n 1 n 7

8 Determinação da matriz K Funções do Matlab Existem funções do Matlab para calcular a matriz de ganho K, a partir da informação das matrizes A e B, e da localização desejada para os pólos em malha fechada (vetor P). K = PLACE(A,B,P) K = ACKER(A,B,P) O algoritmo empregado na função place encontra uma solução robusta para sistemas com múltiplas entradas. Mesmo para sistemas com uma única entrada recomenda-se o uso da função place. help acker Note: This algorithm uses Ackermann's formula. This method is NOT numerically reliable and starts to break down rapidly for problems of order greater than 10, or for weakly controllable systems. A warning message is printed if the nonzero closed-loop poles are greater than 10% from the desired locations specified in P. 8

9 Localização dos pólos de malha fechada Usualmente, a escolha da localização dos pólos de malha fechada é baseada na experiência do projeto pelo lugar das raízes, alocando um par de pólos dominantes de malha fechada. Se alocarmos os pólos dominantes de malha fechada muito distantes do eixo imaginário para que a resposta do sistema se torne muito rápida, os sinais no sistema se tornarão muito elevados, fazendo que ocorra a saturação de variáveis (tal como a razão cíclica), e o sistema se tornará não-linear. Pode-se empregar o controle quadrático ótimo para determinação da matriz de ganhos. Essa abordagem determina os pólos desejados de malha fechada para que haja uma conciliação entre a resposta aceitável e o total de energia de controle requerida. 9

10 Projeto por alocação de pólos Exemplo Conversor boost V in L S D C R + V o _ V in = 100 V V o = 400 V f s = 100 khz L = 1 mh C = 5 µf R = 200 Ω MODELO DE PEQUENOS SINAIS D' Vin 0 iˆ ˆ L L il D' L = + dˆ t vˆ D' 1 ˆ o v V o in 2 C RC D' RC iˆ L y = [ 0 1] v ˆ o 10

11 Projeto por alocação de pólos Exemplo Conversor boost malha aberta AUTOVALORES DA MATRIZ A (PÓLOS) 500 ± 3500i ω = 3535,5rad/s; ζ = 0,1414 n 10 Sinal de referência nulo Tensão inicial no capacitor = 10 V Tensão (V) Tempo (s) 11

12 Projeto por alocação de pólos Exemplo Conversor boost malha fechada PÓLOS DESEJADOS 7000 ± 7141,4 i ω = 10000rad/s; ζ = 0,7 15 n K = [ 0,0431 0,0027] Tensão (V) Sinal de referência nulo Tensão inicial no capacitor = 10 V Tempo (s) 12

13 Inclusão de integrador Se a planta não possuir integrador, deve-se inserir um integrador no ramo direto para eliminar o erro em regime permanente para uma entrada do tipo degrau. x = Ax + Bu y = Cx u = Kx + kiξ ξ = r y = r Cx onde: x = vetor de estado da planta (vetor n) u = sinal de controle (escalar) y = sinal de saída (escalar) ξ = saída do integrador (estado) r = referência (função degrau, escalar) A = matriz constante (n x n) B = matriz constante (n x 1) C = matriz constante (1 x n) 13

14 Inclusão de integrador Vamos supor que a planta seja de estado completamente controlável, então os pólos de malha fechada poderão ser alocados em qualquer posição desejada. Ainda, para evitar a possibilidade de o integrador inserido ser cancelado por um zero na origem da planta, vamos supor que a planta não possua zeros na origem. Supondo que o sinal de referência é aplicado em t = 0, então, as dinâmicas do sistema podem ser descritas, para t > 0, pela seguinte equação: x = Ax + Bu ξ = r y = r Cx x A 0 x B 0 = + u t + ξ 0 ξ 0 1 C r Projetaremos um sistema assintoticamente estável, tal que x( ), ξ( ) e u( ) tendam a valores constantes. Então, no regime permanente, ξ t = 0, e y( ) = r. COMO CALCULAR A MATRIZ DE GANHOS K? 14

15 Inclusão de integrador Em regime permanente tem-se que: ( ) ( ) x A 0 x B 0 = + u + ξ 0 ξ 0 1 C r Sabe-se que r(t) = r( ) = r. Então, subtraindo a equação de estados do sistema pela equação em regime permanente: x x A 0 x x B = + u u ( ) ξ ξ 0 ξ ξ 0 C x e A 0 xe B = + u ξ e 0 ξ e 0 C e xe = x x ( ) onde: ξ e = ξ ξ( ) ue = u u ( ) u = Kx + k ξ e e I e 15

16 Inclusão de integrador Definindo um novo vetor de erro e(t) de ordem (n + 1): e x e = ξ e Assim: onde: = ˆ + ˆ ue = Ke ˆ e Ae B u t t e Aˆ A 0 = 0 C ˆ B B = 0 K ˆ = [ K k I ] 16

17 Inclusão de integrador Substituindo u e (t) na equação de estado do erro tem-se que: = ( ˆ ˆ ˆ ) e A BK e Se os pólos desejados de malha fechada forem especificados, então a matriz de ganho K e a constante de ganho integral k I poderão ser determinadas pela técnica de alocação de pólos anteriormente apresentada, desde que o novo sistema também seja completamente controlável, ou seja, desde que: posto ( ˆ ˆ ˆ ˆ ) n 1 B AB A B ˆ... = n + 1 A posto C B 0 = n

18 Inclusão de integrador Conversor boost malha fechada PÓLOS DESEJADOS 8796 ± 8974i f n = 2000Hz; ζ = 0,7 ; 8000 [ ] K = 0,1198 0, ,

19 Bibliografia K. Ogata, Engenharia de Controle Moderno. 4ª Edição 19