CÁLCULO I. 1 Regras de Derivação. Objetivos da Aula. Aula n o 12: Regras de Derivação. Apresentar e aplicar as regras operacionais de derivação;

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1 CÁLCULO I Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior Aula n o 2: Regras e Derivação Objetivos a Aula Apresentar e aplicar as regras operacionais e erivação; Derivar funções utilizano iferentes técnicas; Conhecer e aplicar a regra a caeia. Regras e Derivação Diferenciação ou erivação é a operação utilizaa para encontrar a erivaa e uma função, quano esta é erivável. Existem alguns resultaos que facilitam a operação e iferenciação. Teorema. Sejam f e g funções eriváveis e c uma constante real, então a) (f + g) (x) = f (x) + g (x) b) (f g) (x) = f (x) g (x) c) (c f) (x) = c f (x) ) (f g) (x) = f(x) g (x) + g(x) f (x) e) ( f g ) (x) = f (x) g(x) g (x) f(x) [g(x)] 2 Exemplo. Calcule f (x), seno f(x) = x + x 2 +. Aplicano a regra a erivaa a soma, temos: f (x) = [x ] + [x 2 ] + [] = x 2 + 2x. Exemplo 2. Calcule f (x), seno f(x) = x + x. Note que: f(x) = x + x = x + x 2 Aplicano a regra a erivaa a soma, temos f (x) = + 2 x 2 = + 2 x 2 = + 2 x. Exemplo. Calcule f (x), seno f(x) = 5x 4 + bx + cx 2 + k, one b, c e k são constantes.

2 Utilizano a regra a erivaa a soma e a erivaa a potência, temos: f (x) = 20x + bx 2 + 2cx Exemplo 4. Calcule f (x), seno f(x) = (x 2 + x) sen x. Aplicano a regra a erivaa o prouto, temos: f (x) = (x 2 + x) cos x + sen x(2x + ). Exemplo 5. Calcule f (x), quano f(x) = 5x x 2 +. Aplicano a regra a erivaa o quociente, temos: f (x) = (5x).(x 2 + ) (x 2 + ).(5x) (x 2 + ) 2 = 5(x2 + ) (2x).(5x) (x 2 + ) 2 = 5x x 2 (x 2 + ) 2 = 5x2 + 5 (x 2 + ) 2. Exemplo 6. Calcule f (x), para f(x) = tg x. Note que: f(x) = tg x = sen x cos x Utilizano a regra a erivaa o quociente, temos; f (x) = cos x(cos x) ( sen x) sen x cos 2 x = cos2 x + sen 2 x cos 2 x Utilizano a regra o quociente, poemos provar também que = cos 2 x = sec2 x. f(x) = sec x f (x) = sec x tg x f(x) = cotg x f (x) = cossec 2 x f(x) = cossec x f (x) = cossec x cotg x (Verique!) Exemplo 7. Mostre que se a > 0, a, então (log a x) = x ln a Utilizano a fórmula a muança e base e a proprieae (c) o Teorema, obtemos que (log a x) = ( ) ln(x) ln(a) = (ln x) ln a = x ln a Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 2

3 Exemplo 8. Calcule f (x), quano f(x) = x2 + 2 x x Note que: f(x) = x2 + 2 x x Aplicano a erivaa a soma, temos: = x2 x + 2 x 2x 2 = x + x x = x + 2x 2 f (x) = x 2 = x x. Observação. O Exemplo 8 nos mostra que nem sempre precisamos aplicar a regra o quociente logo e primeira. Algumas vezes é mais fácil reescrever um quociente primeiro, colocano-o em uma forma que seja mais simples para erivar. Exemplo 9. Seja x = t 2 sen(t). Calcule: a) t b) t t=π a) Aplicano a regra a erivaa o prouto, temos: b) Calculano, temos: t=π t t = t (t2 sen t) = 2t sen t + t 2 cos t = t(2 sen t + t cos t). t = π(2 sen π + π cos π) = π 2. t=π Exemplo 0. Seja y = u 2 em que u = u(x) é uma função erivável. Verique que Assim, Note que: Exemplo. Calcule, em que y = (x2 + x) 2. Fazeno u = x 2 + x, temos: Pelo Exemplo 0, temos: = 2uu. y = u 2 = u u = u [u u] = u + uu. = 2uu. y = u 2. = 2uu. u Como = [x 2 + x] = 2x +, temos: = 2 (x2 + x) (2x + ). }{{}}{{} u u Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior

4 Observação 2. Vimos no Exemplo 0, que seno y = u 2, com u = u(x) erivável, resulta em Por outro lao: Assim, em (), temos: y = u 2 = 2uu. () u = u [u2 ] = 2u. = u.u, (2) em que eve ser calculao em u = u(x). Mostraremos na próxima seção que esta regra (2), conhecia u como regra a caeia é vália sempre que y = y(u) e u = u(x) forem eriváveis. Exemplo 2. Calcule f (x), para f(x) = cos 2 (2x). Temos que: f (x) =.2.2 cos(2x). sen(2x) = 2 cos(2x) sen(2x). ( x ) Exemplo. Calcule f (x), quano f(x) = x sen. Temos que: f (x) = x 2. cos ( x ). Exemplo 4. Calcule f (x), para f(x) = (5x )( x + 5x ) 4. Note que: [5x ] = 5 [ ( x + 5x ) 4] = 4( x + 5x ) ( x 2 + 5) Aplicano a regra a erivaa o prouto, segue que: f (x) = 5.( x + 5x ) 4 + (5x ).4( x + 5x ) ( x 2 + 5) = ( x + 5x ). [ 5( x + 5x ) + 4(5x )( x 2 + 5) ] = ( x + 5x ). [ 5x + 5x 5 + 4( 5x + 25x + x 2 5) ] = ( x + 5x ). [ 5x + 25x 5 60x + 00x + 2x 2 20 ] = ( x + 5x ).( 65x + 2x x 5). Exemplo 5. Encontre a equação a reta tangente à curva y = x x no ponto (, ). Assim: Note que y = f(x) = x x = x.x 2 = x 2. y = 2 x 2 = 2 x 2 = x. 2 Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 4

5 Logo, a inclinação a reta tangente em (, ) é f () = 2. Portanto, uma equação a reta tangente é: y f() = f ().(x ) y = (x ) 2 y = 2 x 2 Gracamente, temos: Exemplo 6. Encontre os pontos sobre a curva y = x 4 6x 2 + 4, one a reta tangente é horizontal. As retas tangente horizontais ocorrem quano erivaa é igual a zero. Temos: [x4 6x 2 + 4] = 4x 2x = 4x(x 2 ). Assim: 4x(x 2 ) = 0 x = 0 ou x = ±. Logo, a curva aa tem tangentes horizontais, quano x = 0, x = e x =. corresponentes são (0, 4), (, 5) e (, 5). Gracamente, temos: Os pontos Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 5

6 Regra a Caeia Consiere a função F (x) = (x 2 + x) 2. e g(y) = y 2 e que F (x) = (g f)(x). Sabemos que F (x) é a composta as funções y = x 2 + x Pelo o que foi ministrao em aulas anteriores, sabemos erivar separaamente f(x) e g(y), contuo, aina não sabemos erivar uma função composta. A regra e erivação para uma função composta é a chamaa regra a caeia, enunciaa abaixo: Teorema 2 (Regra a Caeia). Sejam g(y) e y = f(x) uas funções eriváveis, com Im g D f. Então a função composta g(f(x)) é erivável e vale a regra: [g(f(x))] = g (f(x)).f (x) () Em notação e Leibniz, temos: g = g (4) Vejamos alguns exemplos e utilização e aplicação a regra a caeia. Exemplo 7. Calcule a erivaa e F (x) = x 2 +. Vamos resolver esse exemplo e uas formas. Solução(): Determinamos as funções y = f(x) e g(y) tais que F = (g f)(x). E observano a função F, observamos que f(x) = x 2 + e g(y) = y. Logo, utilizano a fórmula (), obtemos que F (x) = g (f(x)).f (x) = 2 f(x).2x = x x 2 + Solução(2): Uma outra forma e resolver esse exemplo é chamano y = x 2 + e assim, obtemos que F (y) = y. Assim, pela fórmula (4), obtemos que F = F = 2 y.2x = x 2 + Portanto, poemos utilizar qualquer uma as fórmulas no teorema 2 para calcular a erivaa e uma função composta. Vejamos mais alguns exemplos. Exemplo 8. Derive y = sen x 2 e z = sen 2 x. Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 6

7 Escreveno t = x 2 e y = sen t. Logo, por (), obtemos que y = y (t(x)).t (x) = cos(t(x)).2x = 2x cos(x 2 ) Agora, escreveno y = sen x, obtemos que z = y 2. Logo, utilizano (4) obtemos que z = z = 2y. cos x = 2 sen x cos x = sen 2x Exemplo 9. Derive y = (x ) 00. Escreveno u = x, obtemos que y = u 00. Logo, Exemplo 20. Calcule f (x), seno que f(x) = = u.u = 00u99.x 2 = 00x 2 (x ) 99 x 2 + x +. Fazeno f(u) = u e u(x) = x 2 + x +, temos que f (x) = f (u(x)).u (x) = u 2 (2x + ) = (2x + ) (x 2 + x + ) 2 Exemplo 2. Encontre a erivaa a função g(t) = ( ) t t + Fazeno y = t 2 2t +, obtemos que g(y) = y9. Logo, pela regra a caeia, obtemos que g t = g t = 9y8 t (5) Calculano t, tem-se t = t [ t 2 2t + ] = (t 2) (2t + ) (t 2)(2t + ) (2t + ) 2 = 2t + 2t + 4 (2t + ) 2 = 5 (2t + ) 2 Logo, (5) torna-se ( ) g t 2 8 t = (t 2)8 = 2t + (2t + ) 2 (2t + ) 0 Exemplo 22. Se h(x) = sen (cos(tg x)), etermine f (x). Solução (): Fazeno y = f(x) = cos(tg x) e g(y) = sen y, segue a regra a caeia que h (x) = g (f(x)).f (x) = cos(f(x)).(cos(tg x)) = cos(cos(tg x)).(cos(tg x)) Consierano agora que y = f(x) = tg x e g(y) = cos y, aplicamos a regra a caeia novamente e obtemos que [cos(tg x)] = sen (f(x)). sec 2 x = sen(tg x). sec 2 x logo, h (x) = cos(cos(tg x)). sen(tg x). sec 2 x Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 7

8 Solução (2): Escreveno y = cos(tg x) então h(y) = sen y. Pela regra a caeia, h = h (6) Como y = cos(tg x) é uma função composta, então poemos escrever u = tg x, temos que y = cos u. Logo, pela regra a caeia, obtemos que Substituino (7) em (6), obtemos que = u u h = h u u = cos(y).( sen u). sec2 x = cos(cos(tg x)). sen (tg x). sec 2 x ( Exemplo 2. Seja f : R R uma função erivável e seja g(x) = f(cos x). Calcule g π ) supono ( ) f = 4. 2 (7) Utilizano a regra a caeia, obtemos que g (x) = f (cos x).(cos x) = f (cos x) sen x logo, ( g π ) ( ( π )) ( π ) ( ) = f cos sen = f 2 2 = 2 Exemplo 24. Calcule 2 y sabeno que y = cos 5x. 2 Chamano u = 5x, segue a regra a caeia que Derivano novamente, temos que 2 y 2 = Chamano novamente u = 5x, temos que logo, = u = sen u.5 = 5 sen(5x) u ( ) = ( 5 sen 5x) = 5 (sen 5x) (sen 5x) = 5 cos(5x) 2 y = 25 cos(5x) 2 Exemplo 25. Seja f : R R uma função erivável até 2 a orem e seja g aa por g(x) = f(x 2 ). Calcule g (2), supono que f (4) = 2 e f (4) =. Segue a regra a caeia que g (x) = f (x 2 ).2x = 2x.f (x 2 ) e que g (x) = (g (x)) = (2x.f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 )) = 2f (x 2 )+2x.(f (x 2 ).2x) = 2f (x 2 )+4x 2.f (x 2 ) Seno assim, g (2) = 2f (2 2 ) f (2 2 ) = 2.f (4) + 6f (4) = = 52 Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 8

9 Exemplo 26. A função iferenciável y = f(x) é tal que, para too x D f, xf(x) + sen (f(x)) = 4 (8) Mostre que f (x) = f(x) x + cos(f(x)) Derivano a equação (8) em relação a x, obtemos que [xf(x) + sen (f(x))] = [4] [xf(x)] + [sen f(x)] = 0 f(x) + xf (x) + cos f(x).f (x) = 0 f (x) [x + cos f(x)] = f(x) f (x) = f(x) x + cos f(x) Exemplo 27. Seja y = x, em que x = x(t) é uma função erivável até 2 a orem. Verique que 2 ( ) y 2 t 2 = 6x + x 2 2 x t t 2 Derivano em relação a t e utilizano a regra a caeia, obtemos que t = = x2 t t Derivano mais uma vez em relação t, obtemos que Utilizano a regra o prouto, temos que 2 y t 2 = t [ t 2 y t 2 = [ x 2 ] t t + x2 t ] = t [ x 2 ] t [ ] = [ x 2 ] t t t + x2 2 x t 2 Pela regra a caeia, obtemos Assim, [ x 2 ] = 6x t t 2 ( ) y 2 t 2 = 6x + x 2 2 x t t 2 Resumo Faça um resumo os principais resultaos vistos nesta aula. Aprofunano o conteúo Leia mais sobre o conteúo esta aula nas páginas e 88 9 o livro texto. Sugestão e exercícios Resolva os exercícios as páginas e o livro texto. Prof. Marcos Diniz Prof. Anré Almeia Prof. Eilson Neri Júnior 9