Realimentação de Estado Sistemas SISO

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1 1. Realimentação de Estado para Sistemas SISO pag.1 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

2 Considere o sistema n dimensional, SISO: ẋ = Ax + bu y = cx Na realimentação de estados, a entrada u é dada por u = r kx = r k 1 k 2 k n x sendo r um sinal de referência. Substituindo u ẋ = (A bk)x + br y = cx pag.2 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

3 Esquemático k r + u b + + ẋ R x c y A pag.3 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

4 Teorema O par (A bk, b) é controlável para qualquer vetor k R 1 n se e somente se o par (A, b) também o for Demonstração Considere, eg, n = 4 e as matrizes de controlabilidade C = b Ab A 2 b A 3 b C f = b (A bk)b (A bk) 2 b (A bk) 3 b Veja que C f = C 1 kb k(a bk)b k(a bk) 2 b 0 1 kb k(a bk)b kb e a matriz à direita é não singular para qualquer k. Portanto, o posto de C f é igual ao de C... pag.4 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

5 O resultado do teorema anterior pode também ser demonstrado utilizando a definição de controlabilidade. Considere x 0 e x 1 arbitrários. Se o sistema original é controlável, existe u 1 que leva de x 0 a x 1 em tempo finito. Se escolher uma entrada da forma r 1 = u 1 + kx, então leva o sistema controlado de x 0 a x 1 (veja que ẋ = (A bk)x + br) Observe também que r não controla o estado diretamente; r gera a entrada u que é usada para controlar x. Portanto, se u não controla o estado x, r também não controlará... Controlabilidade: é invariante sob qualquer realimentação de estados A propriedade de observabilidade não é invariante... pag.5 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

6 Exemplo ẋ = y = x + x 0 1 u Pode-se veriificar que o par (A, B) é controlável e o par (A, C) é observável Define-se u = r 3 1 x, então ẋ = y = x + x 0 1 r pag.6 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

7 Veja que as matrizes de controlabilidade e observabilidade do sistema realimentado são tais que: C f = O f = , posto = 2, posto = 1 O sistema é controlável e não observável pag.7 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

8 Exemplo ẋ = x u Polinômio característico: (s) = (s 4)(s + 2) Realimentação de estados: u = r ẋ = 1 k 1 3 k k 1 k 2 x x r Polinômio característico: f (s) = s 2 + (k 1 2)s + (3k 2 k 1 8) A escolha de k 1 e k 2 pode alocar os autovalores do sistema em malha fechada em qualquer posição arbitrária... pag.8 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

9 Teorema Considere o sistema ẋ y = Ax + bu = cx com n = 4 e o polinômio característico (s) = det(si A) = s 4 + α 1 s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 Se o sistema é controlável, então existe uma transformação x = Px com 1 α 1 α 2 α 3 Q = P 1 = b Ab A 2 b A α 1 α 2 b α que leva o sistema à forma canônica controlável a seguir pag.9 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

10 forma controlável: α 1 α 2 α 3 α 4 x = Ā x + bu = y = c x = β 1 β 2 β 3 β 4 x x u Além disso, a função de transferência do sistema é dada por G(s) = β 1s 3 + β 2 s 2 + β 3 s + β 4 s 4 + α 1 s 3 + α α 3s + α 4 pag.10 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

11 Demonstração: Sejam C e C as matrizes de controlabilidade do sistema original e do transformado, respectivamente. No caso SISO, ambas são quadradas. Se o sistema original é controlável ou C é não singular, C também o é, e as duas matrizes se relacionam na forma C = PC. Assim, P = CC 1 ou Q = P 1 = C C 1 A matriz de controlabilidade do sistema transformado é dada por 1 α 1 α 2 1 α 2 α α 1α 2 α α 1 α C 2 1 = α α e sua inversa é dada por... pag.11 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

12 C 1 = 1 α 1 α 2 α α 1 α α e substituindo-se em Q = C C 1 obtém-se o resultado do teorema Ainda, verifica-se que a equação de estado transformada é uma realização da função de transferência G(s), que por sua vez é também a função de transferência do sistema original pag.12 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

13 Teorema Se o sistema ẋ = Ax + bu y = cx é controlável, então com a realimentação de estados u = r kx pode-se alocar arbitrariamente os autovalores de A bk (desde que autovalores complexos apareçam em pares complexo conjugados) Demonstração Considerando n = 4, se o sistema é controlável, então pode ser colocado na forma canônica controlável, apresentada no Teorema anterior, ie pag.13 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

14 α 1 α 2 α 3 α 4 x = Ā x + bu = y = c x = β 1 β 2 β 3 β 4 x x u com Ā = PAP 1 e b = Pb. Substituindo x = Px na lei de controle, tem-se u = r kx = r kp 1 x r k x com k kp 1. Como Ā b k = P(A bk)p 1, as matrizes (A bk) e (Ā b k) têm os mesmos autovalores... pag.14 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

15 Especificados os autovalores do sistema em malha fechada, pode-se formar o polinômio característico do sistema em malha fechada f (s) = s 4 + ᾱ 1 s 3 + ᾱ 2 s 2 + ᾱ 3 s + ᾱ 4 Se k é escolhido como k = ᾱ 1 α 1 ᾱ 2 α 2 ᾱ 3 α 3 ᾱ 4 α 4 a equação dinâmica em malha fechada é descrita por ᾱ 1 ᾱ 2 ᾱ 3 ᾱ 4 x = (Ā b k) x + br = x r e o polinômio característico de (A bk) e (Ā b k) é dado por f (s) pag.15 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

16 O ganho de realimentação de estados k que faz a alocação desejada pode ser computado k = kp = k CC 1 sendo C = b Ab A 2 b A 3 b e C 1 = 1 α 1 α 2 α α 1 α α pag.16 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

17 Outra maneira de computar k f (s) = det(si A + bk) = det ( (si A) I + (si A) 1 bk ) = det(si A) det I + (si A) 1 bk = (s) 1 + k(si A) 1 b onde se utilizou a propriedade det(i m + AB) = det(i n + BA), para A, m n, e B, n m, sendo que no caso específico tem-se k R 1 n Portanto Seja k = f (s) (s) = (s)k(si A) 1 b = (s) k(si Ā) 1 b k1 k2 k3 k4 pag.17 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

18 Observando a configuração de realimentação: z k r + u b + + x R x c y Ā FT de u para y: c(si Ā) 1 b = β 1s 3 + β 2 s 2 + β 3 s + β 4 (s) FT de u para z: k(si Ā) 1 b = k 1 s 3 + k 2 s 2 + k 3 s + k 4 (s) pag.18 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

19 Portanto fazendo as substituições da FT de u para z, f (s) = s 4 + ᾱ 1 s 3 + ᾱ 2 s 2 + ᾱ 3 s + ᾱ 4 e ainda (s) = s 4 + α 1 s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 na expressão f (s) (s) = (s) k(si Ā) 1 b obtém-se (ᾱ 1 α 1 )s 3 +(ᾱ 2 α 2 )s 2 +(ᾱ 3 α 3 )s+(ᾱ 4 α 4 ) = k 1 s 3 + k 2 s 2 + k 3 s+ k 4 que recupera o ganho k proposto quando se igualam-se as potências... pag.19 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

20 Curiosidades Considere uma FT com n = 4: G(s) = c(si A) 1 b = β 1 s 3 + β 2 s 2 + β 3 s + β 4 s 4 + α 1 s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 Função de Transferência em Malha Fechada (com u = r kx): G f (s) = c(si A + bk) 1 b = β 1 s 3 + β 2 s 2 + β 3 s + β 4 s 4 + ᾱ 1 s 3 + ᾱ 2 s 2 + ᾱ 3 s + ᾱ 4 A realimentação de estados pode alterar a localização dos pólos, mas não afeta os zeros da função de transferência Pode afetar a observabilidade: se um ou mais pólos são deslocados de maneira a coincidir com zeros, pode haver cancelamento pag.20 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

21 Exemplo Considere o pêndulo invertido linearizado: ẋ = x y = x u O sistema é controlável; o polinômio característico é: (s) = s 2 (s 2 5) = s 4 + 0s 3 5s 2 + 0s + 0 pag.21 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

22 Colocando o sistema na forma canônica controlável (P 1 = C C 1 ) C = ; C = /2 P /2 0 = ; P = /3 0 1/ /3 0 1/6 0 Alocação desejada: 1.5 ± 0.5j e 1 ± j pag.22 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

23 então: f (s) = (s j)(s j)(s+1 j)(s+1 + j) = s 4 + 5s s s + 5 k = = = ᾱ 3 α 3 ᾱ 2 α 2 ᾱ 1 α 1 ᾱ 0 α 0 (5 0) ( ) (11 0) (5 0) k = kp = 5/3 11/3 103/12 13/3 MATLAB k=place(a,b,p) pag.23 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

24 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos Considere o sistema n dimensional, SISO: ẋ = Ax + bu y = cx Para n = 4, então C = b Ab A 2 b A 3 b é a matriz de controlabilidade e o sistema transformado x = Px com 1 α 1 α 2 α 3 Q = P α 1 α 2 = C α pag.24 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

25 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos e tem a forma canônica controlável 2 x = 6 4 h y = α 1 α 2 α 3 α i β 1 β 2 β 3 β 4 x x u 7 5 A relação entre a matriz de controlabilidade do sistema original e a do transformado é dada por C = PC, ou Q = P 1 = C C 1 e α 1 α 2 1 α 2 α α 1 α 2 α α 1 α C 2 1 α 2 = α pag.25 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

26 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos No caso geral, a última linha da matriz C tem a forma e n Para a alocação desejada, define-se o polinômio característico do sistema em malha fechada f (s) = s 4 + ᾱ 1 s 3 + ᾱ 2 s 2 + ᾱ 3 s + ᾱ 4, que deve ser igualado com det(si Ā+ b k) = s 4 +(α 1 + k 1 )s 3 +(α 2 + k 2 )s 2 +(α 3 + k 3 )s+(α 4 + k 4 ) impondo k = ᾱ 1 α 1 ᾱ 2 α 2 ᾱ 3 α 3 ᾱ 4 α 4 Pelo Teorema de Cayley-Hamilton... pag.26 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

27 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos Teorema de Cayley-Hamilton Toda matriz dinâmica satisfaz sua equação característica: Ā n + α 1 Ā n 1 + α 2 Ā n α n 1 Ā + α n I = 0 Então utilizando os coeficientes do polinômio de malha fechada, pode-se formar o polinômio f (Ā) Ā n + ᾱ 1 Ā n 1 + ᾱ 2 Ā n ᾱ n I Substituindo-se Ā n obtido a partir da equação característica, tem-se f (Ā) = (ᾱ 1 α 1 )Ā n 1 + (ᾱ 2 α 2 )Ā n (ᾱ n α n )I pag.27 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

28 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos Levando em conta a estrutura particular de Ā (na forma controlável), nota-se que e nā = e n 1 e conseqüentemente (e nā)ā = e nā2 = = Ā e n 2 implicando e nān 1 = e 1 e... pag.28 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

29 Fórmula de Ackermann Alocação de Pólos Portanto, multiplicando f (Ā) por e n, tem-se e n f(ā) = (ᾱ 1 α 1 )e 1 + (ᾱ 2 α 2 )e (ᾱ n α n )e n = k 1 e 1 + k 2 e k n e n = k1 k2 kn = k Como k = kp e P = CC 1, tem-se k = e n f(ā)p = e n f(pap 1 )P = e n P f(a) = e n CC 1 f (A) ou, como e n C = e n, chega-se a (Fórmula de Ackermann): k = e n C 1 f (A) MATLAB k=acker(a,b,p) pag.29 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

30 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Considere o par (A, b) controlável, com A R n n e b R n 1. Encontre k tal que (A bk) tenha os autovalores desejados (desde que não coincidam com nenhum dos autovalores de A) Procedimento 1. Escolha uma matriz F R n n com os autovalores desejados 2. Escolha k arbitrário tal que (F, k) seja observável 3. Obtenha a solução única T da equação de Lyapunov AT TF = b k 4. Compute o ganho de realimentação k = kt 1 pag.30 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

31 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Se T é não singular, k = kt e AT TF = b k implicam (A bk)t = TF A bk = TFT 1 (A bk) e F são similares (mesmos autovalores). Se A e F não têm autovalores comuns, existe uma única solução T para qualquer k. Caso A e F tenham algum autovalor comum, a solução T pode existir ou não (depende de b k) Para garantir que T é não singular: Teorema Se A e F não têm autovalores em comum, então a única solução de AT TF = b k é não-singular se e somente se (A, b) é controlável e (F, k) é observável pag.31 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

32 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Demonstração Considere n = 4 e o polinômio característico de A dado por (s) = s 4 + α 1 s 3 + α 2 s 2 + α 3 s + α 4 Cayley-Hamilton: (A) = A 4 + α 1 A 3 + α 2 A 2 + α 3 A + α 4 I = 0 Considere agora (F) = F 4 + α 1 F 3 + α 2 F 2 + α 3 F + α 4 I Se λ i é um autovalor de F, então ( λ i ) é autovalor de (F). Como A e F não têm autovalores em comum, ( λ i ) 0 para todo autovalor de F Como o determinante de uma matriz é igual ao produto de seus autovalores, tem-se det (F) = i ( λ i ) 0 e portanto (F) é não singular pag.32 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

33 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Substituindo AT = TF + b k em A 2 T TF 2, tem-se A 2 T TF 2 = A(TF + b k) TF 2 = Ab k + (AT TF)F = Ab k + b kf De maneira similar, obtém-se o conjunto de equações: IT TI = 0 AT TF = b k A 2 T TF 2 = Ab k + b kf A 3 T TF 3 = A 2 b k + Ab kf + b kf A 4 T TF 4 = A 3 b k + A 2 b kf + Ab kf + b kf pag.33 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

34 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Multiplicando a primeira equação por α 4, a segunda por α 3, a terceira por α 2, a quarta por α 1, a última por 1, e somando todas, tem-se (lembrando que (A) = 0) (A)T T (F) = T (F) α 3 α 2 α 1 1 = b Ab A 2 b A 3 α 2 α b α k kf kf 2 kf 3 Se (A, b) é controlável e (F, k) é observável, as matrizes acima são não-singulares, e como (F) 0, necessariamente T é não singular pag.34 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

35 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Escolha de F e k: F companheira e k = ou, se autovalores complexos, F modal e k com ao menos um elemento diferente de zero associado a cada bloco diagonal Exemplo Pêndulo invertido e alocação 1.5 ± 0.5j e 1 ± j F = ; k = MATLAB k = O ganho é único em sistemas SISO (usando place ou lyap) pag.35 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

36 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos Cálculo direto dos valores do ganho k ẋ = x y = x u Alocação desejada: 1.5 ± 0.5j e 1 ± j f (s) = (s j)(s j)(s + 1 j)(s j) = s 4 + 5s s s + 5 pag.36 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

37 Equação de Lyapunov Alocação de Pólos A bk = k 1 k 2 k 3 1 k ; k = k 1 k 2 k 3 k 4 2k 1 2k k 3 2k 4 det si (A bk) = s 4 +(k 2 2k 4 )s 3 + (k 1 2k 3 5)s 2 3k 2 s 3k 1 Então k 1 = 5 3 ; k 2 = 11 3 ; k 3 = ; k 4 = 13 3 pag.37 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

38 Estabilização Considere um sistema não controlável, ie, nem todos os autovalores podem ser arbitrariamente alocados, via realimentação. A equação de estado pode ser transformada em x c x c = Āc Ā 12 0 Ā c x c x c + b c 0 u com (Ā c, b c ) controlável. Note que como a matriz Ā é bloco diagonal, os autovalores de A são os autovalores das matrizes Ā c e Ā c Como fica a configuração de realimentação de estado? pag.38 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

39 Estabilização A realimentação de estado u = r k x = r k1 k2 x c x c produz o sistema em malha fechada x c x c = Āc b c k1 Ā 12 b c k2 0 Ā c x c x c + b c 0 r Autovalores de Ā c não são afetados pela realimentação de estado. A controlabilidade do par (A, b) é não só suficiente mas também necessária para se alocar todos os autovalores de (A bk)... Se Ā c é estável, o sistema é estabilizável... pag.39 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

40 Regulação e Rastreamento Para r = 0, o comportamento dinâmico do sistema é governado pelas condições iniciais. O problema do regulador é obter uma realimentação de estados que leve a resposta para zero com uma certa taxa de decaimento: y(t) = ce (A bk)t x(0) (A bk) estável? Para r = a (constante), o problema do rastreamento assintótico consiste na determinação de um ganho de realimentação de estados que leve y(t) r(t) quando t... A lei de controle para o rastreamento deve incluir um ganho p feedforward: u(t) = pr(t) kx pag.40 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

41 Regulação e Rastreamento β 1 s 3 + β 2 s 2 + β 3 s + β 4 Por exemplo, para n = 4: G f (s) = p s 4 + ᾱ 1 s 3 + ᾱ 2 s 2 + ᾱ 3 s + ᾱ 4 (A, b) controlável implica que os autovalores de (A bk) ou equivalentemente os pólos de G f (s) podem ser arbitrariamente alocados. Para r(t) = a, alocando pólos com parte real negativa, tem-se a saída: y(t) aproxima-se de G f (0)a quando t A fim de se ter rastreamento assintótico, basta impor: G f (0) = 1 = p β 4 ᾱ 4 = p = ᾱ4 β 4 = β 4 0, o que ocorre se e somente se G(s) não tiver nenhum zero em s = 0 pag.41 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

42 Rejeição de Distúrbio Considere o sistema com entrada de distúrbio constante, w: ẋ = Ax + bu + bw y = cx Como obter a realimentação de estado tal que y(t) r(t) com w 0? O fundamento desta estratégia é introduzir um integrador, compondo o controlador, tal que o sinal de controle u garanta, ao mesmo tempo, estabilidade, alocação de pólos em malha fechada e rastreamento frente a distúrbios pag.42 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

43 lacem Rejeição de Distúrbio A estrutura do controle integral é apresentada abaixo quando se tem todas as variáveis de estado disponíveis para realimentação r + ẋ a 1 s x a k a + + w u + + Sistema x c y Integrador k pag.43 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

44 Rejeição de Distúrbio Defina um vetor de estado aumentado incluindo a saída do integrador x a, da, forma: x x a então a realimentação de estado pode ser: u = k k a x x a Substituindo no sistema original obtém-se ẋ = A + bk bk a x + ẋ a c 0 x a y = c 0 x x a 0 1 r + b 0 w pag.44 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18

45 Rejeição de Distúrbio Teorema Se (A, b) é controlável e se G(s) = c (si A) 1 b não tem na origem (s = 0), então todos os autovalores da matriz A podem ser alocados arbitrariamente selecionando o ganho k k a Como calcular o ganho de controle k k a? Simplesmente utilizando as mesmas técnicas obtidas anteriormente. Para isto, basta considerar as matrizes do sistema aumentado, sendo que este tem agora n + 1 variáveis de estado. k a é um valor escalar extraído de k k a, fruto do projeto pag.45 Teoria de Sistemas Lineares Aula 18