Universidade Federal de Lavras Departamento de Engenharia. GNE 219 Controle em Espaço de Estados

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1 Universidade Federal de Lavras Departamento de Engenharia GNE 219 Controle em Espaço de Estados 2º semestre de 217 Sala DEG 23 Professor: Daniel Leite Exercício Computacional 2 (entrega até sexta-feira, dia 3/11, às 18:) 1 Introdução Esta aula prática apresenta uma variedade de funções em Matlab para manipulação de equações e matrizes simbólicas. São também apresentados alguns conceitos úteis na análise de sistemas lineares descritos no espaço de estados como os conceitos de independência linear, autovetor e norma. Discute-se sobre a representação gráfica da solução de equações de estado. O toolbox Control Systems é explorado para obtenção das matrizes de controlabilidade e observabilidade de sistemas contínuos. O método de Ackermann é usado para projeto de controlador e observador. Ao final, os arquivos gerados com os devidos comentários e considerações devem ser entregues por . 2 Funções simbólicas O Matlab usa objetos simbólicos para representar variáveis e expressões. Uma expressão simbólica é uma expressão que contém objetos simbólicos. Um objeto simbólico é uma estrutura de dados do tipo cadeia de caracteres (string). O processamento simbólico é mais preciso que o processamento numérico visto que as operações com valores numéricos introduzem erros de arredondamento que se acumulam em operações sucessivas. Erros de arredondamento surgem porque a precisão numérica é limitada pelo número de dígitos utilizados em cada operação. Objetos simbólicos são criados através dos comandos sym e syms: >> sym( expressao ); >> syms x y z; Para representar a expressão 2+ 5= 1 fazemos: >> e = sym( 2*k + sqrt(5) = 1 ); Para criar uma variável simbólica para a expressão usamos: >> f = (x+y)/(x-2); Note que é uma variável simbólica quando a expressão contém ao menos uma variável simbólica (definida previamente).

2 Convertemos um valor numérico em uma constante simbólica fazendo: >> c = sym( (1+sqrt(5))/2 ); A variável simbólica guarda a expressão, e não o seu resultado. A constante simbólica pode ser reconvertida em um valor numérico a partir de: >> double(c); Usamos a função ezplot no seguinte formato ezplot (,, ) para criar o gráfico de = () no intervalo <<. Por exemplo, para criar o gráfico da função seno no intervalo 2<<2 usamos: >> ezplot( sin(x), [-2*pi, 2*pi]); Para traçar uma nova curva no mesmo gráfico, e.g. a função cosseno, usamos o comando hold da seguinte forma: >> hold on >> ezplot( cos(x), [-2*pi, 2*pi]); 3 Produto interno e multiplicação ponto a ponto Em Matlab, o operador ponto (. ) realiza, por exemplo, multiplicação ou potenciação de vetores ou matrizes de mesma dimensão de forma pontual. Por exemplo, seja o vetor linha a = [1 2 3]: >> a.*a >> ans = [1 4 9] >> a.^2 >> ans = [1 4 9] Chamamos de produto interno uma função de dois vetores que satisfaz determinados axiomas. Seja a = b = [1 2 3] dois vetores linha. Em Matlab o produto interno de e é calculado a partir de: >> dotprod = a*b' >> ans = 14 4 Matriz inversa e determinante O comando inv é usado em Matlab para calcular a inversa de uma matriz. Para verificar se uma matriz é matriz inversa de, é suficiente mostrar que A*B=I e B*A=I, onde I é a matriz identidade (eye). O comando det é usado para calcular o determinante de uma matriz.

3 5 Dependência linear Dizemos que os vetores,,,! são linearmente dependentes se existe números reais ",",,"!, não todos nulos, tal que: Supondo que " não seja nulo temos: " +" + +"!! =$ = " "! "! "! Portanto, o vetor pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores,,!. Os vetores,,,! são ditos linearmente dependentes. Por exemplo, os vetores (1,1,1), (1,1,2) e (2,2,3) são linearmente dependentes. Similarmente, os vetores (1,1,1), (1,1,2), (2,2,3) e (,,1) são linearmente dependentes. Uma maneira de verificar dependência linear é a partir do escalonamento de uma matriz contendo em suas linhas os elementos dos vetores em análise. Se ao menos uma das linhas da matriz for nula, então os vetores originais são linearmente dependentes. Se a única forma de obter o vetor nulo $ for tomar os coeficientes ",",,"! iguais a, então os vetores,,,! são ditos linearmente independentes. Por exemplo, os vetores (1,,), (,1,) e (,,1) são linearmente independentes. Da mesma forma, são linearmente independentes os vetores (1,1,1), (1,2,2) e (1,2,3). Se,, & é um conjunto de vetores linearmente independentes, então o conjunto ',(,) &, para todo ',(,*, também é linearmente independente. Uma forma de verificar independência linear de vetores é construir uma matriz contendo em suas linhas os elementos dos vetores em análise. Se o determinante da matriz for diferente de zero, então os vetores originais são linearmente independentes. 6 Autovalor e autovetor O comando eig computa os autovalores e autovetores de uma matriz. Sua sintaxe é: >> [V,D] = eig(a); Os autovalores de são armazenados na diagonal principal da matriz +. Os autovetores associados aos autovalores são armazenados nas colunas da matriz,. Considere = magic(n), onde magic é uma função que gera um quadrado mágico válido para todo - >, exceto para - = 2. O polinômio característico da matriz quadrada pode ser obtido de: >> chpol = poly(b); A variável chpol contem os coeficientes do polinômio característico da matriz em ordem descendente de acordo com a potência. Uma forma alternativa de se obter os autovalores de é calculando as raízes de chpol: >> eigenvalues = roots(chpol);

4 7 Norma Normas se aplicam a matrizes e vetores únicos, e, portanto, não são necessariamente vinculadas à noção de distância entre vetores e matrizes. A distância entre dois vetores no espaço R é geralmente dada pela norma-2 ou distância Euclidiana que é uma generalização do teorema de Pitágoras para mais de duas coordenadas e também a ideia intuitiva de distância. Outras medidas de distância, i.e., medidas baseadas em outras normas são algumas vezes consideradas. Seja um vetor,..., e um vetor 2,...,2. A distância de Minkowski + de ordem 3 (norma-3) é definida: += : 79 8,3 1 No caso especial em que 3 = (norma-infinito) tem-se: += =>? : 8 A 79 8 =? ( 2,, 2 ) Além da norma-2, a norma-1 (distância de Manhattan) e a norma- (distância de Chebyshev) são as mais usadas, sendo as demais raramente consideradas. Note que 3 não precisa ser necessariamente um número inteiro, podendo assumir valores reais, desde que não sejam menores que 1 segundo o teorema da inequação do triângulo para todos os espaços Euclidianos. Em Matlab, calculamos a norma de um vetor qualquer usando a função norm. 8 Solução da equação de estados não homogênea A solução da equação de estados não homogênea: B =+ pode ser obtida via Laplace transformada. Sua transformada é dada, após simples manipulações, por: ou C(D)=(DE ) ()+(DE ) F(D) C(D)= HI JK L()+ HI JK LF(D) onde M=I JK é a matriz de transição de estado. A transformada inversa de Laplace da última equação pode ser obtida pelo uso de integral de convolução. Logo:

5 (N)=I JK ()+OI J(KP) (Q)RQ S Note que, se a matriz for, por exemplo, uma matriz 2 2, I JK também é uma matriz 2 2. Em Matlab, I JK é calculada a partir do comando expm. Diferentemente do cálculo da exponencial da matriz, a integral de matriz calculada na equação acima deve considerar cada termo separadamente; quatro integrais são calculadas no caso. 9 Controlabilidade e observabilidade Os conceitos de controlabilidade e observabilidade são fundamentais em análise e controle no espaço de estados. A condição de completa controlabilidade de estados e observabilidade depõem a favor da existência de uma solução de projeto. A solução do problema de projeto pode não existir se o sistema não for controlável. O sistema B(N)=(N)+(N),()= S, R, R! é de estado completamente controlável se vetores de controle (N S ),, WN X Y ilimitados podem transferir o estado atual (N S ) para qualquer outro estado (N X ) em um intervalo de tempo N S,N X finito. Neste caso, a matriz de controlabilidade: Z= tem posto - (posto completo). A dimensão de Z é - -?. Em Matlab Z é obtida a partir do comando ctrb. O posto de Z pode ser verificado usando rank. Podemos desejar controlar a saída do sistema ao invés de seus estados. A controlabilidade completa de estado não é necessária nem suficiente para controlar a saída do sistema. Seja B(N)=(N)+(N),[(N)=\(N)++(N), R, R!,[ R 8. Esse sistema é de saída completamente controlável se vetores de controle (N S ),, WN X Y ilimitados podem transferir a saída atual [(N S ) para qualquer saída final [(N X ) em um intervalo de tempo N S,N X finito. Nesse caso, a matriz: ]=\ \ \ \ + tem posto 3 (posto completo). A dimensão de ] é 3 (-+1)?. Seja o sistema linear, invariante no tempo, não forçado: B(N)=(N),[(N)= \(N), R, [ R 8. Esse sistema é completamente observável se é possível determinar (N S ) a partir da observação de [(N) durante um intervalo de tempo N S,N X finito. Nesse caso, a matriz de observabilidade: ^=\ \ ( ) \ tem posto - (posto completo). A dimensão de ^ é Em Matlab ^ é obtida a partir do comando obsv. O posto de Z pode ser verificado usando rank. Uma condição necessária e suficiente para controlabilidade completa de estados e observabilidade completa é que não ocorram cancelamentos de polos e zeros na função ou matriz de transferência. Uma função de transferência que possui cancelamentos, não carrega toda a informação que caracteriza a dinâmica do sistema. K

6 1 Projeto pelo método de Ackermann Baseado na lei de controle por realimentação linear de estados: =h()= a= b d O ganho de realimentação de estados, a, de sistemas completamente controláveis, pode ser obtido pela fórmula de Ackermann: onde a= 1 Z 3 e () Z= é a matriz de controlabilidade de estados; e 3 e (D)=D +f D + +f D+f é o polinômio característico desejado em malha fechada. Logo, 3 e ()= +f + +f +f E. A fórmula de Ackermann modificada para o problema dual é: \ \ a h = 3 e ()b d b d, \ 1 onde a h é a matriz de ganhos do observador. Em Matlab, os comandos place e acker podem ser usados para projeto. 11 Exercícios 1) Calcule o determinante, a inversa e o traço da matriz simbólica Z=i R j. Traço é a soma dos elementos da diagonal principal. 2) Defina uma função () simbólica de 4ª ordem e calcule suas derivadas de primeira e segunda ordem. Use os comandos diff e pretty. 3) Calcule as derivadas de 1ª ordem com relação à dos elementos da matriz simbólica Z= k & R[ l. Dada a função 3()=( 1)( 2)( 3). Explore os comandos expand e factor. Comente.

7 4) Declare uma variável simbólica. Encontre os valores de para os quais a 1 2 matriz =D[?41 1: não é invertível ) Demonstre que RIN(+) RIN() + RIN() para matrizes quaisquer. 6) Escreva uma função indeplin(varin) que recebe 3 vetores de mesma dimensão e verifica se eles são linearmente independentes. 7) Seja = pascal(n), a matriz de Pascal de ordem -. a. Verifique se é diagonalizável, isto é, se tem autovalores distintos. b. Podemos reconstruir a matriz a partir de seus autovalores diag(d) e autovetores, fazendo =,+,. Esta operação pode ser calculada em Matlab a partir de V*D/V ou usando o operador inv. Verifique/Comente o tempo de execução nos dois casos para a matriz de Pascal fazendo - = 5,5,5. c. Suponha uma matriz tal que um dos seus elementos seja uma variável simbólica. Repita a análise do item b. 8) Calcule as normas 1, 2 e dos seguintes: a. Vetor linha: b. Quadrado mágico de dimensão 5. 9) Seja: 3 1 B =n 6 1 p+n1p, [= 1 1, ()=np 5 1 a. Resolva para [(N) sendo (N) o degrau unitário. b. Represente graficamente a resposta ao degrau. c. Repita a resolução usando o Symbolic Math Toolbox, i.e. usando syms e implementando a solução da equação de estados. Considere a condição inicial ()=1 1 q e um degrau unitário de entrada. 1) Seja: B =n 1 p+np, [=1, ()=np 6 1 Resolva para [(N), sendo (N) o degrau unitário, e represente graficamente a resposta do sistema ao degrau. 11) Para os sistemas representados no espaço de estados como segue: a. B =i j+i1 3 j, [= b. B =n18,25 6,25 11,75p+n3p, [= ,25 2,25 5,75 2 Obtenha o sistema diagonal similar. Comente sobre as novas matrizes obtidas. 12) Determine se o sistema B =n 1 5 p+n1p é de estado completamente controlável. Use os comandos ctrb e rank. 13) Determine se o sistema a. B =n 2 1 p+n1p, [=

8 é observável. Use os comandos obsv e rank. Determine também se o sistema é de saída completamente controlável. 14) As propriedades de controlabilidade e observabilidade dependem da representação no espaço de estados escolhida para um dado sistema. Em geral, a controlabilidade e a observabilidade são afetadas quando existe cancelamento de polo e zero na função de transferência. Considere os dois sistemas a seguir com representações: B7 = , [=\ 7 7 =i j, =i 1 j, \ =1 4 1 =n 1 p, =np, \ = a. Mostre que os sistemas possuem o mesmo comportamento dinâmico após o cancelamento de polos e zeros. b. Verifique a observabilidade de ambos os sistemas. 15) Projete um controlador de realimentação de estados para resultar em 2% de sobressinal e um tempo de acomodação de 2 segundos para a planta: v(d)= (D+6) (D+9)(D+8)(D+5) 16) Projete um observador 1 vezes mais rápido que o sistema em malha fechada para a planta do exercício anterior. OBS.: As funções trace, tic, toc, magic, step, stepinfo, initial, sym2poly, poly, canon e minreal podem ser úteis. Apêndice Lista com alguns comandos úteis em computação simbólica simplify: simplifica uma expressão simbólica collect: reescreve uma expressão como um polinômio subs: substitui uma variável por um valor int: integral (operação inversa da derivação diff) limit: limite de uma expressão taylor: expansão em série de Taylor poly2sym: converte os coeficientes de um polinômio em polinômio simbólico solve: solução simbólica de equações dsolve: solução simbólica de equações diferenciais