EES-20: Sistemas de Controle II. 21 Agosto 2017

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1 EES-2: Sistemas de Controle II 21 Agosto / 52

2 Recapitulando: Realimentação de estado r t u t y t x t Modelo da planta: Lei de controle: ẋ = Ax + Bu y = Cx u = Kx + Fr Representação para o sistema em malha fechada: ẋ = (A BK)x + BFr y = Cx 2 / 52

3 Recapitulando: Realimentação de estado Representação para o sistema em malha fechada: Função de transferência: ẋ = (A BK)x + BFr y = Cx T (s) = Y (s) R(s) = C ( si (A BK)) 1BF 3 / 52

4 Recapitulando: Alocação de polos Dados: Modelo da planta (malha aberta): ẋ = Ax + Bu y = Cx Posições desejadas para os polos de malha fechada ou, equivalentemente, polinômio característico desejado des (λ) Deseja-se obter uma lei de controle da forma u = Kx + Fr que aloque os polos nas posições desejadas e conduza a saída y até a referência r, sem erro em regime permanente estacionário. 4 / 52

5 Recapitulando: Alocação de polos Procedimento: Obter K fazendo Tomar F de modo que T () = isto é: ( ) det λi (A BK) = des (λ) [ ( ) 1BF C si (A BK) = 1, s= [ 1 F = C(A BK) 1 B (desde que o ganho DC da planta seja não nulo). 5 / 52

6 Recapitulando: Controlabilidade Seja A R n n e B R n 1. Se a matriz de controlabilidade P c R n n dada por P c = [ B AB A 2 B A n 1 B for inversível, então os autovalores de (A BK) podem ser alocados em quaisquer posições 1 do plano complexo por meio do ajuste da matriz de ganho K R 1 n. De forma resumida, diz-se que o par (A, B) é controlável. 1 Considerando que, fora do eixo real, os autovalores formem pares complexo-conjugados. 6 / 52

7 Recapitulando: Conversão para forma canônica controlável Se P c for inversível, pode-se calcular Pc 1 =. r e converter (A, B) para forma canônica controlável empregando a seguinte matriz de transformação de similaridade: r ra P =. ra n 1 7 / 52

8 Conversão para forma canônica controlável: Exemplo Consideremos o modelo de motor elétrico com os parâmetros empregados na aula passada: [ [ 2 2 A =, B = Considerando o seguinte polinômio característico desejado para a dinâmica de malha fechada: des (λ) = λ λ + 1 chegou-se à seguinte matriz de ganhos: K = [ 15 4,5 8 / 52

9 Conversão para forma canônica controlável: Exemplo [ [ 2 2 A =, B = P c = [ B AB [ 4 = 2 6 Matriz P c inversível Par (A, B) controlável. [ [ Pc 1 = /4 1/2 = 8 2 1/4 Tem-se r = [ 1/4. Portanto: [ [ r 1/4 [ 4 P = ra = 1/2 1/2 e P 1 = / 52

10 Conversão para forma canônica controlável: Exemplo [ 2 2 [ [ 1/4 [ 4 A = 8 3, B = 2, P = 1/2 1/2, P 1 = 4 2 Transformação de similaridade: w = Px, ẇ = Āw + Bu, com [ [ [ 1/ Ā = PAP 1 = 1/2 1/ [ [ [ 1/4 4 1 = = 1/2 1/ [ 1/4 [ [ B = PB = 1/2 1/2 2 = 1 1 / 52

11 Conversão para forma canônica controlável: Exemplo [ [ 1 Ā =, B = [ [ [ 1 [ Ā B K = k 1 k 2 = k 1 5 k 2 Polinômio característico desejado: des (λ) = λ λ + 1 Basta tomar k 1 = 78 e k 2 = 9, ou seja: K = [ / 52

12 Conversão para forma canônica controlável: Exemplo Lei de controle: u = K }{{} w = }{{} KP x. Portanto: Px K K = KP = [ 78 9 [ 1/4 1/2 1/2 = [ 15 4,5 (Resultado igual ao obtido na aula passada) Seria possível resumir essa sequência de operações em uma fórmula para cálculo de K? 12 / 52

13 Fórmula de Ackermann Seja (λ) = det(λi A) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ + a n o polinômio característico em malha aberta. Supondo P c inversível, pode-se converter (A, B) para a forma canônica controlável: 1... Ā = , B =. 1 a n a n 1 a 2 a / 52

14 k n = α 1 a 1 14 / 52 Fórmula de Ackermann A alocação de polos pode então ser realizada considerando a seguinte matriz: 1... Ā B K = a n k 1 a n 1 k 2 a 2 k n 1 a 1 k n Assim, dado des (λ) = λ n + α 1 λ n α n 1 λ + α n, deve-se fazer: k 1 = α n a n k 2 = α n 1 a n 1. k n 1 = α 2 a 2

15 Fórmula de Ackermann Portanto, K = [ (α n a n ) (α n 1 a n 1 ) (α 2 a 2 ) (α 1 a 1 ) Deve-se ainda calcular K = KP, com P = r ra. ra n 1 sendo r a última linha de Pc 1. Fazendo isso, tem-se K = (α n a n )r + (α n 1 a n 1 )ra + + (α 1 a 1 )ra n 1 15 / 52

16 Fórmula de Ackermann K = (α n a n )r + (α n 1 a n 1 )ra + + (α 1 a 1 )ra n 1 ou ainda: [ K = r α 1 A n 1 + α n 1 A + α n I (a 1 A n a n 1 A + a n I ) Pelo chamado Teorema de Cayley-Hamilton 2, sabe-se que qualquer matriz quadrada A satisfaz sua própria equação característica, isto é: A n + a 1 A n a n 1 A + a n I = 2 Vide Geromel e Korogui (211), página / 52

17 Fórmula de Ackermann [ K = r α 1 A n 1 + α n 1 A + α n I (a 1 A n a n 1 A + a n I ) (1) A n = (a 1 A n a n 1 A + a n I ) (2) De (1) e (2), chega-se à Fórmula de Ackermann: K = r(a n + α 1 A n 1 + α n 1 A + α n I ) 17 / 52

18 Fórmula de Ackermann: Resumo Supondo P c inversível, pode-se calcular K pela seguinte fórmula: K = [ 1 Pc 1 des (A) sendo des (A) calculado ao substituir λ por A no polinômio característico desejado em malha fechada: des (λ) = λ n + α 1 λ n 1 + α n 1 λ + α n 18 / 52

19 Alocação de polos no Matlab Fórmula de Ackermann implementada na função acker Método numericamente mais confiável implementado na função place (desvantagem: não aloca múltiplos polos na mesma posição) 19 / 52

20 Alocação de polos no Matlab >> A = [-2 2;-8-3; B = [;2; >> p = roots([1 14 1); >> acker(a,b,p) ans = >> place(a,b,p) ans = / 52

21 Interpretação alternativa para a propriedade de controlabilidade (Conforme Geromel e Korogui (21), páginas 181 e 182) 21 / 52

22 Controlabilidade: Interpretação alternativa A solução da equação de estado ẋ = Ax + Bu, com condição inicial x() e um dado sinal de controle u(t), t [, t f é dada por tf x(t f ) = e At f x() + e A(t f t) Bu(t)dt Problema inverso: Seria possível determinar u(t), t [, t f de modo a atingir um dado estado x(t f )? 22 / 52

23 Controlabilidade: Interpretação alternativa tf x(t f ) = e At f x() + e A(t f t) Bu(t)dt (3) Seja o Gramiano de Controlabilidade W c R n n definido como W c = tf e At BB T e AT t dt Se W c for inversível, então o sinal de controle dado por satisfaz (3). u(t) = B T e AT (t f t) W 1 c [x(t f ) e At f x() (4) 23 / 52

24 tf x(t f ) = e At f x() + e A(t f t) Bu(t)dt (3) u(t) = B T e AT (t f t) W 1 c [x(t f ) e At f x() (4) Com efeito, substituindo a expressão (4) no lado esquerdo de (3), tem-se e At f x() + t f ea(t f t) BB T e AT (t f t) Wc 1 [x(t f ) e At f x()dt ( ) = e At tf f x() + ea(t f t) BB T e AT (t f t) dt Wc 1 [x(t f ) e At f x() ou, fazendo ν = t f t: e At f x() + ( tf ) e Aν BB T e AT ν dν } {{ } W c = e At f x() + x(t f ) Wc 1 [x(t f ) e At f x() e At f x() = x(t f ) 24 / 52

25 Controlabilidade: Interpretação alternativa Qual a relação com a propriedade de controlabilidade? Se o par (A,B) for controlável, pode-se mostrar que W c é positivo definida e, portanto, inversível. 25 / 52

26 Inversibilidade de W c W c = Inicialmente, deve-se notar que W T c = = ( tf tf e, portanto, W c é simétrica. tf e At BB T e AT t dt) T = e At BB T e AT t dt = W c e At BB T e AT t dt tf ( e At BB T e AT t ) T dt Considerando agora um dado vetor coluna v R n, tem-se v T W c v = tf v} T {{ e At B} B} T e{{ AT t v} dt = z T (t) z(t) tf z 2 (t)dt, t f > em que z(t) = B T e AT t v é escalar. 26 / 52

27 Inversibilidade de W c v T W c v = tf v} T {{ e At B} B} T e{{ AT t v} dt = z T (t) z(t) tf z 2 (t)dt, t f > Uma vez que z(t) é função contínua do tempo, a integral t f z2 (t)dt somente será nula se z(t) =, t [, t f. Se for esse o caso, então z() = ż() = = z (n 1) () =, isto é, z(t) B T e AT t v B T ż(t) B = A T e AT t v = B T A T v = z (n 1) (t) t= B T (A T ) n 1 e AT t v t= } B T (A T ) n 1 {{ } Pc T ou seja, Pc T v =.. 27 / 52

28 Inversibilidade de W c P T c v = Se (A, B) for controlável, então P c será inversível e a equação P T c v = só admitirá a solução v =. Nesse caso, tem-se v T W c v = v = e, portanto, v T W c v, v Havendo-se já provado que v T W c v, v R n, conclui-se que ou seja, W c é positivo definida. v T W c v >, v 28 / 52

29 Controlabilidade: Interpretação alternativa Conclusão: Se o par (A, B) for controlável, pode-se transferir o estado de qualquer ponto inicial x() R n para qualquer ponto final x(t f ) R n por meio da aplicação de um sinal de controle (finito) u(t), t [, t f. 29 / 52

30 Ação de controle integral 3 / 52

31 Controle com realimentação de estado R L i t m t y t = t u t = v t g t J, b r t u t y t = t x t i t t 31 / 52

32 Controle com realimentação de estado r t u t y t x t Lei de controle: u(t) = Kx(t) + Fr(t) r t u t y t F K x t 32 / 52

33 Controle com realimentação de estado: Simulink R L i t m t y t = t u t = v t g t J, b Variáveis de estado: x 1 = ω, x 2 = i [ ẋ1 b K m = J J ẋ 2 K g R L L [ x1 y = [ 1 [ x 1 x 2 x L u 33 / 52

34 Simulink: Planta [ ẋ1 ẋ 2 = b J K g L K m J R L [ x1 x L u, y = [ 1 [ x 1 x 2 Gain 1 u 1/L R/L Gain Add dx2/dt 1 s Integrator x2 Km/J Gain dx1/dt Add Gain 1 s Integrator x1 1 y Gain b/j Kg/L 2 x 34 / 52

35 Simulink: Malha de controle Gain 1 u 1/L R/L Gain Add dx2/dt 1 s Integrator x2 Km/J Gain dx1/dt Add Gain 1 s Integrator x1 1 y Gain b/j Kg/L 2 x Step F Gain Add y u x Motor y To Workspace Gain K* u 35 / 52

36 Simulação Kg = 4; R = 1.5; L =.5; Km = 4; J = 2; b = 4; K = [15 4.5; F = 25; sim( SimulacaoMotorMF ) 36 / 52

37 Resultado 1.8 y (rad/s) t (s) 37 / 52

38 Cálculo de sobressinal e tempo de subida >> A = [-2 2;-8-3; B = [;2; K = [15 4.5; >> damp(a-b*k) Eigenvalue Damping Frequency -7.e e+i 7.e-1 1.e+1-7.e e+i 7.e-1 1.e+1 >> csi =.7; wn = 1; >> beta = acos(csi); wd = wn*sqrt(1-csi^2) >> exp(-pi*csi/sqrt(1-csi^2)) ans =.46 >> (pi-beta)/wd ans = / 52

39 Verificação do resultado 1.5 y (rad/s) t (s) 39 / 52

40 Exemplo: Descasamento de modelo R L i t m t y t = t u t = v t g t J, b E se houver descasamento entre o modelo adotado no projeto e a real dinâmica do sistema? Por exemplo, vamos supor que o coeficiente de atrito b na realidade seja maior do que o valor assumido no projeto. 4 / 52

41 Verificação (Matlab) Kg = 4; R = 1.5; L =.5; Km = 4; J = 2; b = 8; K = [15 4.5; F = 25; sim( SimulacaoMotorMF ) 41 / 52

42 Exemplo 1.8 y (rad/s) t (s) Erro de regime! 42 / 52

43 Introdução de integrador na malha de controle r t e t z t u t y t ( ) dt K i K x t Como determinar K i? É necessário reajustar K? 43 / 52

44 Introdução de integrador na malha de controle r t e t z t u t y t ( ) dt K i K x t Equações a serem consideradas: ẋ = Ax + Bu y = Cx e = r y ż = e u = Kx K i z 44 / 52

45 Introdução de integrador na malha de controle ẋ = Ax + Bu y = Cx e = r y ż = e u = Kx K i z Ideia: Definir um vetor de estado aumentado x a R n+1 como [ x x a = z Com isso, pode-se escrever [ [ ẋ Ax + Bu ẋ a = = ż r y = [ Ax Cx [ Bu + [ n 1 + r 45 / 52

46 Introdução de integrador na malha de controle ẋ a = [ ẋ ż = [ Ax Cx [ [ A n 1 x = C z }{{} A a [ Bu + }{{} x a [ B + [ n 1 + r }{{} B a [ n 1 u + 1 r } {{ } E a Por outro lado, a lei de controle pode ser escrita como u = Kx K i z = [ [ x K K i }{{} z K a }{{} x a Em malha fechada, tem-se ẋ a = A a x a + B a ( K a x a ) + E a r = (A a B a K a )x a + E a r 46 / 52

47 Introdução de integrador na malha de controle A a = [ A n 1 C ẋ a = (A a B a K a )x a + E a r [ B, B a = A equação de saída torna-se y = Cx = [ C [ x }{{} z C a }{{} x a [ n 1, E a = 1 Desse modo, tem-se a seguinte função de transferência em malha fechada: T (s) = C a [si (A a B a K a ) 1Ea Pode-se determinar K a por alocação dos polos de malha fechada, empregando o par (A a, B a ). 47 / 52

48 Introdução de integrador na malha de controle Retornando ao exemplo do motor elétrico: >> A = [-2 2;-8-3; B = [;2; C = [1 ; >> Aa = [A zeros(2,1);-c ; >> Ba = [B;; >> p = roots([1 14 1); >> pa = [p;-35; >> Ka = place(aa,ba,pa) Ka = >> K = Ka(1:2); Ki = Ka(3); Notar o sinal negativo em K i (vide diagrama de blocos). 48 / 52

49 Introdução de integrador na malha de controle Step Add1 1 s Integrator Ki* u Gain Add y u x Motor y To Workspace Gain K* u 49 / 52

50 Introdução de integrador na malha de controle 1.8 y (rad/s).6.4 b = 4 (valor nominal) b = t (s) 5 / 52

51 Exercício (para casa) Obter K a neste exemplo empregando apenas apoio computacional simples (operações aritméticas com escalares). Lembrete: Neste caso, tem-se des (λ) = (λ λ + 1)(λ + 35). 51 / 52

52 Próxima aula: Prova Início às 8: Duração de 1 minutos Conteúdo visto até a aula de hoje Consulta permitida somente a livros, anotações pessoais e material distribuído durante o curso Apoio computacional permitido somente para realização de operações escalares de soma, subtração, multiplicação, divisão, raiz quadrada e avaliação de exponenciais, logaritmos e funções trigonométricas. 52 / 52