EES-20: Sistemas de Controle II. 22 Setembro 2017

Transcrição

1 EES-2: Sistemas de Controle II 22 Setembro / 33

2 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida Modelo da planta e do sensor: ẋ = Ax + Bu + Gw y = Cx + v Observador de estado: ˆx = Aˆx + Bu + L(y ŷ) ŷ = C ˆx Lei de controle: u = K ˆx + Fr 2 / 33

3 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida Dinâmica do erro de estimação de estado: x = x ˆx x = (A LC) x + Gw Lv Dinâmica da planta: ẋ = Ax + Bu + Gw = Ax + B( K ˆx + Fr) + Gw = Ax BK ˆx + BFr + Gw = Ax BK(x x) + BFr + Gw = (A BK)x + BK x + BFr + Gw 3 / 33

4 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida Dinâmica completa do sistema em malha fechada: ẋ = (A BK)x + BK x + BFr + Gw x = (A LC) x + Gw Lv ou seja: [ ẋ x ] = [ (A BK) BK n n (A LC) ] [ x x ] [ BF + + [ G G n 1 ] r ] w + [ n 1 L ] v 4 / 33

5 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida Dinâmica completa do sistema em malha fechada: ẋ a A a [ {}} ] {{ [ }} ] {{ [ }} ] { [ {}} ] { ẋ (A BK) BK x BF = + r x n n (A LC) x n 1 [ ] G + w + G }{{} G a x a B a [ n 1 ] v } L {{ } H a ẋ a = A a x a + B a r + G a w + H a v 5 / 33

6 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida ẋ a = A a x a + B a r + G a w + H a v t x a (t) = e Aat x a () + e Aa(t τ)( ) B a r(τ) + G a w(τ) + H a v(τ) dτ t t = e Aat x a () + e Aa(t τ) B a r(τ)dτ + e Aa(t τ)( ) G a w(τ) + H a v(τ) dτ 6 / 33

7 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida x a (t) = e Aat x a () + t e Aa(t τ) B a r(τ)dτ + t { } { } Supondo E w(τ) = E v(τ) =, τ, tem-se Pode-se então escrever com { } t E x a (t) = e Aat x a () + e Aa(t τ) B a r(τ)dτ x a (t) = { } x a (t) = E x a (t) + x a (t) t e Aa(t τ)( ) G a w(τ) + H a v(τ) dτ e Aa(t τ)( ) G a w(τ) + H a v(τ) dτ 7 / 33

8 Controle empregando estado estimado na presença de perturbações e ruído de medida Adicionalmente, tem-se u(t) = K ˆx(t) + Fr(t) = K [ x(t) x(t) ] + Fr(t) = [ K K ] [ ] x(t) + Fr(t) }{{} x(t) K a }{{} x a(t) Pode-se então escrever E { } u(t) = E { } K a x a (t) + Fr(t) { } = K a E x a (t) + Fr(t) { } Portanto, definindo-se u(t) = u(t) E u(t), segue que u(t) = K a x a (t) + Fr(t) { } + K a E x a (t) Fr(t) { }] = K a [x a (t) E x a (t) = K a x a (t) 8 / 33

9 Problema LQG x a (t) = t e Aa(t τ)( ) G a w(τ) + H a v(τ) dτ u(t) = K a x a (t) Considere o custo J definido como: { } J = lim lim E 1 tf [ ] x a (t) T Q x a (t) + ρ u 2 (t) dt t f T t f com Q = Q T >, ρ > e ruídos w e v definidos como anteriormente (constantes em intervalos de tempo com largura T ). O problema de minimização de J com respeito aos ganhos K e L é conhecido como problema LQG (Linear Quadrático Gaussiano). 9 / 33

10 Problema LQG { J = lim lim E 1 t f T t f tf [ ] } x a (t) T Q x a (t) + ρ u 2 (t) dt Pode-se mostrar que a solução consiste em obter K por meio de um projeto LQR (com pesos Q, ρ) e L como no Filtro de Kalman, separadamente. Vide detalhes em Geromel e Korogui (211), páginas / 33

11 Exemplo: Sistema Disco-Mola Band-Limited White Noise w (seed_w) 1 F u u + w y_verdadeiro = Cx r u Planta To Workspace Observador de estado y = Cx+v Band-Limited White Noise v (seed_v) x' = Ax+Bu y = Cx+Du C* u State-Space com C = I e D = K* u xhat 11 / 33

12 Exemplo: Sistema Disco-Mola Projeto LQR: Q = diag([ ]), ρ = 1 (como na aula de 1 Set) Características dos ruídos: W = 1 3 (Nm) 2, V = 1 4 (rad) 2, T =,1 s. Condições iniciais nulas para a planta e o observador. 12 / 33

13 Exemplo: Sistema Disco-Mola >> A = [ 1 ; 1; -4 4 ; 5-5 ]; >> B = [;;2;]; C = [ 1 ]; >> Q = diag([ ]); rho = 1; >> K = lqr(a,b,q,rho); >> F = -1/(C*inv(A-B*K)*B); 13 / 33

14 Exemplo: Sistema Disco-Mola >> G = B; W = 1e-3; V = 1e-4; >> [L,~,E] = lqe(a,g,c,w,v) L = E = i i i i 14 / 33

15 Resultados (LQG): Posição x x 2 (rad).5 Sem ruído de estado e medida t (s) 15 / 33

16 Resultados (LQG): Controle u 12 1 Sem ruído de estado e medida 8 6 u (Nm) t (s) 16 / 33

17 Comparação: Observador projetado com alocação de polos >> p = [-4;-4;-4;-4]; >> L = acker(a,c,p) L = / 33

18 Resultados (LQR + Observador com polos em 4): Posição x x 2 (rad).5 Sem ruído de estado e medida t (s) 18 / 33

19 Resultados (LQR + Observador com polos em 4): Controle u 12 1 Sem ruído de estado e medida 8 6 u (Nm) t (s) 19 / 33

20 Comparação: Observador projetado com alocação de polos >> p = [-1;-1;-1;-1]; >> L = acker(a,c,p) L = / 33

21 Resultados (LQR + Observador com polos em 1): Controle u 12 1 Sem ruído de estado e medida 8 6 u (Nm) t (s) 21 / 33

22 Resultados (LQR + Observador com polos em 1): Posição x x 2 (rad).5 Sem ruído de estado e medida t (s) 22 / 33

23 Para aprofundamento no assunto EE-263: Controle estocástico 23 / 33

24 Uma nota de cautela: Margens de estabilidade da malha de controle com realimentação do estado estimado 24 / 33

25 Margens de estabilidade r u y F K x Para análise da estabilidade da malha, pode-se considerar r = 25 / 33

26 Margens de estabilidade u y K x 26 / 33

27 Margens de estabilidade U s G s Y s C s C(s) = U(s) Y (s) 27 / 33

28 Margens de estabilidade Obtenção da função de transferência C(s): ˆx = Aˆx + Bu + L(y ŷ) ŷ = C ˆx u = K ˆx ˆx = (A LC)ˆx + Bu + Ly = (A LC)ˆx BK ˆx + Ly = (A LC BK)ˆx + Ly [ 1L U(s) = K si (A LC BK)] Y (s) C(s) = U(s) Y (s) = K [ si (A LC BK)] 1 L 28 / 33

29 Exemplo: Sistema de levitação magnética Realimentação de estado (projeto LQR) >> A = [ 1;98 ]; >> B = [;-22.1]; >> Q = diag([1 1]); rho = 1; >> K = lqr(a,b,q,rho); >> margin(ss(a,b,k,)) Vide aula de 4 Set (Parte 1) para mais detalhes. 29 / 33

30 Realimentação de estado (projeto LQR) 1 Bode Diagram Gm = 6.2 db (at rad/s), Pm = 62.9 deg (at 57.6 rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Margem de ganho inferior de 6,2 db e margem de fase de 62,9 3 / 33

31 Exemplo: Sistema de levitação magnética Realimentação de saída (projeto LQG) >> W = 1; V = 1; >> G = B; >> C = [1 ]; >> L = lqe(a,g,c,w,v); >> sys_g = ss(a,b,c,); >> sys_c = ss(a-l*c-b*k,l,k,); >> sys_ma = sys_g*sys_c; >> margin(sys_ma) 31 / 33

32 Realimentação de saída (Projeto LQG) Bode Diagram Gm = 1.12 db (at rad/s), Pm = 1.5 deg (at 16.5 rad/s) Magnitude (db) Phase (deg) Frequency (rad/s) Margem de ganho inferior de 1,12 db e margem de fase de 1,5 32 / 33

33 Comentários Ao se utilizar um observador de estado, perdem-se as garantias de robustez do projeto LQR (margem de ganho superior infinita, margem de ganho inferior de pelo menos 6dB, margem de fase de pelo menos 6 ). É possível empregar uma técnica de projeto conhecida como LQG-LTR (Loop Transfer Recovery) para recuperar (aproximadamente) as margens de estabilidade do LQR. Matlab: Função ltrsyn Detalhes são estudados em EE-273: Controladores Lineares Robustos 33 / 33