Entradas sinusoidais

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1 Carla C. Pinheiro e F. Lemos Dinâmica de Sistemas e Controlo de Processos DEQB - IST Entradas sinusoidais U(s) G(s) Y(s) Estudar a resposta de um sistema linear estável para alterações do tipo sinusoidal na entrada. Y(s) G(s) U(s) A (s) s + G(s) U N(s) D(s)

2 Sistema de Primeira Ordem dy' τ K x' - dt y' Transformada de Laplace y ' K + τ s x' 3 Sistema de Primeira Ordem x' (t) A sin( t) Transformada de Laplace x' s A + 4

3 3 5 Sistema de Primeira Ordem ( )( ) (s) ' τ τ τ τ τ s s s s KA s s KA y ( ) ( ) ( ) t t e KA t y t τ τ τ τ sin cos ) '( / + + Transformada de Laplace inversa 6 Relação Trignométrica ( ) ( ) ( ) tan sin sin cos a a a a a b a b a b a φ φ

4 4 Sistema de Primeira Ordem KA y'( t) τ + KAτ y'( t) e τ + φ - t - tan lim y' ( t) ( τ ) t / τ ( τ e τ cos ( t) + sin ( t) ) t / τ + KA sin τ + KA sin τ + ( t + φ ) ( t + φ ) Onda com a mesma frequência que a função à entrada. φ - Ângulo de Fase7 Perturbação Sinusoidal.5 φ.5 Razão de Amplitudes AR Aˆ A -.5 Razão de Amplitudes Normalizada 4 6 Â AR N A AR K Aˆ KA 8

5 5 Exemplo Prático Será que aumentar a velocidade numa estrada esburacada reduz ou aumenta as oscilações? Perturbação Relação entre amplitude e frequência na variável de saída! 9 Sistema de Primeira Ordem

6 6 Sistema de Primeira Ordem amplitude normalisada,,8,6,4, 5 5 τ Perturbação à saída tende a ficar com um desfasamento de 9º com a perturbação à entrada Amplitude da perturbação à saída tende para zero angulo de fase τ Sistema de Primeira Ordem amplitude normalisada,,, O valor da frequência para um ângulo de fase de 45 º corresponde também a b τ τ As duas assímptotas intersectam-se na frequência de corte com o valor de φ b τ , τ

7 7 Método Rápido para obter Resposta às Frequências y'(s) G( s) A α C + Ds + i ( ) s + i ( + τ s) ( s + ) i Transformada de Laplace inversa y'(t) i t / τ αi e τ i i + C sin ( t) + D cos( t) 3 Método Rápido para obter Resposta às Frequências ( ) ( ) G( s) A α ( ) ( ) ( ) ( ) i s + C + Ds s s s + i + τ s s + i s j G ( j) A C + Dj C ARe( G( j) ) D AIm( G( j) ) 4

8 8 Método Rápido para obter Resposta às Frequências ( C + Dj) A( R + ji ) ˆ A C + D A R + I AR R + I G(jw) φ tan -( D ) C φ tan ( I ) R 5 Respostas às frequências U(s) G(s) Y(s) u(t) Asen ( t) y A G( j) sen ( t + φ) φ arg( G( j)) A resposta oscila com a mesma frequência mas atenuada por un factor G(j) e desfasada um ângulo φ arg(g(j)) que depende de 6

9 9 Respostas às frequências Os valores de G(j) e do ângulo de fase φ arg(g(j)) só dependem de G(s) e podem representar-se em função da frequência em diversos tipos de diagramas bastando apenas sustituir a variável s por j em G(s) e calcular o módulo e argumento do complexo G(j) resultante. 7 Sistema de Segunda Ordem d y' τ dt dy' + ξτ K x' - dt y' Transformada de Laplace y' K + ξτ s + τ s x' 8

10 Sistema de Segunda Ordem y' (s) KA ( + ζτs + τ s )( s + ) Transformada de Laplace inversa lim y'( t) t KA ( τ ) + ( ζτ ) sin ( t + φ ) φ - tan - ζτ ( τ ) 9 Sistema de Segunda Ordem K τ.68 ξ (τ, τ.7)

11 Sistema de Segunda Ordem τ O valor da frequência para um ângulo de fase de 9 º corresponde também a b τ As duas assimptotas intersectam-se no valor de K τ ξ (τ 3.73, τ.7) b τ Sistema de Segunda Ordem φ K τ.5 ξ (τ, τ.5)

12 Sistema de Segunda Ordem K τ ξ (τ, τ ) 3 Sistema de Segunda Ordem amplitude normalisada,,,, τ O valor da frequência para um ângulo de fase de 9 º corresponde também a b τ As duas assimptotas intersectam-se no valor de φ b K τ ξ (τ, τ ) τ , τ 4

13 3 Sistema de Segunda Ordem ϖ K τ ξ. 5 Sistema de Segunda Ordem amplitude normalisada,,,, τ O valor da frequência para um ângulo de fase de 9 º corresponde também a b τ As duas assimptotas intersectam-se no valor de φ b τ , τ 6 K τ ξ,

14 4 Sistema de Segunda Ordem amplitude normalisada ζ crescente,,,, τ Existe um máximo quando <ξ <.77 7 Sistema de Segunda Ordem φ - ζ crescente , τ 8

15 5 Exemplo do pêndulo Ajudar a balançar uma criança num baloiço é uma tarefa facilitada pela ajuda da frequência natural do sistema baloiço+criança. Mas será que se consegue balançá-la a outra frequência? Neste sistema: há apenas uma frequência de ressonância! 9 Exemplo da Barra 3

16 6 Exemplo da Ponte 3 Atraso y'(s) e θs ( s + ) Transformada de Laplace inversa ( ( t θ )) sin( + φ ) y'(t) sin t φ - θ 3

17 7 Atraso amplitude normalisada, Não existe ângulo de fase limite Amplitude normalizada é sempre unitária φ τ 33 Sistema de Primeira Ordem com Dinâmica de Numerador y' (s) KA ( + τ s) a ( + τs)( s + ) Transformada de Laplace inversa KA y'(t) τ + τ t τ ( τ ) e + + τ + τ + ( τ τ ) sin( t + φ ) a a φ tan - a ( τ τ ) a 34 + τ aτ

18 8 Sistema de Primeira Ordem com Dinâmica de Numerador,5,5 -,5 - -,5 - τa/τ -,5,5, Sistema de Primeira Ordem com Dinâmica de Numerador amplitude normalisada,, τ a crescente, τ -.4 Amplitude só depende do quadrado de τ a 36

19 9 Sistema de Primeira Ordem com Dinâmica de Numerador 7 τ a crescente -3 φ , τ 37 Sistema Integrador y'(s) s KA ( s + ) Transformada de Laplace inversa KA KA y'(t) t ( cos( t) ) ( sin( + φ )) φ - π 38

20 Sistema Integrador amplitude normalisada,,,, τ Onda de saída sempre desfasada de -9 º relativamente à da entrada Amplitude normalizada diminui com o aumento da frequência, sendo maior do que para baixas frequências φ τ 39 Diagramas de Bode: Representação de AR e Φ versus w Ar

21 Diagramas de Bode no Matlab AR em décibeis (db) log G(j). 4 Sistema de ª Ordem com Atraso amplitude normalisada,,, Ângulo de fase corresponde à soma dos desfasamentos correspondentes ao sistema de ª ordem e do atraso não é limitado Amplitude normalizada segue o andamento típico de um sistema de ª ordem φ -5 -,

22 Controlador P amplitude normalisada, Ângulo de fase é sempre nulo Amplitude é igual ao ganho proporcional,8,6,4, -, -,4 -,6 -,8 - φ 43 Controlador PI amplitude normalisada,,, Ângulo de fase para frequências baixas é característico dos sistemas integradores e é nulo para frequências elevadas Assimptotas cruzam-se em φ b τ ,, I 44

23 3 Controlador PD amplitude normalisada,,, Ângulo de fase para frequências altas é dominado pelo modo derivativo (ver dinâmica de numerador) Assimptotas cruzam-se em φ b τ D ,, 45 Controlador PID amplitude normalisada,,, Ângulo de fase para frequências baixas é dominado pelo modo integral e para altas pelo modo derivativo Pontos de cruzamento das assimptotas, quando τ I >τ D : b τ φ I b τ ,, D 46

24 4 Diagrama de Nyquist Primeira Ordem,6,4 Im[G(jw)], -,,5,5 -,4 -,6 Re[G(j)] 47 Diagrama de Nyquist Segunda Ordem (sobre-amortecido) Im[G(jw)],6,4, -,5 -,,5,5 -,4 -,6 Re[G(j)] 48

25 5 Diagrama de Nyquist Segunda Ordem (crítico),6,4, Im[G(jw)] -,5 -,,5,5 -,4 -,6 -,8 Re[G(j)] 49 Diagrama de Nyquist Segunda Ordem (sub-amortecido ξ.6) Im[G(jw)],5,3, -,5 -,,5,5 -,3 -,5 -,7 -,9 -, Re[G(j)] 5

26 6 Diagrama de Nyquist Segunda Ordem (sub-amortecido ξ.) Im[G(jw)], ,5 - -,5 - -,5-3 Re[G(j)] 5 Diagrama de Nyquist Primeira Ordem com Dinâmica de Numerador Im[G(jw)],5,5 τ a crescente - -, Re[G(jw)] 5

27 7 Diagrama de Nyquist Atraso puro Im[G(jw)],,7, -, -,7 -,,3,8 -,3 -,8 Re ( ( ) ) Re( θ j G j e ) cos( θ) Im ( ( ) ) Im( θ j G j e ) sin( θ ) AR e θj -,3 Re[G(j)] 53 Diagrama de Nyquist ª Ordem com Atraso, -, Im[G(jw)] -,3 -,5 -,7 -,9 -, -, -,7 -,,3,8 Re[G(j)] 54

28 8 Diagrama de Nyquist Integrador Im[G(jw)], -, -,3 -,5 -,7 -,9 -, -, -,7 -,,3,8 Re[G(j)] K Re( G( j) ) Re j Kj Re K Im( G( j) ) Im j Kj K Im 55 Estabilidade -Critério de Bode Um sistema em cadeia fechada é estável se e só se a resposta às frequências da função de transferência em cadeia aberta G ol (s) tiver uma razão de amplitudes AR menor do que à frequência crítica (w a que corresponde φ-8º). Frequência crítica ( c ) frequência para a qual o ângulo de fase é de 8º 56

29 9 Critério de Estabilidade de Bode amplitude,,,,, φ ,, 57 Critério de Estabilidade de Bode amplitude,,,,, φ ,, 58

30 3 Estabilidade - Critério de Bode Características: Cálculo da estabilidade do sistema em cadeia fechada a partir de informação em cadeia aberta; Pode ser utilizado mesmo para sistemas com atraso; Só pode ser utilizado para sistemas estáveis em cadeia aberta e com uma única frequência crítica. 59 Estabilidade -Critério de Nyquist Se N for o número de vezes que o diagrama de Nyquist contorna o ponto (-,) no plano dos números complexos no sentido horário, e P for o número de pólos da função de transferência em cadeia aberta que se situam no semi-plano do reais positivos, então ZN+P dá o número de raízes da equação característica em cadeia fechada que se situam no semi-plano dos reais positivos. Um sistema em cadeia fechada é estável se e só se Z. 6

31 3 Estabilidade -Critério de Nyquist Im[G(jw)] Re[G(j)] 6 Estabilidade -Critério de Nyquist Im[G(jw)] Re[G(j)] 6

32 3 Exemplo de um Diagrama de Bode de um sistema em Cadeia Fechada. AR.8 Ar.4 pf.. 63 Exemplo de um Diagrama de Bode de um sistema em Cadeia Fechada (cont.) Às baixas frequências, o controlador tem tempo para rejeitar as perturbações, ou seja, AR é baixo. Às altas frequências, o processo filtra as variações e AR é baixo. Às frequências intermédias, o sistema em cadeia fechada é mais sensível a perturbações. 64

33 33 Quantificação da Estabilidade Margem de Ganho: GM AR c Recomendado entre.7 e. AR c é a razão de amplitudes à frequência crítica Wc Margem de Fase: PM 8 + φ g Recomendado entre 3º e 45º 65 Quantificação da Estabilidade As margens de ganho e de fase representam uma medida da estabilidade relativa. A margem de ganho GM, indica quanto mais ganho adicional pode ser aumentado no ciclo de realimentação antes de ocorrer instabilidade. A margem de fase PM, indica quanto tempo de atraso adicional pode ser incluído no ciclo de realimentação antes de ocorrer instabilidade. 66

34 34 Quantificação da Estabilidade A especificação de GM e PM requer um compromisso entre desempenho e robustez. Em geral, grandes valores de GM e PM correspondem a respontas lentas em cadeia fechada, enquanto que valores baixos resultam em respostas mais rápidas mas mais oscilatórias. 67 Margem de Ganho e Margem de Fase Margem de ganho e margem de fase nos diagramas de Bode 68

35 35 Margem de Ganho Ar. M c.. 69 Margem de Fase Ar.... co PM.. 7

36 36 Margem de Ganho e Margem de Fase Margens de ganho e de fase nos diagramas de Nyquist 7 Obtenção de Informação Testes de Perturbação: Perturbação sinusoidal directa perturbação de uma variável de entrada com frequências variadas; Teste de pulso perturbação por um impulso de largura finita; Entradas aleatórias (PRBS Pseudo-Random Binary Sequence). 7

37 37 Exemplo de Teste de Pulso Y X Tempo 73 Testes de Pulso G ( s) y'( t) e x'( t) e y' x' st st ( s) ( s) dt dt 74

38 38 Testes de Pulso G ( j) y'( t) e x'( t) e jt jt dt dt A C ( ) jb( ) ( ) jd( ) A ( ) y' ( t)cos( t) dt C ( ) x' ( t)cos( t) dt B ( ) y' ( t)sin( t) dt D ( ) x' ( t)sin( t) dt 75 Testes de Pulso G ( j) R( ) ji( ) R I AC + BD C + D ( ) AD - BC C + D ( ) AR R + I φ tan ( I ) R 76

39 39 Testes de Pulso Características do Pulso: Suave, para não provocar problemas no funcionamento da peça de equipamento; Grande Amplitude não deve provocar saturação em nenhum componente do sistema a analisar; Curta duração deve ser inferior a metade da grandeza do tempo característico mais curto que se pretende estimar e não deve ser tão curto que impossibilite uma leitura precisa dos resultados. 77 Testes de Pulso Compromissos necessários: Pulsos grandes e curtos são adequados para analisar a dinâmica mas: tendem violar os limites das variáveis operatórias tendem a produzir respostas não lineares. Pulsos de pequena intensidade e longa duração não permitem avaliar a resposta às frequências mais elevadas. 78

40 4 Obtenção de Modelos ª ordem com atraso θs Ke y' + τ s x' Parâmetros a obter K, τ e θ Traçar os dois diagramas de Bode. Traçar a assimptota de baixas frequências para a razão de amplitudes AR obter Kˆ através da ordenada na origem Traçar a assimptota de alta frequência (com declive -). Determinar a frequência ( b ) a que as duas assimptotas se intersectam e calcular ˆ τ b 79 Obtenção de Modelos ª ordem com atraso θs Ke y' + τ s x' ( ) K Deve verificar-se que AR b.77 ˆ. Obter os ângulos de fase residuais (devidos unicamente ao atraso) em função da frequência φ φ ˆ φ φ tan ˆ τ res [ ] ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) ( i ) ( ) ( ) ( ) φ φ tan ˆ res i i + iτ Ajustar φ res em função de e obter θˆ como sendo o declive da recta obtida 8

41 4 Obtenção de Modelos ª ordem com atraso θs Ke y + ξτ s + τ s ' x ' Parâmetros a obter K, τ, τ e θ Traçar os dois diagramas de Bode. Traçar a assimptota de baixas frequências para a amplitude normalizada obter Kˆ através da ordenada na origem Traçar a assimptota de alta frequência (com declive - ). Determinar a frequência ( b ) a que as duas assimptotas se intersectam e calcular ˆ τ b 8 Obtenção de Modelos ª ordem com atraso θs Ke y + ξτ s + τ s ' x ' Se o sistema for sobre-amortecido, estimar os dois tempos característicos traçando a assimptota com declive unitário (paralela à tangente com igual declive) e calculando os pontos de intersecção entre esta recta e as duas assimptotas: ˆ τ ˆ τ Se o sistema for sub-amortecido, obter ξˆ por comparação com as curvas padrão. 8

42 4 Obtenção de Modelos ª ordem com atraso θs Ke y + ξτ s + τ s ' x ' Obter os ângulos de fase residuais (devidos unicamente ao atraso) em função da frequência e ajustar φ res em função de e obter θˆ como sendo o declive da recta obtida 83