Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química 2014/1

Transcrição

1 Universidade Federal do Rio de Janeiro COPPE Programa de Engenharia Química COQ 79 ANÁLISE DE SISTEMAS DA ENGENHARIA QUÍMICA AULA 7: Respostas a Perturbações Típicas; Sistemas de Primeira Ordem 214/1

2 Respostas a Perturbações Típicas A representação temporal do sistema entrada/saída: u(t) Domínio Temporal y(t) u(s) Domínio Transformado y(s) A função de transferência representa, no domínio transformado, a relação entre entrada e saída, dada em termos da razão entre as transformadas dos termos de entrada e de saída: y(s) G(s)u(s)

3 Respostas a Perturbações Típicas dos Sistemas Contínuos No processo de análise utilizamos sinais para perturbar o sistema a partir do estado estacionário e observamos as respostas correspondentes y(s) c 1 c 2 c G(s)u(s) n sp 1 s p2 s pn polos de G(s) No domínio temporal, temos: n y pt t i c i e termos associados às raízes introduzidas por u(s) i 1 Os polos do sistema são escritos, de maneira geral, como números complexos na forma: pj Rej iimj

4 Assim, no domínio temporal, poderemos ter os seguintes tipos de respostas: y t Rei t ce i ck n 1 n 1 Rek t ck ck 1t t e n1! j j j j Re iim t Re iim t c je c j1e Re 2 et j j e cos Im j t+ j

5 Impulso Unitário: É um sinal ideal, cuja aproximação (o pulso) não altera significativamente o processo. Requer quantidades de matéria ou energia reduzidas para gerá-lo aproximadamente. O sistema volta ao seu estado inicial. A resposta contém toda a informação dinâmica necessária. u(t) (t) u(s) L (t) 1 n 1 pt j y(s) G(s)u(s) ( ) y(t) L G(s) g(t) c j e j1 j cj lim s p G s s p j 1 Fazendo: pj ij T j Obtemos: 1 n i j t Tj y(t) g(t) c j e j1

6 Um procedimento para ordenação dos polos do sistema segue o valor de suas partes reais, assim: Re p1 Re p 2... Para o caso de todos os pólos serem reais e negativos, temos: t t t T 1 T2 T y t c n 1 e c 2 e... c n e 1 e.25 t.8 e.5t e 1 t.6 e 2 e 4 t t t

7 Um par de raízes complexas conjugadas implica em: 1 1 pj i j e pj1 ij Tj Tj gerando, na resposta, um termo da forma: t 2 Tj j e cos j t j com j e j associados aos coeficientes c j e c j e.5 t cos( 4 t) t

8 Reator Experimental UWPREL Coletor de bolhas Válvula de alívio Disco de ruptura Aquecedor Refratômetro P/ o descarte Transdutor de pressão Bomba de reciclo Reator Soprador

9 Realização de experimentos de DTR Técnica: uso da injeção jç de pulso de traçador para obter a DTR do reator. Pulso: 3,1 ml de KCl,1M 1M (t) E(t) alimentação conector T válvula 3-vias t t perturbação resposta reator

10 1. Magnitude do pulso norm malizado t/ Pulso de traçador típico injetado no reator.

11 2.5 Rec=3,2 Experimento 2.5 Rec=6,65 Experimento Csaída x 1 (gmol/l) Csaída x 1 (gmol/l) Tempo (s) Tempo (s) (gmol/l) Csaída x Rec=1,1 Experimento Csaída x 1 (gmol/l) Rec=17, Experimento Tempo (s) Tempo (s)

12 Csaída x 1 (gmol/l) Rec=3,2 Experimento Simulação Csaída x 1 (gmol/l) Rec=6,65 Experimento Simulação Tempo (s) Tempo (s) (gmol/l) Csaída x Rec=1,1 Experimento Simulação Csaída x 1 (gmol/l) Rec=17, Experimento Simulação Tempo (s) Tempo (s)

13 Degrau Unitário: É uma perturbação severa que tira o sistema do seu ponto de operação. A resposta inclui toda a informação dinâmica do sistema. Requer uma quantidade grande de massa ou energia. para t 1 u(t) us 1 para t s n 1 pt j y(s) G(s)u(s) G(s) y(t) cˆ c ˆj e s j1 1 s s Gs c j ĉj lim s-pj sp j s p j Cálculo dos coeficientes: ĉ lim sg s G n c j pt j y t G e j1 p j Logo: O primeiro termo é consequência do degrau introduzido. id Os outros são próprios do sistema.

14 Se todos os pólos, p j, tiverem parte real negativa: lim y t G Ganho estático t O ganho estático mede a qualidade do sistema de aumentar ou diminuir o sinal de entrada, uma vez atingido o estado estacionário.

15 Diagrama esquemático do aparato experimental. (1) Borbulhador de nitrogênio; i (2) reservatório de alimentação; (3) bombab de alimentação; (4) reator tubular; (5) invólucro isolante; (6) sistema de aquecimento (triac, resistência elétrica e soprador); (7) bomba de reciclo; (8) densímetro digital Anton Paar; (9) linha de amostragem; (1) reservatório de descarte; (11) T1,T2 termopares; V1 - válvula abre fecha de três vias; V2,V3 - válvulas abre-fecha de duas vias.

16 Degrau sem Reciclo, Vazão Baixa PFR Reator real

17 Degrau com Reciclo, Vazão Baixa

18 Degrau com Reciclo, Vazão Baixa - Modelagem Degrau 1. Conce entração Admension al Experimental Modelo T = 99.min Pe = 8 Razão de Reciclo = Tempo Adimensional

19 Degrau com Reciclo, Vazão Alta

20 Degrau com Reciclo, Vazão Alta - Modelagem 1..8 Y Axis Title.6.4 Modelo Experimental 2.2 T = 796min 79.6 Pe = 8. Razão de Reciclo = X Axis Title

21 Degrau com Reciclo, Vazão Alta e Diferente Razão de Reciclo

22 Modelagem Modelo Experimental 1. Conce entração Ad dimensiona al T = 68min Pe = 1. Razão de Reciclo = Tempo Adimensional

23 Pulso Vazão Baixa

24 Pulso Vazão Alta

25 Modelagem do Experimento do Tipo Pulso com Vazão Alta Reator de dispersão axial do LMSCP Modelo teórico de resposta pulso em CSTR s

26 Modelagem do Experimento do Tipo Pulso com Vazão Alta

27 Perturbação Oscilatória: Mantém o valor médio do sinal de saída. É fácil de gerar. A resposta ao sinal só contém uma pequena parcela de informação relativa à dinâmica do sistema. u t cos t u t cost u t sen t 2 u s s us s cos( 2 2 ) sen( ) s s ut s y(s) G(s)u(s) ( ) G(s) scos( ) sen( ) 2 2 s

28 n s cos c sen c c j G s 2 2 y s li s i s s i s i s p j1 j s cos sen i cos sen G i c s i G s G i i sen s i s i 2i 2 lim i G G i cos i i G i i lim G s G i 2 ~ c e c e 2 s cos cos sen p sen j cj s pj c 2 2 j s p 2 2 j s pj n 1 p i i t i i t j cos - sen yt Gi e e Gi e cj j1 p j e p j t Se os polos têm parte real negativa o somatório some com o tempo. lim yt t i G i e cos t ut cos t +

29 Sistemas de Primeira Ordem

30 Sistemas de Primeira Ordem Os sistemas de primeira ordem só têm um polo e são tipicamente representados por equações diferenciais ordinárias de primeira ordem. Considerando o caso de sistemas de primeira ordem lineares, com coeficientes constantes e condição inicial nula, temos: dy t a 1 a y t b u t com y dt Usando a transformada de Laplace chegamos à função de transferência: y s b Gs u s a1s a A função de transferência dos sistemas de primeira ordem tem uma forma padrão de ser escrita: b G s K K G Ganho estático a s 1 a 1 a Constante de tempo

31 Os sistemas de primeira ordem só têm um polo: p1 1 a p a1 que, naturalmente, só pode ser real (lembrar nos sistemas reais os polos complexos aparecem na forma de pares conjugados, isto é, só podem existir em sistemas de segunda ordem ou maior). Sistema do tipo Ganho Puro (Pure gain): Gs K ( ou a1 ) K G s (a ) s Sistema do tipo Integrador Puro (Pure capacity): Exemplo: O tanque de nível com vazão de saída constante dh(t) var iáveisdesvio dy(t) 1 L 1/ A Ac qe t qs u t y(s) u s dt dt Ac s c

32 Resposta ao degrau de magnitude A: K A t y(s) Gsu(s) y(t) KA(1e ) s 1s O primeiro termo corresponde ao sinal degrau introduzido, com o sistema respondendo através do seu ganho estático: KA. O segundo termo, também ponderado d pelo ganho estático ái (e magnitude do sinal), corresponde ao polo do sistema que, se for negativo - isto é, se for uma constante positiva - desaparece com o tempo, com uma velocidade inversamente proporcional ao tamanho de. Uma grande constante de tempo faz com que o termo transiente perdure por um tempo significativo. Pode-se dizer, então, que grandes constantes de tempo caracterizam sistemas lentos (o conceito de lentidão só pode ser entendido em termos relativos!).

33 Mathcad: A=1 y( K t) K 1 e t.1 2 t.1.8 y1 ( 1t) y1 ( 2t).6 y1 ( 4t) y1 ( 8t) t y1 ( 1t).8 y1 ( 2t).6 y1 ( 4t) y1 ( 8t) t 1.5 y1 ( 1t) y2 ( 1t) t

34 Observa-se que a resposta é imediata, o que fica claro ao verificar que a inclinação na origem é diferente de zero: t dy t KA KA e dt t t Este resultado também é útil para calcular a constante de tempo de um sistema de primeira ordem, bastando traçar a tangente na origem à resposta a um degrau e verificar em que tempo esta reta corta a reta correspondente à resposta estabelecida (para tempo tendendo a infinito), que corresponde ao produto da magnitude do sinal pelo ganho estático do sistema. Esse tempo é. 1 y1 ( 1t) y linear ( 11t) 5.5 K t

35 Uma outra forma de determinar essa constante é calcular o tempo para o qual a resposta alcança 62,3% do seu valor final (resposta estabelecida): 1 y t KA1e KA 1e,632KA y1 ( 2t) t 2

36 Observe, finalmente, que a resposta após 5 constantes de tempo pode ser considerada completamente estabelecida, o que é uma forma prática de inferir a constante de tempo dominante de um processo. Uma vez que se constata que a resposta se estabeleceu, divide-se o tempo correspondente por 5 e se obtém uma boa aproximação da constante de tempo que domina o processo: 5 5 y t 5 KA 1e KA 1e,993KA